理論力學(xué)思考題解答

1、第一章思考題解答1.1答：平均速度是運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)間間隔內(nèi)位矢大小和方向改變的平均快慢速度，其方向沿位移的方向即沿對(duì)應(yīng)的軌跡割線方向；瞬時(shí)速度是運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某時(shí)刻或某未知位矢和方向變化的快慢程度其方向沿該時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)所在點(diǎn)軌跡的切線方向。在的極限情況，二者一致，在勻速直線運(yùn)動(dòng)中二者也一致的。1.2答：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，徑向速度和橫向速度的大小、方向都改變，而中的只反映了本身大小的改變，中的只是本身大小的改變。事實(shí)上，橫向速度方向的改變會(huì)引起徑向速度大小大改變，就是反映這種改變的加速度分量；經(jīng)向速度的方向改變也引起的大小改變，另一個(gè)即為反映這種改變的加速度分量，故，。這表示質(zhì)點(diǎn)的徑向與橫向運(yùn)動(dòng)在相互影響，

2、它們一起才能完整地描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化情況1.3答：內(nèi)稟方程中，是由于速度方向的改變產(chǎn)生的，在空間曲線中，由于恒位于密切面內(nèi)，速度總是沿軌跡的切線方向，而垂直于指向曲線凹陷一方，故總是沿助法線方向。質(zhì)點(diǎn)沿空間曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，z何與牛頓運(yùn)動(dòng)定律不矛盾。因質(zhì)點(diǎn)除受作用力，還受到被動(dòng)的約反作用力，二者在副法線方向的分量成平衡力，故符合牛頓運(yùn)動(dòng)率。有人會(huì)問：約束反作用力靠誰施加，當(dāng)然是與質(zhì)點(diǎn)接觸的周圍其他物體由于受到質(zhì)點(diǎn)的作用而對(duì)質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的反作用力。有人也許還會(huì)問：某時(shí)刻若大小不等，就不為零了？當(dāng)然是這樣，但此時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)受合力的方向與原來不同，質(zhì)點(diǎn)的位置也在改變，副法線在空間中方位也不再是原來所在的方位，又有

3、了新的副法線，在新的副法線上仍滿足。這反映了牛頓定律得瞬時(shí)性和矢量性，也反映了自然坐標(biāo)系的方向雖質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變。1.4答：質(zhì)點(diǎn)在直線運(yùn)動(dòng)中只有，質(zhì)點(diǎn)的勻速曲線運(yùn)動(dòng)中只有；質(zhì)點(diǎn)作變速運(yùn)動(dòng)時(shí)即有。1.5答：即反應(yīng)位矢大小的改變又反映其方向的改變，是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)某時(shí)刻的速度矢量，而只表示大小的改變。如在極坐標(biāo)系中，而。在直線運(yùn)動(dòng)中，規(guī)定了直線的正方向后，。且的正負(fù)可表示的指向，二者都可表示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度；在曲線運(yùn)動(dòng)中，且也表示不了的指向，二者完全不同。 表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的大小，方向的改變是加速度矢量，而只是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度大小的改變。在直線運(yùn)動(dòng)中規(guī)定了直線的正方向后，二者都可表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度；在曲線運(yùn)動(dòng)

4、中，二者不同，。1.6答：不論人是靜止投籃還是運(yùn)動(dòng)投籃，球?qū)Φ氐姆较蚩倯?yīng)指向籃筐，其速度合成如題1.6圖所示，故人以速度向球網(wǎng)前進(jìn)時(shí)應(yīng)向高于籃筐的方向投出。靜止投籃是直接向籃筐投出，（事實(shí)上要稍高一點(diǎn)，使球的運(yùn)動(dòng)有一定弧度，便于投籃）。1.7答：火車中的人看雨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，是雨點(diǎn)的勻速下落運(yùn)動(dòng)及向右以加速度的勻速水平直線運(yùn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)如題1.7圖所示，是固定于車的坐標(biāo)系，雨點(diǎn)相對(duì)車的加速度，其相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程消去的軌跡如題圖，有人會(huì)問：車上的人看雨點(diǎn)的軌跡是向上凹而不是向下凹呢？因加速度總是在曲線凹向的內(nèi)側(cè)，垂直于方向的分量在改變著的方向，該軌跡上凹。1.8答：設(shè)人發(fā)覺干落水時(shí)，船已上行，上行時(shí)船的絕

5、對(duì)速度，則 船反向追趕竿的速度，設(shè)從反船到追上竿共用時(shí)間，則 又竿與水同速，則 +=得1.9答：不一定一致，因?yàn)槭歉淖兾矬w運(yùn)動(dòng)速度的外因，而不是產(chǎn)生速度的原因，加速度的方向與合外力的方向一致。外力不但改變速度的大小還改變速度的方向，在曲線運(yùn)動(dòng)中外力與速度的方向肯定不一致，只是在加速度直線運(yùn)動(dòng)二者的方向一致。1.10答：當(dāng)速度與物體受的合外力同一方位線且力矢的方位線不變時(shí)，物體作直線運(yùn)動(dòng)。在曲線運(yùn)動(dòng)中若初速度方向與力的方向不一致，物體沿出速度的方向減速運(yùn)動(dòng)，以后各時(shí)刻既可沿初速度方向運(yùn)動(dòng)，也可沿力的方向運(yùn)動(dòng)，如以一定初速度上拋的物體，開始時(shí)及上升過程中初速度的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最高點(diǎn)下落過程中沿力的

6、方向運(yùn)動(dòng)。在曲線運(yùn)動(dòng)中初速度的方向與外力的方向不一致，物體初時(shí)刻速度沿初速度的反方向，但以后既不會(huì)沿初速度的方向也不會(huì)沿外力的方向運(yùn)動(dòng)，外力不斷改變物體的運(yùn)動(dòng)方向，各時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向與外力的方向及初速度的方向都有關(guān)。如斜拋物體初速度的方向與重力的方向不一致，重力的方向決定了軌道的形狀開口下凹，初速度的方向決定了射高和射程。1.11答：質(zhì)點(diǎn)僅因重力作用沿光滑靜止曲線下滑，達(dá)到任意點(diǎn)的速度只和初末時(shí)刻的高度差有關(guān)，因重力是保守力，而光滑靜止曲線給予質(zhì)點(diǎn)的發(fā)向約束力不做功，因此有此結(jié)論假如曲線不是光滑的，質(zhì)點(diǎn)還受到摩擦力的作用，摩擦力是非保守力，摩擦力的功不僅與初末位置有關(guān)，還與路徑有關(guān)，故質(zhì)點(diǎn)到達(dá)任

7、一點(diǎn)的速度不僅與初末高度差有關(guān)，還與曲線形狀有關(guān)。1.12答：質(zhì)點(diǎn)被約束在一光滑靜止的曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，約束力的方向總是垂直于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向，故約束力不做功，動(dòng)能定理或能量積分中不含約束力，故不能求出約束力。但用動(dòng)能定理或能量積分可求出質(zhì)點(diǎn)在某位置的速度，從而得出，有牛頓運(yùn)動(dòng)方程便可求出，即為約束力1.13答：動(dòng)量 動(dòng)能1.14答：故1.15答：動(dòng)量矩守恒意味著外力矩為零，但并不意味著外力也為零，故動(dòng)量矩守恒并不意味著動(dòng)量也守恒。如質(zhì)點(diǎn)受有心力作用而運(yùn)動(dòng)動(dòng)量矩守恒是由于力過力心，力對(duì)力心的矩為零，但這質(zhì)點(diǎn)受的力并不為零，故動(dòng)量不守恒，速度的大小和方向每時(shí)每刻都在改變。1.16答：若,在球坐標(biāo)系中有

8、由于坐標(biāo)系的選取只是數(shù)學(xué)手段的不同，它不影響力場(chǎng)的物理性質(zhì)，故在三維直角坐標(biāo)系中仍有的關(guān)系。在直角坐標(biāo)系中故 事實(shí)上據(jù)“”算符的性質(zhì)，上述證明完全可以簡寫為這表明有心力場(chǎng)是無旋場(chǎng)記保守立場(chǎng)1.17答平方反比力場(chǎng)中系統(tǒng)的勢(shì)能，其勢(shì)能曲線如題圖1.17圖所示，由。 若，其勢(shì)能曲線對(duì)應(yīng)于近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)之間的一段。近日點(diǎn)處即為進(jìn)入軌道需要的初動(dòng)能若則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)無界，對(duì)應(yīng)于雙曲線軌道的運(yùn)動(dòng)；若位于有界和無界之間，對(duì)應(yīng)于拋物線軌道的運(yùn)動(dòng)；這兩種軌道的運(yùn)動(dòng)都沒有近日點(diǎn)，即對(duì)大的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是無界的，當(dāng)很大時(shí)，還是選無限遠(yuǎn)為零勢(shì)點(diǎn)的緣故，從圖中可知，做雙曲軌道運(yùn)動(dòng)比拋物軌道和橢圓軌道需要的進(jìn)入軌道需要的動(dòng)能要大

9、。事實(shí)及理論都證明，平方反比引力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)的軌道正是取決于進(jìn)入軌道時(shí)初動(dòng)能的大小由 得 即速度的大小就決定了軌道的形狀，圖中對(duì)應(yīng)于進(jìn)入軌道時(shí)的達(dá)到第一二三宇宙速度所需的能量由于物體總是有限度的，故有一極小值，既相互作用的二質(zhì)點(diǎn)不可能無限接近，對(duì)于人造衛(wèi)星的發(fā)射其為地球半徑。為地面上發(fā)射時(shí)所需的初動(dòng)能，圖示分別為使衛(wèi)星進(jìn)入軌道時(shí)達(dá)到一二三宇宙速度在地面上的發(fā)射動(dòng)能。 .為進(jìn)入軌道前克服里及空氣阻力做功所需的能量。1.18答：地球附近的物體都受到隨地球自轉(zhuǎn)引起的慣性離心力的作用，此力的方位線平行于赤道平面，指向背離地軸。人造地球衛(wèi)星的軌道平面和地球赤道平面的夾角越大，則衛(wèi)星的慣性離心力與軌道平面的家

10、教越大，運(yùn)動(dòng)中受的影響也越大，對(duì)衛(wèi)星導(dǎo)向控制系統(tǒng)的要求越高。交角越大，對(duì)地球的直接探測(cè)面積越大，其科學(xué)使用價(jià)值越高。1.19答：對(duì)庫侖引力場(chǎng)有，軌道是雙曲線的一點(diǎn)，與斥力情況相同，盧瑟福公式也適用，不同的是引力情況下力心在雙曲線凹陷方位內(nèi)側(cè)；若，軌道橢圓或拋物線，盧瑟福公式不適用，仿照課本上的推證方法，在入射速度的情況下即可得盧瑟福公式。近代物理學(xué)的正，負(fù)粒子的對(duì)撞試驗(yàn)可驗(yàn)證這一結(jié)論的近似正確性。第二章思考題解答2.1.答：因均勻物體質(zhì)量密度處處相等，規(guī)則形體的幾何中心即為質(zhì)心，故先找出各規(guī)則形體的質(zhì)心把它們看作質(zhì)點(diǎn)組，然后求質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心即為整個(gè)物體的質(zhì)心。對(duì)被割去的部分，先假定它存在，后以其

11、負(fù)質(zhì)量代入質(zhì)心公式即可。2.2.答：物體具有三個(gè)對(duì)稱面已足以確定該物體的規(guī)則性，該三平面的交點(diǎn)即為該物體的幾何對(duì)稱中心，又該物體是均勻的，故此點(diǎn)即為質(zhì)心的位置。2.3.答：對(duì)幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)組，理論上可以求每一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，但由于每一質(zhì)點(diǎn)受到周圍其它各質(zhì)點(diǎn)的相互作用力都是相互關(guān)聯(lián)的，往往其作用力難以預(yù)先知道；再者，每一質(zhì)點(diǎn)可列出三個(gè)二階運(yùn)動(dòng)微分方程，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)組有個(gè)相互關(guān)聯(lián)的三個(gè)二階微分方程組，難以解算。但對(duì)于二質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)組，每一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)還是可以解算的。若質(zhì)點(diǎn)組不受外力作用，由于每一質(zhì)點(diǎn)都受到組內(nèi)其它各質(zhì)點(diǎn)的作用力，每一質(zhì)點(diǎn)的合內(nèi)力不一定等于零，故不能保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。這表明

12、，內(nèi)力不改變質(zhì)點(diǎn)組整體的運(yùn)動(dòng)，但可改變組內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間的運(yùn)動(dòng)。2.4.答：把碰撞的二球看作質(zhì)點(diǎn)組，由于碰撞內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，故可以認(rèn)為外力為零，碰撞前后系統(tǒng)的動(dòng)量守恒。如果只考慮任一球，碰撞過程中受到另一球的碰撞沖力的作用，動(dòng)量發(fā)生改變。2.5.答：不矛盾。因人和船組成的系統(tǒng)在人行走前后受到的合外力為零（忽略水對(duì)船的阻力），且開船時(shí)系統(tǒng)質(zhì)心的初速度也為零，故人行走前后系統(tǒng)質(zhì)心相對(duì)地面的位置不變。當(dāng)人向船尾移動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的質(zhì)量分布改變，質(zhì)心位置后移，為抵消這種改變，船將向前移動(dòng)，這是符合質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理的。2.6.答：碰撞過程中不計(jì)外力，碰撞內(nèi)力不改變系統(tǒng)的總動(dòng)量，但碰撞內(nèi)力很大，使物體發(fā)生形變，內(nèi)力做功使系

13、統(tǒng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為相碰物體的形變能（分子間的結(jié)合能），故動(dòng)量守恒能量不一定守恒。只有完全彈性碰撞或碰撞物體是剛體時(shí)，即相撞物體的形變可以完全恢復(fù)或不發(fā)生形變時(shí)，能量也守恒，但這只是理想情況。2.7.答：設(shè)質(zhì)心的速度，第個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心的速度，則，代入質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量定理可得這里用到了質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。故選用質(zhì)心坐標(biāo)系，在動(dòng)量定理中要計(jì)入慣性力。但質(zhì)點(diǎn)組相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量守恒。當(dāng)外力改變時(shí)，質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)也改變，但質(zhì)點(diǎn)組相對(duì)于質(zhì)心參考系的動(dòng)量不變，即相對(duì)于質(zhì)心參考系的動(dòng)量不受外力影響，這給我們解決問題帶來不少方便。值得指出：質(zhì)點(diǎn)組中任一質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心參考系有 ，對(duì)質(zhì)心參考系動(dòng)量并不守恒。2.8.答不對(duì).因?yàn)槿藪伹蚯昂笄蚺c

14、船和人組成的系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，球拋出后船和人的速度不再是。設(shè)船和人的質(zhì)量為，球拋出后船和人的速度為，則 球出手時(shí)的速度應(yīng)是。人做的功應(yīng)等于系統(tǒng)動(dòng)能的改變，不是只等于小球動(dòng)能的改變，故人做的功應(yīng)為顯然與系統(tǒng)原來的速度無關(guān)。2.9.答：秋千受繩的拉力和重力的作用，在運(yùn)動(dòng)中繩的拉力提供圓弧運(yùn)動(dòng)的向心力，此力不做功，只有重力做功。重力是保守力，故重力勢(shì)能與動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化。當(dāng)秋千蕩到鉛直位置向上去的過程中，人站起來提高系統(tǒng)重心的位置，人克服重力做功使系統(tǒng)的勢(shì)能增加；當(dāng)達(dá)到最高點(diǎn)向豎直位置折回過程中，人蹲下去，內(nèi)力做功降低重心位置使系統(tǒng)的動(dòng)能增大，這樣循環(huán)往復(fù)，系統(tǒng)的總能不斷增大，秋千就可以越蕩越高。這時(shí)能量

15、的增長是人體內(nèi)力做功，消耗人體內(nèi)能轉(zhuǎn)換而來的。2.10.答：火箭里的燃料全部燒完后，火箭的質(zhì)量不再改變，然而質(zhì)量不變是變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)問題的特例，故2.7（2）中諸公式還能適用，但諸公式都已化為恒質(zhì)量系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)問題的公式。2.11.答：由知，要提高火箭的速度必須提高噴射速度或增大質(zhì)量比。由于燃料的效能，材料的耐溫等一系列技術(shù)問題的限制，不能過大；又由于火箭的外殼及各裝置的質(zhì)量相當(dāng)大，質(zhì)量比也很難提高，故采用多級(jí)火箭，一級(jí)火箭的燃料燃完后外殼自行脫落減小火箭的質(zhì)量使下一級(jí)火箭開始工作后便于提高火箭的速度。若各級(jí)火箭的噴射速度都為，質(zhì)量比分別為，各級(jí)火箭的工作使整體速度增加，則火箭的最后速度因每一個(gè)都

16、大于1，故可達(dá)到相當(dāng)大的值。但火箭級(jí)數(shù)越多，整個(gè)重量越大，制造技術(shù)上會(huì)帶來困難，再者級(jí)越高，質(zhì)量比越減小，級(jí)數(shù)很多時(shí)，質(zhì)量比逐漸減小趨近于1，速度增加很少。故火箭級(jí)數(shù)不能過多，一般三至四級(jí)火箭最為有效。第三章思考題解答3.1 答：確定一質(zhì)點(diǎn)在空間中得位置需要3個(gè)獨(dú)立變量，只要確定了不共線三點(diǎn)的位置剛體的位置也就確定了，故須九個(gè)獨(dú)立變量，但剛體不變形，此三點(diǎn)中人二點(diǎn)的連線長度不變，即有三個(gè)約束方程，所以確定剛體的一般運(yùn)動(dòng)不需3n個(gè)獨(dú)立變量，有6個(gè)獨(dú)立變量就夠了.若剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，只要定出任一點(diǎn)相對(duì)定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)就確定了，只需3個(gè)獨(dú)立變量；確定作平面平行運(yùn)動(dòng)剛體的代表平面在空間中的方位需一個(gè)

17、獨(dú)立變量，確定任一點(diǎn)在平面上的位置需二個(gè)獨(dú)立變量，共需三個(gè)獨(dú)立變量；知道了定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)角，剛體的位置也就定了，只需一個(gè)獨(dú)立變量；剛體的平動(dòng)可用一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)代表其運(yùn)動(dòng)，故需三個(gè)獨(dú)立變量。3.2 答物體上各質(zhì)點(diǎn)所受重力的合力作用點(diǎn)即為物體的重心。當(dāng)物體的大小遠(yuǎn)小于地球的線度時(shí)物體上各質(zhì)點(diǎn)所在點(diǎn)的重力加速度都相等，且方向彼此平行即重力場(chǎng)為均勻場(chǎng)，此時(shí)質(zhì)心與重心重合。事實(shí)上但物體的線度很大時(shí)各質(zhì)點(diǎn)所在處的大小是嚴(yán)格相等，且各質(zhì)點(diǎn)的重力都指向地心，不是彼此平行的，重心與質(zhì)心不和。3.3答 當(dāng)物體為均質(zhì)時(shí)，幾何中心與質(zhì)心重合；當(dāng)物體的大小遠(yuǎn)小于地球的線度時(shí)，質(zhì)心與重心重合；當(dāng)物體為均質(zhì)且大小遠(yuǎn)

18、小于地球的線度時(shí)，三者都重合。3.4 答 主矢是力系各力的矢量和，他完全取決于力系中各力的大小和方向，故主矢不隨簡化中心的位置而改變，故而也稱之為力系的主矢；簡化中心的位置不同，各力對(duì)簡化中心的位矢也就不同則各力對(duì)簡化中心的力矩也就不同，故主矩隨簡化中心的位置而變，被稱之為力系對(duì)簡化中心的主矩。分別取和為簡化中心，第個(gè)力對(duì)和的位矢分別為和，則=+，故即主矢不變，表明剛體的平動(dòng)效應(yīng)不變，主矩隨簡化中心的位置改變，表明力系的作用對(duì)剛體上不同點(diǎn)有不同的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，但不改變整個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律或者說不影響剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)和對(duì)質(zhì)心的位矢分別為和，則=+，把點(diǎn)的主矢，主矩移到點(diǎn)得力系對(duì)重心的主矩把為簡化中

19、心得到的主矢和主矩移到點(diǎn)可得簡化中心的改變引起主矩的改變并不影響剛體的運(yùn)動(dòng)。事實(shí)上，簡化中心的選取不過人為的手段，不會(huì)影響力系的物理效應(yīng)。3.5 答 不等。如題3-5圖示，繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量這表明平行軸中沒有一條是過質(zhì)心的，則平行軸定理是不適應(yīng)的3.6不能，如3-5題。但平行軸定理修改后可用于不過質(zhì)心的二平行軸。如題3-6圖所示，均質(zhì)棒上二點(diǎn)到質(zhì)心的距離分別為和由平行軸定理得：則，此式即可用于不過質(zhì)心的二平行軸。如上題用此式即可求得：3.7 答 任一瞬時(shí)，作平面平行運(yùn)動(dòng)的剛體上或與剛體固連且與剛體一起運(yùn)動(dòng)的延拓平面總有也僅有一點(diǎn)的瞬時(shí)速度為零（轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心）從運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)看由（3.7.1）式知選此點(diǎn)的基

20、點(diǎn)較好，這樣選基點(diǎn)，整個(gè)剛體僅繞此點(diǎn)作瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)從（3.7.4）式可知，求加速度時(shí)選加速度為零的點(diǎn)為基點(diǎn)較方便，但實(shí)際問題中，加速度瞬心往往不如速度瞬心好找。從動(dòng)力學(xué)角度考慮，選質(zhì)心為基點(diǎn)較好，因質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)可由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理解決；而且質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理于對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理具有相同的形式，亦即剛體繞過質(zhì)心與平面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)可用剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的定律去解決。因剛體上不同點(diǎn)有不同的速度和加速度，基點(diǎn)選取的不同，則（3.7.1）和（3.7.4）式中不同，即和與基點(diǎn)有關(guān)；又任一點(diǎn)相對(duì)基點(diǎn)的位矢于基點(diǎn)的選取有關(guān)。故任一點(diǎn)繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)速度，相對(duì)基點(diǎn)的切線加速度和相對(duì)基點(diǎn)的向心加速度與基點(diǎn)選取有關(guān)；角速度

21、為剛體各點(diǎn)所共有與基點(diǎn)選取無關(guān)，故也與基點(diǎn)選取無關(guān)；基點(diǎn)選取的不同是人為的方法，它不影響剛體上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，故任一點(diǎn)的速度與基點(diǎn)的選取無關(guān)。這也正是基點(diǎn)選取任意性的實(shí)質(zhì)所在。3.8 答 轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心在無窮遠(yuǎn)處，標(biāo)志著此瞬時(shí)剛體上各點(diǎn)的速度彼此平行且大小相等，意味著剛體在此瞬時(shí)的角速度等于零，剛體作瞬時(shí)平動(dòng)3.9 答 轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心的瞬時(shí)速度為零，瞬時(shí)加速度并不為零，否則為瞬時(shí)平動(dòng)瞬心參考系是非慣性系，應(yīng)用動(dòng)量矩定理是必須計(jì)入慣性力系對(duì)瞬心的力矩。而慣性力系向瞬心簡化的結(jié)果，慣性力系的主矩一般不為零（向質(zhì)心簡化的結(jié)果慣性力系的主矩為零），故相對(duì)瞬心與相對(duì)定點(diǎn)或者質(zhì)心的動(dòng)量矩定理有不同的形式；另外，轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心

22、在空間中及剛體上的位置都在不停的改變，（質(zhì)心在剛體上的位置是固定的），故對(duì)瞬心的寫出的動(dòng)量矩定理在不同時(shí)刻是對(duì)剛體上不同點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程，即瞬心參考系具有不定性；再者，瞬心的運(yùn)動(dòng)沒有像質(zhì)心一點(diǎn)定理那樣的原理可直接應(yīng)用。故解決實(shí)際問題一般不對(duì)瞬心應(yīng)用動(dòng)量矩定理寫其動(dòng)力學(xué)方程。3.10 答 因圓柱體沿斜面滾下時(shí)，圓柱體與斜面之間的反作用力不做功，只有重力作功，故機(jī)械能守恒且守恒定律中不含反作用，故不能求出此力。此過程中由于圓柱體只滾動(dòng)不滑動(dòng)，摩擦力做功為零，故不列入摩擦力的功，也正是摩擦力不做功才保證了機(jī)械能守恒；若圓柱體即滾且滑的向下運(yùn)動(dòng)，摩擦力做功不為零免責(zé)必須列入摩擦力的功。機(jī)械能不守恒，必須

23、用動(dòng)能定理求解。在純滾動(dòng)過程中不列入摩擦力的功并不是沒有摩擦力，事實(shí)上，正是摩擦力與重力沿下滑方向的分離組成力偶使圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)且摩擦阻力阻止了柱體與斜面的相對(duì)滑動(dòng)，才使圓柱體沿斜面滾動(dòng)而不滑動(dòng)；如果斜面不能提供足夠的摩擦力，則圓柱體會(huì)連滾帶滑的向下運(yùn)動(dòng)；如果斜面絕對(duì)光滑，即斜面對(duì)圓柱體不提供摩擦力，則圓柱體在重力作用下沿斜面只滑動(dòng)不滾動(dòng)。 答 圓柱體沿斜面無滑動(dòng)滾動(dòng)，如課本195頁例2示，當(dāng)柱體一定時(shí)，相對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大則越小，故與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)。當(dāng)圓柱體沿斜面既滾動(dòng)又滑動(dòng)地向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，如課本圖3.7.7有這里是滑動(dòng)摩擦力，是滑動(dòng)摩擦系數(shù)，（注意，無滑動(dòng)時(shí)，靜摩擦力并不一定達(dá)到極限值，是靜摩擦

24、系數(shù)）、所以與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量無關(guān)。又有轉(zhuǎn)動(dòng)定律得即 由得圓柱與斜面的相對(duì)滑動(dòng)加速度與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)3.11 答 剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)或定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，體內(nèi)任一點(diǎn)的線速度才可寫為，這時(shí)是任一點(diǎn)到左邊一點(diǎn)引出的矢徑不等于該點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的垂直距離對(duì)定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體圓點(diǎn)一般取在定點(diǎn)位置，對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，坐標(biāo)原點(diǎn)可取在定軸上任一點(diǎn)；包含原點(diǎn)且與轉(zhuǎn)軸垂直的平面內(nèi)的各點(diǎn)，才等于到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。當(dāng)剛體作平面平行運(yùn)動(dòng)或任意運(yùn)動(dòng)時(shí)，人一點(diǎn)相對(duì)與基點(diǎn)的速度也可寫為，其中為該點(diǎn)向基點(diǎn)引的矢徑。3.12 答 剛體繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，的大小、方向時(shí)刻改變，任意時(shí)刻所在的方位即為瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸，表示由于大小和方向的改變引起的剛體上某但繞瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)速度，故稱

25、轉(zhuǎn)動(dòng)加速度。是由于剛體上某點(diǎn)繞瞬時(shí)軸轉(zhuǎn)動(dòng)引起速度方向改變產(chǎn)生的加速度，它恒垂直指向瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸，此方向軌跡的曲率中心或定點(diǎn)，故稱向軸加速度而不稱向心加速度。3.13 答 在對(duì)定點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)量矩定理推導(dǎo)歐勒動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，既考慮了剛體繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的定量矩隨固連于剛體的坐標(biāo)系繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)引起的動(dòng)量矩改變，又考慮了相對(duì)固連于剛體的坐標(biāo)軸的運(yùn)動(dòng)引起動(dòng)量矩的改變也就是說，既考慮了隨剛體運(yùn)動(dòng)的牽連運(yùn)動(dòng)，又考慮了相對(duì)于剛體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，是以固定參考系觀測(cè)矢量對(duì)時(shí)間微商的，故用這種坐標(biāo)系并不影響對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)的研究。3.14 答 歐勒動(dòng)力學(xué)方程的第二項(xiàng)是由于動(dòng)量矩矢量隨剛體以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的它們具有定性力矩的物理意義，各項(xiàng)的負(fù)值

26、表示了慣性力系對(duì)定點(diǎn)的主矩在各動(dòng)軸上的分量第四章思考題解答4.1.答：矢量的絕對(duì)變化率即為相對(duì)于靜止參考系的變化率。從靜止參考系觀察變矢量隨轉(zhuǎn)動(dòng)系以角速度相對(duì)與靜止系轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)本身又相對(duì)于動(dòng)系運(yùn)動(dòng)，所以矢量的絕對(duì)變化率應(yīng)當(dāng)寫作。其中是相對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)參考系的變化率即相對(duì)變化率；是隨動(dòng)系轉(zhuǎn)動(dòng)引起的變化率即牽連變化率。若相對(duì)于參考系不變化，則有，此時(shí)牽連運(yùn)動(dòng)就是絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，；若即動(dòng)系作動(dòng)平動(dòng)或瞬時(shí)平動(dòng)，則有此時(shí)相對(duì)運(yùn)動(dòng)即為絕對(duì)運(yùn)動(dòng) ；另外，當(dāng)某瞬時(shí)，則，此時(shí)瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸與平行，此時(shí)動(dòng)系的轉(zhuǎn)動(dòng)不引起的改變。當(dāng)動(dòng)系作平動(dòng)或瞬時(shí)平動(dòng)且相對(duì)動(dòng)系瞬時(shí)靜止時(shí)，則有；若隨動(dòng)系轉(zhuǎn)動(dòng)引起的變化與相對(duì)動(dòng)系運(yùn)動(dòng)的變化等值反向時(shí)，也

27、有。4.2.答：式（4.1.2） 是平面轉(zhuǎn)動(dòng)參考系的單位矢對(duì)時(shí)間的微商，表示由于動(dòng)系轉(zhuǎn)動(dòng)引起方向的變化率。由于動(dòng)坐標(biāo)系中的軸靜止不動(dòng)。故有；又恒沿軸方位不變，故不用矢積形式完全可以表示和。式（4.2.3），是空間轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系的單位矢對(duì)時(shí)間的微商，表示由于動(dòng)系轉(zhuǎn)動(dòng)引起方向的變化率，因動(dòng)系各軸都轉(zhuǎn)動(dòng)；又在空間的方位隨時(shí)間改變際不同時(shí)刻有不同的瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸，故必須用矢積表示 。（4.1.2）是（4.2.3）的特例，當(dāng)代入（4.2.3），即為（4.1.2）式。不能由式（4.1.2）推出（4.2.3）。4.3.答：人隨衛(wèi)星式飛船繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)過程中受到慣性離心力作用，此力與地心引力方向相反，使人處于失重狀態(tài)，故感

28、到身輕如燕。4.4.答：慣性離心力是隨轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系一起轉(zhuǎn)動(dòng)的物體受到慣性離心力，它作用于隨動(dòng)系一起轉(zhuǎn)動(dòng)的物體上，它不是物體間的相互作用產(chǎn)生的，也不是產(chǎn)生反作用力，是物體的慣性在非慣性系的反映；離心力是牛頓力，是作用于給曲線運(yùn)動(dòng)提供向心力的周圍物體上的力，或者說離心力是作用于轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系上的力，它是向心力的反作用力。4.5.答：如題4.5所示，由于物體相對(duì)于圓盤的速度矢量，故科里奧利力；又，故牽連切向慣心力；所以物體只受到牽連法向慣性力即慣性離心力的作用，如圖示，方向垂直于轉(zhuǎn)軸向外。4.6.答；單線鐵路上，南來北往的列車都要通過，以北半球?yàn)槔疖囀艿降目剖蠎T性力總是指向運(yùn)動(dòng)方向的右側(cè)（南半球相反）

29、，從北向南來的列車使西側(cè)鐵軌稍有磨損，故兩條鐵軌的磨損程度并不相同。4.7.答：拋體的落地偏差是由于科里奧利力引起的，當(dāng)炮彈自赤道水平方向朝北或朝正南射出時(shí)，出刻，科里奧利力為零，但炮彈運(yùn)行受重力作用改變方向使得與不平行，朝北和朝南射出的炮彈都有向東的落地偏差。若以仰角或垂直向上射出，炮彈上升和降落過程中科氏慣性力方向相反，大小相等，且上升時(shí)間等于下降時(shí)間，故落地?zé)o偏差。4.8.答：單擺震動(dòng)面的旋轉(zhuǎn)是擺錘 受到科里奧利力的緣故，其中是擺錘的質(zhì)量，是地球繞地軸的自轉(zhuǎn)角速度，是擺錘的速度。南半球上擺錘受到的科氏力總是指向起擺動(dòng)方向的左側(cè)，如題4.8圖是南半球上單擺的示意圖，若沒有科氏慣性力，單擺將

30、沿?cái)[動(dòng)，事實(shí)上由于科里奧利力的作用單擺從向擺動(dòng)逐漸向左側(cè)移動(dòng)到達(dá)點(diǎn)，從點(diǎn)向回?cái)[動(dòng)過程中逐漸 左偏到達(dá)點(diǎn)，以此推論，擺動(dòng)平面將沿逆時(shí)針方向偏轉(zhuǎn)?？评飱W利力很小，每一次擺動(dòng)，平面的偏轉(zhuǎn)甚微，必須積累很多次擺動(dòng)，才顯出可覺察的偏轉(zhuǎn)。（圖中是為了便于說明而過分夸張的示意圖）。由，在赤道上緯度，即在赤道上擺動(dòng)平面不偏轉(zhuǎn)。這里不難理解的，若擺動(dòng)平面沿南北方向，科氏慣性力為零；若單擺平面沿東西方位，則科氏力一定在赤道平面與單擺的擺動(dòng)平面共面，故不會(huì)引起擺動(dòng)平面的偏轉(zhuǎn)。4.9.答：在上一章剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)中，動(dòng)系固連于剛體一起轉(zhuǎn)動(dòng)，但剛體上任一點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，即各點(diǎn)的相對(duì)速度，故科里奧利加速度。事實(shí)上

31、，科氏加速度是牽連轉(zhuǎn)動(dòng)與相對(duì)運(yùn)動(dòng)相互影響而產(chǎn)生的，沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，就談不到科里奧利加速度的存在。第四章習(xí)題4.1一等腰直角三角形在其自身平面內(nèi)以勻角速繞頂點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。某一點(diǎn)以勻相對(duì)速度沿邊運(yùn)動(dòng)，當(dāng)三角形轉(zhuǎn)了一周時(shí)，點(diǎn)走過了。如已知，試求點(diǎn)在時(shí)的絕對(duì)速度與絕對(duì)加速度。 4.2一直線以勻角速在一固定平面內(nèi)繞其一端轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)直線為于的位置時(shí)，有一質(zhì)點(diǎn)開始從點(diǎn)沿該直線運(yùn)動(dòng)。如欲使此點(diǎn)的絕對(duì)速度的量值為常數(shù)，問此點(diǎn)應(yīng)按何種規(guī)律沿此直線運(yùn)動(dòng)？ 4.3點(diǎn)離開圓錐頂點(diǎn)，以速度沿母線作勻速運(yùn)動(dòng)，此圓錐則以勻角速繞其軸轉(zhuǎn)動(dòng)。求開始秒后點(diǎn)絕對(duì)加速度的量值，假定圓錐體的半頂角為。 4.4小環(huán)重，穿在曲線形的光滑鋼絲上，此曲線

32、通過坐標(biāo)原點(diǎn)，并繞豎直軸以勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)。如欲使小環(huán)在曲線上任何位置均處于相對(duì)平衡狀態(tài)，求此曲線的形狀及曲線對(duì)小環(huán)的約束反作用力。 4.5在一光滑水平直管中有一質(zhì)量為的小球。此管以勻角速繞通過其一端的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。如開始時(shí)，球距轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離為，球相對(duì)于管的速度為零，而管的總長則為。求球剛要離開管口時(shí)的相對(duì)速度與絕對(duì)速度，并求小球從開始運(yùn)動(dòng)到離開管口所需的時(shí)間。 4.6一光滑細(xì)管可在豎直平面內(nèi)繞通過其一端的水平軸以勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，管中有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)。開始時(shí)，細(xì)管取水平方向，質(zhì)點(diǎn)距轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離為，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于管的速度為，試求質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于管的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。4.7 質(zhì)量分別為及的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，用一固定有長度為的彈性繩相連

33、，繩的倔強(qiáng)系數(shù)為。如將此系統(tǒng)放在光滑的水平管中，管子繞管上某點(diǎn)以勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，試求任一瞬時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)間的距離。設(shè)開始時(shí)，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于管子是靜止的。 4.8 軸為豎直而頂點(diǎn)向下的拋物線形金屬絲上，以勻角速繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。另有一質(zhì)量為的小環(huán)套在此金屬絲上，并沿著金屬絲滑動(dòng)。試求小環(huán)運(yùn)動(dòng)微分方程。已知拋物線的方程為，式中為常數(shù)。計(jì)算時(shí)可忽略摩檫阻力。 4.9 在上題中，試用兩種方法求小環(huán)相對(duì)平衡的條件。 4.10 質(zhì)量為的小環(huán)，套在半徑為的光滑圓圈上，并可沿著圓圈滑動(dòng)。如圓圈在水平面內(nèi)以勻角速繞圈上某點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，試求小環(huán)沿圓圈切線方向的運(yùn)動(dòng)微分方程。 4.11 如自北緯為的地方，以仰角自地面向東方發(fā)射一炮彈，炮彈

34、的腔口速度為。計(jì)及地球自轉(zhuǎn)，試證此炮彈落地的橫向偏離為 式中為地球自轉(zhuǎn)的角速度。計(jì)算時(shí)可忽略項(xiàng)。 4.12一質(zhì)點(diǎn)如以初速在緯度為的地方豎直向上射出，達(dá)到h高后，復(fù)落至地面。假定空氣阻力可以忽略不計(jì)，試求落至地面時(shí)的偏差。第五章思考題解答5.1 答：作.用于質(zhì)點(diǎn)上的力在任意虛位移中做的功即為虛功，而虛位移是假想的、符合約束的、無限小的.即時(shí)位置變更，故虛功也是假想的、符合約束的、無限小的.且與過程無關(guān)的功，它與真實(shí)的功完全是兩回事.從可知：虛功與選用的坐標(biāo)系無關(guān)，這正是虛功與過程無關(guān)的反映；虛功對(duì)各虛位移中的功是線性迭加，虛功對(duì)應(yīng)于虛位移的一次變分.在虛功的計(jì)算中應(yīng)注意：在任意虛過程中假定隔離保

35、持不變，這是虛位移無限小性的結(jié)果.虛功原理給出受約束質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件，比靜力學(xué)給出的剛體平衡條件有更普遍的意義；再者，考慮到非慣性系中慣性力的虛功，利用虛功原理還可解決動(dòng)力學(xué)問題，這是剛體力學(xué)的平衡條件無法比擬的；另外，利用虛功原理解理想約束下的質(zhì)點(diǎn)系的平衡問題時(shí)，由于約束反力自動(dòng)消去，可簡便地球的平衡條件；最后又有廣義坐標(biāo)和廣義力的引入得到廣義虛位移原理，使之在非純力學(xué)體系也能應(yīng)用，增加了其普適性及使用過程中的靈活性.由于虛功方程中不含約束反力.故不能求出約束反力，這是虛功原理的缺點(diǎn).但利用虛功原理并不是不能求出約束反力，一般如下兩種方法：當(dāng)剛體受到的主動(dòng)力為已知時(shí)，解除某約束或某一方向的約

36、束代之以約束反力；再者，利用拉格朗日方程未定乘數(shù)法，景觀比較麻煩，但能同時(shí)求出平衡條件和約束反力.5.2 答 因拉格朗日方程是從虛功原理推出的，而徐公原理只適用于具有理想約束的力學(xué)體系虛功方程中不含約束反力，故拉格朗日方程也只適用于具有理想約束下的力學(xué)體系，不含約束力；再者拉格朗日方程是從力學(xué)體系動(dòng)能改變的觀點(diǎn)討論體系的運(yùn)動(dòng)，而約束反作用力不能改變體系的動(dòng)能，故不含約束反作用力，最后，幾何約束下的力學(xué)體系其廣義坐標(biāo)數(shù)等于體系的自由度數(shù)，而幾何約束限制力學(xué)體系的自由運(yùn)動(dòng)，使其自由度減小，這表明約束反作用力不對(duì)應(yīng)有獨(dú)立的廣義坐標(biāo)，故不含約束反作用力.這里討論的是完整系的拉格朗日方程，對(duì)受有幾何約束

37、的力學(xué)體系既非完整系，則必須借助拉格朗日未定乘數(shù)法對(duì)拉格朗日方程進(jìn)行修正.廣義坐標(biāo)市確定質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系完整的獨(dú)立坐標(biāo)，它不一定是長度，可以是角度或其他物理量，如面積、體積、電極化強(qiáng)度、磁化強(qiáng)度等.顯然廣義坐標(biāo)不一定是長度的量綱.在完整約束下，廣義坐標(biāo)數(shù)等于力學(xué)體系的自由度數(shù)；廣義力明威力實(shí)際上不一定有力的量綱可以是力也可以是力矩或其他物理量，如壓強(qiáng)、場(chǎng)強(qiáng)等等，廣義力還可以理解為；若讓廣義力對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)作單位值的改變，且其余廣義坐標(biāo)不變，則廣義力的數(shù)值等于外力的功由知，有功的量綱，據(jù)此關(guān)系已知其中一個(gè)量的量綱則可得到另一個(gè)量的量綱.若是長度，則一定是力，若是力矩，則一定是角度，若是體積，則一定是

38、壓強(qiáng)等.5.3 答 與不一定只相差一個(gè)常數(shù)，這要由問題的性質(zhì)、坐標(biāo)系的選取形式及廣義坐標(biāo)的選用而定。直角坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)動(dòng)能，若取為廣義坐標(biāo)，則，而，相差一常數(shù)，如定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的動(dòng)能，取廣義坐標(biāo)，而與相差一常數(shù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，又如極坐標(biāo)系表示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)動(dòng)能，若取，有，而，二者相差一變數(shù)；若取有，而,二者相差一變數(shù).在自然坐標(biāo)系中，取，有，而，二者相差一變數(shù).從以上各例可看出：只有在廣義坐標(biāo)為長度的情況下，與才相差一常數(shù);在廣義坐標(biāo)為角量的情形下，與相差為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的量綱.為何比更富有物理意義呢？首先，對(duì)應(yīng)于動(dòng)力學(xué)量，他建立了系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)、或與廣義速度、廣義坐標(biāo)的聯(lián)系，它的變化可直接反應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)的

39、改變，而是對(duì)應(yīng)于運(yùn)動(dòng)學(xué)量，不可直接反應(yīng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征；再者，系統(tǒng)地拉格朗日函數(shù)中不含某一廣義坐標(biāo)時(shí)，對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量常數(shù)，存在一循環(huán)積分，給解決問題帶來方便，而此時(shí)循環(huán)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義速度并不一定是常數(shù)，如平方反比引力場(chǎng)中，不含，故有常數(shù),但常數(shù)；最后，由哈密頓正則方程知,是一組正則變量:哈密頓函數(shù)中不含某個(gè)廣義坐標(biāo)時(shí)，對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量常數(shù)，不含某個(gè)廣義動(dòng)量時(shí)，對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)常數(shù)5.4答只有對(duì)于完整系，廣義坐標(biāo)數(shù)等于自由度數(shù)，才能消去所有的約束方程，式（5.3.13）各才能全部相互獨(dú)立，得到式（5.3.14），故拉格朗日方程只適用于完整系，非完整力學(xué)體系，描述體系的運(yùn)動(dòng)需要的廣義坐標(biāo)多于自由度數(shù)，

40、各不全部獨(dú)立，不能得到（5.3.14）式，但（5.3.13）式結(jié)合拉格朗日方程未定乘數(shù)法可用于非完整系。5.6 答 力學(xué)體系在平衡位置附近的動(dòng)力學(xué)方程（5.4.4）得久期方程（本征值方程）（5.4.6）式，其中，久期方程的各根（本征值）的性質(zhì)決定體系平衡位置附近的小振動(dòng)性質(zhì)。因從本征方程（5.4.6）式中可求出個(gè)的本征值（），每一個(gè)對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立的常數(shù)故個(gè)常數(shù)中只有個(gè)是獨(dú)立的。5.7答多自由度體系的小振動(dòng)，每一廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)于個(gè)主頻率的諧振動(dòng)的疊加。若通過坐標(biāo)間線性變換使得每一廣義坐標(biāo)僅對(duì)應(yīng)一個(gè)頻率的振動(dòng)，則變換后的坐標(biāo)稱之為簡正坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)的頻率為簡正頻率，每一簡正坐標(biāo)對(duì)應(yīng)一個(gè)簡正頻率，而簡正頻率

41、數(shù)和力學(xué)體系的自由度數(shù)相等，故簡正坐標(biāo)數(shù)等于自由度數(shù)。 值得說的是，每一簡正振動(dòng)為整個(gè)力學(xué)體系所共有，反映的是各質(zhì)點(diǎn)（整體）的振動(dòng)之一，其他坐標(biāo)都作為簡正坐標(biāo)的線性函數(shù)，由個(gè)簡正振動(dòng)疊加而成。這種方法在統(tǒng)計(jì)物理，固體物理中都有運(yùn)用。5.8答對(duì)一完整的穩(wěn)定的力學(xué)體系在有阻尼的情況下，它們?cè)谄胶馕恢酶浇鼘⒆魉p運(yùn)動(dòng)。引入耗散函數(shù)則阻力 力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)方程改為其中，中是的函數(shù)，把在平衡位形區(qū)域展開成泰勒級(jí)數(shù)高級(jí)項(xiàng)很小，只保留頭一項(xiàng)，則均為常數(shù)。代入運(yùn)動(dòng)方程得把代入上式得本征值方程在，的小阻尼情況下，本征值，且振動(dòng)方程為顯然是按指數(shù)率的衰減振動(dòng)。5.9答：因，故由解得所以則而5.10答：拉格朗日方程只

42、適用于完整系，哈密頓正則方程有保守系拉格朗日方程推出，故只能適用于完整的，保守的力學(xué)體系，對(duì)非保守體系（5.3.18）改寫為其中為非有勢(shì)力，或?qū)憺榧础＝?jīng)勒讓德變換后用課本上同樣的方法可推得非保守系中的哈密頓正則方程5.11答：若哈密頓函數(shù)不顯含時(shí)間，則；對(duì)穩(wěn)定約束下的力學(xué)體系，動(dòng)能不是速度的二次齊次函數(shù)，則,是以哈密頓正則變量表示的廣義總能量，因不穩(wěn)定約束的約束范例可以做功，但拉格朗日方程中不含約束力，故有此差異，此時(shí)并不是真正的能量；對(duì)穩(wěn)定的，保守的力學(xué)體系，若含則是能量但不為常熟。5.12答：泊松括號(hào)是一種縮寫符號(hào)，它表示已同一組正則變量為自變量的二函數(shù)之間的關(guān)系。若，則是物理學(xué)中最常用的

43、泊松括號(hào)，用泊松括號(hào)可表示力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)正則方程用泊松括號(hào)的性質(zhì)復(fù)雜微分運(yùn)算問題化為簡單的括號(hào)運(yùn)算，這種表示法在量子力學(xué)，量子場(chǎng)論等課程中被廣泛應(yīng)用。每一正則方程必對(duì)應(yīng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)積分，利用泊松括號(hào)從正則方程=積分可以推出另外一個(gè)積分，這一關(guān)系稱為泊松定理。5.13 答：哈密頓原理是用變分的方法確定運(yùn)動(dòng)規(guī)律的，它是力學(xué)變分原理的積分形式?；舅枷胧窃诿枋隽W(xué)體系的維空間中，用變分求極值的方法，從許多條端點(diǎn)相同的曲線中挑選一條真是軌道確定體系的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律。因?yàn)閷?duì)等時(shí)變分，故變分符號(hào)可置于積分號(hào)內(nèi)也可置于積分號(hào)外，而不等時(shí)變分，故全變分符號(hào)不能這樣。5.14答：力學(xué)體系的哈密頓函數(shù)中是否有循環(huán)坐標(biāo)系

44、或循環(huán)坐標(biāo)的數(shù)目與坐標(biāo)系（或參變數(shù)）的選取有關(guān)，故在正則方程形式不變的前提下，通過某種變數(shù)變換找到新的函數(shù)，使之多出現(xiàn)一些循環(huán)坐標(biāo)，此即正則變換的目的及公用。由于每一循環(huán)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)積分，正則變換后可多得到一些運(yùn)動(dòng)積分，給解決問題帶來方便，正則變換的關(guān)鍵是母函數(shù)的選取，其選取的原則是使中多出現(xiàn)循環(huán)坐標(biāo)，但并無一定的規(guī)律可循，要具體問題具體分析。5.15答：哈密頓正則方程是個(gè)一階微分方程的方程組，用泊松定理解之，由而已知運(yùn)動(dòng)積分求出其余的運(yùn)動(dòng)積分往往是已知解的線性組合或橫等時(shí)，并不能給出新的解；而用正則變換可多得到一些循環(huán)坐標(biāo)是正則方程立即有解，但母函數(shù)的選取往往很困難，哈密頓雅可畢理論的目

45、的既是要彌補(bǔ)上述缺陷，通過一個(gè)特殊的正則變換，使得用新變量表示的哈密頓函數(shù)，此時(shí)全部為常數(shù)，這樣哈密頓得主函數(shù)極為母函數(shù)，從而解決母函數(shù)難以尋找的困難。5.16答：對(duì)（5.9.8）式若為不穩(wěn)定約束，只需以代替即可，故對(duì)（5.9.8）式分離變量后推出的（5.9.12）中也只需以代即可用于不穩(wěn)定約束。正則方程利用哈雅理論后得到結(jié)果十分普遍，可同時(shí)得出運(yùn)動(dòng)規(guī)律，軌道級(jí)動(dòng)量，故比拉格朗日方程優(yōu)越。5.17答：經(jīng)典“牛頓力學(xué)”常用于幾何的觀點(diǎn)，運(yùn)用形象化思維的方式，研究力學(xué)體系的受力情況及運(yùn)動(dòng)情況，然后通過運(yùn)動(dòng)非常及時(shí)物體的受力與運(yùn)動(dòng)變化間的相互聯(lián)系和前因后果。這種方法形象，直觀，物理意義鮮明，被廣泛應(yīng)

46、用于工程實(shí)際。但由于它著眼于力，速度，加速度等矢量，給解決復(fù)雜的力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)問題帶來許多不便；再者，它僅僅局限于純力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)分析，其理論與方法難以建立與其它學(xué)科的聯(lián)系。5.18答：十九世紀(jì)發(fā)展起來的“分析力學(xué)方法彌補(bǔ)了上述缺陷，它用純數(shù)學(xué)分析的方法用更具有概括性的抽象思維方式，從力學(xué)體系的一切可能的運(yùn)動(dòng)中挑選出實(shí)際運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。這種方法盡管物理意義不如牛頓力學(xué)方法鮮明，但它給人們解決復(fù)雜力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)問題提供了有一方法；再者，由于廣義坐標(biāo)，廣義力的引入使其理論在其它學(xué)科中也能廣泛的應(yīng)用。建立了經(jīng)典物理學(xué)向近代物理學(xué)過渡的橋梁。下面通過分析力學(xué)與牛頓力學(xué)理論及方法的比較扼要闡述分析力學(xué)的優(yōu)越

47、性。牛頓力學(xué)的著眼點(diǎn)是力，實(shí)際力學(xué)體系除受到促使其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變的主動(dòng)力，往往還存在很多限制其運(yùn)動(dòng)的約束條件體現(xiàn)這些約束的約束反作用力都要作為未知數(shù)出現(xiàn)于運(yùn)動(dòng)微分方程，使未知量增加給解算帶來許多麻煩；分析力學(xué)著眼于功和能在一定條件下，常常可以不考慮約束反作用力。如在理想條件下，用虛位移原理解決力學(xué)體系的平衡問題可撇開眾多的未知未知約束力，直接得出平衡條件，比用牛頓力學(xué)中剛體受力的平衡方程方便得多；達(dá)朗伯虛位移原理解決力學(xué)體系的動(dòng)力學(xué)問題，由于虛功的概念、廣義坐標(biāo)的引入，也可撇開約束力得解，比用牛頓方程即由此推出的動(dòng)量定理，動(dòng)量矩定理方便；拉格朗日方程、哈密頓原理即由此得到的分析力學(xué)一系列方程均具這一優(yōu)點(diǎn)。從一分為二的觀點(diǎn)來看，這也是分析力學(xué)的缺點(diǎn)不能求出約束反作用力。當(dāng)把待求的約束反力或做功的約束反力作為主動(dòng)力來看，分析力學(xué)的理論修改后仍能應(yīng)用。牛頓力學(xué)用矢量的方法研究力學(xué)