高數(shù)1概念性質(zhì)

1、無窮級(jí)數(shù) 0 = 0+0+0+ = (1 1)+ (1 1)+ = 1 1+ 1 1+ = 1+( 1+1)+( 1+1)+ =1 例例1 例例2（芝諾悖論芝諾悖論）一個(gè)人和烏龜賽跑，烏龜在人前面一個(gè)人和烏龜賽跑，烏龜在人前面 1000米開始，并規(guī)定人的速度是烏龜?shù)拿组_始，并規(guī)定人的速度是烏龜?shù)?0倍。倍。 人跑了人跑了1000米時(shí)，烏龜跑了米時(shí)，烏龜跑了100米；人再跑米；人再跑100米時(shí)，米時(shí)， 烏龜跑了烏龜跑了10米米;以此類推以此類推. 結(jié)論是：人永遠(yuǎn)追不上烏龜結(jié)論是：人永遠(yuǎn)追不上烏龜. “一尺之棰，日取其半，萬世不竭一尺之棰，日取其半，萬世不竭”， 解 設(shè)龜速V0，則人速10V0，人

2、跑1000米用時(shí)100/V0 ，這時(shí)龜走了100米，人跑100米用時(shí)10/V0， 這時(shí)龜走了10米，這10米人又用時(shí)10/V0，。 總之，人追上龜用時(shí)： ? .)01. 01 . 0110100( 1 . 01. 01 . 0110100 0 00000 v vvvvv T 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 數(shù)列極限的另一種表現(xiàn)形式；數(shù)列極限的另一種表現(xiàn)形式； 是表示函數(shù)，研究函數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值是表示函數(shù)，研究函數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值 計(jì)算的一種工具；計(jì)算的一種工具； 傅氏級(jí)數(shù)是通信科學(xué)中重要工具。傅氏級(jí)數(shù)是通信科學(xué)中重要工具。 內(nèi)容內(nèi)容 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，將函數(shù)展開成冪級(jí)

3、 數(shù)與三角級(jí)數(shù)的問題。數(shù)與三角級(jí)數(shù)的問題。 一、問題的提出一、問題的提出 1. 1. 計(jì)算圓的面積計(jì)算圓的面積 R 正六邊形的面積正六邊形的面積 正十二邊形面積正十二邊形面積 1 a 21 aa 正正 形的面積形的面積 n 23 n aaa 21 n aaaA 21 即即 n 10 3 1000 3 100 3 10 3 3 1 . 2 n aaaA 21 2. 小球從 1 米高處自由落下, 每次跳起的高度減 少一半, 問小球是否會(huì)在某時(shí)刻停止運(yùn)動(dòng)? 說明道理. 由自由落體運(yùn)動(dòng)方程 2 g 2 1 ts 知 g 2s t 則小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 1 tT 2 2t 3 2t g 2 1 2 1 2

4、 2 )2( 1 21 2 g 12 63. 2 ( s ) 設(shè) tk 表示第 k 次小球落地的時(shí)間 , 二、級(jí)數(shù)的概念二、級(jí)數(shù)的概念 1. 1. 級(jí)數(shù)的定義級(jí)數(shù)的定義: : n n n uuuuu 321 1(常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng))無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù) 一般項(xiàng)一般項(xiàng) 部分和數(shù)列部分和數(shù)列 s1 , s2 , , sn , n i inn uuuus 1 21 級(jí)數(shù)的級(jí)數(shù)的部分和部分和 , 11 us , 212 uus , 3213 uuus , 21nn uuus 問題：這樣的無窮和是如何相加的？結(jié)果又怎樣？ 項(xiàng)項(xiàng) 2. 2. 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散: : 即即常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂(

5、 (發(fā)散發(fā)散) ) n n s lim存在存在( (不存在不存在) ) 余項(xiàng)余項(xiàng) nn ssr 21nn uu 1i in u 即即 ssn 誤差為誤差為 n r)0lim( n n r 級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂的 N 定義： 例例 寫出下列級(jí)數(shù)寫出下列級(jí)數(shù) 的通項(xiàng)，并以的通項(xiàng)，并以 的形式表示。的形式表示。 2 4 5 3 4 2 3 2xxxxx 1n n u 解解 將上述級(jí)數(shù)寫成更有規(guī)律的形式將上述級(jí)數(shù)寫成更有規(guī)律的形式 2 4 2 3 2 2 2 1 4 5 3 4 2 3 1 2 xxxx 故原級(jí)數(shù)可寫成故原級(jí)數(shù)可寫成 一般項(xiàng)為一般項(xiàng)為 2 1 1 1 n n n x n n u 1 2 1

6、 1 1 n n n x n n 解解 )1( q 12 n n aqaqaqas q qa n 1 )1( ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q0lim n n q q a sn n 1 lim ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q n n qlim n n slim 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)收斂收斂 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散 時(shí)時(shí)如果如果1 q ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q nasn 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散 aaaa級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)變變?yōu)闉?不不存存在在 n n s lim級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散 綜上綜上 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,1 ,1 0 q q aq n n 例例 2 2 判判別別無無窮窮級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) )12()12( 1 53 1 31 1 nn

7、的的收收斂斂性性. . 解解 )12)(12( 1 nn un), 12 1 12 1 ( 2 1 nn )12()12( 1 53 1 31 1 nn sn ) 12 1 12 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 3 1 1( 2 1 nn ) 12 1 1( 2 1 limlim n s n n n ), 12 1 1( 2 1 n , 2 1 . 2 1 , 和為和為級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂 技巧技巧: 利用 “拆項(xiàng)相消拆項(xiàng)相消” 求 和 (2).(2). 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性: 1 1 ln n n n 解解: 1 2 ln n S nnln) 1ln()2ln3(ln) 1l

8、n2(ln ) 1ln( n）n( 所以級(jí)數(shù)發(fā)散 ; 技巧技巧: 利用 “拆項(xiàng)相消拆項(xiàng)相消” 求 和 2 3 ln 3 4 ln n n1 ln 例例3.判別級(jí)數(shù) 2 2 1 1ln n n 的斂散性 . 解解: 2 1 1ln n 2 2 1 ln n n nnnln2) 1ln() 1ln( 2 2 1 1ln k S n k n 2ln21ln3ln3ln22ln4ln ln2) 1ln() 1ln(nnn 5ln 4ln23ln 2lnnnln) 1ln( 2ln)1ln( 1 n , 2lnlim n n S故原級(jí)數(shù)收斂 , 其和為.2ln 注：我們可以用數(shù)列極限研究級(jí)數(shù)的斂散性，即

9、注：我們可以用數(shù)列極限研究級(jí)數(shù)的斂散性，即 級(jí)數(shù)是數(shù)列極限研究的新形式。級(jí)數(shù)是數(shù)列極限研究的新形式。 反之，任取一個(gè)數(shù)列反之，任取一個(gè)數(shù)列u1，u2，un，則，則 其極限可以化為其極限可以化為 u1+(u2-u1)+(un-un-1)+ 這樣一個(gè)級(jí)數(shù)的斂散問題，即可以用級(jí)數(shù)斂散的這樣一個(gè)級(jí)數(shù)的斂散問題，即可以用級(jí)數(shù)斂散的 方法來研究數(shù)列的極限。方法來研究數(shù)列的極限。 三、基本性質(zhì)三、基本性質(zhì) 三、基本性質(zhì)三、基本性質(zhì) 注意注意： 作為一種新的運(yùn)算，級(jí)數(shù)是一個(gè)極限過程，所以應(yīng)與有作為一種新的運(yùn)算，級(jí)數(shù)是一個(gè)極限過程，所以應(yīng)與有 限和的運(yùn)算性質(zhì)有所區(qū)別限和的運(yùn)算性質(zhì)有所區(qū)別 結(jié)論結(jié)論: : 一般的

10、，一般的，級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零 的常數(shù)的常數(shù), ,斂散性不變斂散性不變. . 11n n n n ukku 三、基本性質(zhì)三、基本性質(zhì) 證證: 令 , 1 n k kn uS 則 n k kn uk 1 , n Sk n n limSk 這說明 1n n uk收斂 , 其和為 kS . n n Sk lim 性性質(zhì)質(zhì) 2 2 設(shè)設(shè)兩兩收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1n n us, , 1n n v, , 則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1 )( n nn vu收收斂斂, ,其其和和為為 s. . 結(jié)論結(jié)論: : 收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減. . 111 )(

11、nn nn n nn vuvu 證證: 令 , 1 n k kn uS, 1 n k kn v 則 )( 1 k n k kn vu nn S )( nS 這說明級(jí)數(shù) )( 1 n n n vu 也收斂, 其和為.S 注釋注釋1 1 兩個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)逐項(xiàng)逐項(xiàng)相加所得的新級(jí)數(shù)并不一 定發(fā)散, , 例如, , 1 1 )1( n n 1 )1( n n 000)1()1( 1 1n n n 與 都發(fā)散, , 但 是收斂的. . 2 然而一個(gè)收斂級(jí)數(shù)與一個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)逐項(xiàng)和 所得的級(jí)數(shù)必是發(fā)散的 只證：只證：去掉級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性去掉級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性. 即，去掉、增加或者改變前有限

12、項(xiàng)所得級(jí)數(shù)與 原級(jí)數(shù)有相同的斂散性(當(dāng)然, , 在收斂時(shí), , 其和 數(shù)一般是不同的. .) 證證: 將級(jí)數(shù)的前 k 項(xiàng)去掉, 的部分和為 n l lkn u 1 knk SS nkn S 與,時(shí)由于n 數(shù)斂散性相同. 當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 其和的關(guān)系為. k SS 極限狀況相同, 故新舊兩級(jí) 所得新級(jí)數(shù) 只證：只證：去掉級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性去掉級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性. 1n n u 證明證明 即：收斂的級(jí)數(shù)在求和過程中滿足結(jié)合律 設(shè)收斂級(jí)數(shù), 1 n n uS若按某一規(guī)律加括弧, )()( 54321 uuuuu 則新級(jí)數(shù)的部分和序列 ), 2 , 1(m m 為原級(jí)數(shù)部分和 序

13、列 ),2,1(nSn的一個(gè)子序列, n n m m S limlimS 因此必有 例如 收斂級(jí)數(shù)去括號(hào)后斂散性不確定收斂級(jí)數(shù)去括號(hào)后斂散性不確定 例如例如 常用此方法判斷級(jí)數(shù)發(fā)散性常用此方法判斷級(jí)數(shù)發(fā)散性 1111 1111 0000 0000 收斂，但原級(jí)數(shù)收斂，但原級(jí)數(shù) 發(fā)散又如發(fā)散又如 收斂，原級(jí)數(shù)收斂，原級(jí)數(shù) 收斂收斂 即：收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂即：收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂. 但如果去括弧后所成的級(jí)數(shù)收斂，則原級(jí)數(shù)但如果去括弧后所成的級(jí)數(shù)收斂，則原級(jí)數(shù) （含有括號(hào)）收斂。（含有括號(hào)）收斂。性質(zhì)性質(zhì)4的另的另一種說法。一種說法。 0 = 0+0+0+ = (1

14、 1)+ (1 1)+ = 1 1+ 1 1+ = 1+( 1+1)+( 1+1)+ =1 有限和的運(yùn)算律不一定適用于無窮和。有限和的運(yùn)算律不一定適用于無窮和。 例例4.判斷級(jí)數(shù)的斂散性: 14 1 14 1 13 1 13 1 12 1 12 1 解解: 考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù) )()()( 14 1 14 1 13 1 13 1 12 1 12 1 1 1 1 1 nn an 1 2 n n n a 2 發(fā)散 , 從而原級(jí)數(shù)發(fā)散 . n n 1 2 1 四、收斂的必要條件 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂 . 0lim n n u 證明證明 級(jí)數(shù)收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件: : 1 nnn SSu 0l

15、imlimlim 1 n n n n n n SSu 可見: 若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0 , 則級(jí)數(shù)必發(fā)散則級(jí)數(shù)必發(fā)散 . 注意注意 1.1.如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零, ,則級(jí)數(shù)發(fā)散則級(jí)數(shù)發(fā)散; ; 常用來判別級(jí)數(shù)常用來判別級(jí)數(shù)發(fā)散。發(fā)散。 1 )1( 4 3 3 2 2 1 1 n n n 例如例如 發(fā)散發(fā)散 2.2.必要條件不充分必要條件不充分. . ?, 0lim但級(jí)數(shù)是否收斂但級(jí)數(shù)是否收斂有有 n n u n 1 3 1 2 1 1例如調(diào)和級(jí)數(shù)例如調(diào)和級(jí)數(shù) 假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于S , 則 0)(lim 2 nn n SS n n 2 nnnn2 1

16、 3 1 2 1 1 1 但 nn SS2 矛盾! 所以假設(shè)不真 . 2 1 例例5. 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性, 若收斂求其和: ; ! ) 1 ( 1 n n n n ne 解解: (1) 令 ; 23 1 )2( 1 23 n nnn . 2 12 ) 3( 1 n n n , ! n n n n ne u 則 n n u u 1 n n e )1 ( 1 ),2, 1(1n 故euuu nn 11 從而 ,0lim n n u 這說明級(jí)數(shù)(1) 發(fā)散. 1 11 )1 ()1 ( n n n n e 1 1 ) 1( ! ) 1( n n n ne n n n ne! 因 nnn23 1

17、23 )2)(1( )2( 2 1 nnn nn )2)(1( 1 ) 1( 1 2 1 nnnn ),2, 1(n n k n kkk S 1 23 23 1 n k kkkk 1 )2)(1( 1 ) 1( 1 2 1 進(jìn)行拆項(xiàng)相消進(jìn)行拆項(xiàng)相消 , 4 1 lim n n S這說明原級(jí)數(shù)收斂 ,. 4 1 )2)(1( 1 nnn 其和為 )2)(1( 1 21 1 2 1 nn (2) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1 2 12 )3( n n n 32 2 5 2 3 2 1 n S n n 2 12 nn SS 2 1 1432 2 12 2 5 2 3 2 1 n n 2 1

18、 2 1 2 2 1 13 2 1 2 1 n 1 2 12 n n 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 n 1 2 12 n n 1 2 1 1 2 1 n1 2 12 n n , 2 12 2 1 3 2nn n n S n n 2 12 2 5 2 3 2 1 32 這說明原級(jí)數(shù)收斂, 其和為 3 . , 3lim n n S故 (3) 五、小結(jié) 1 1. .由由定定義義, ,若若ssn, ,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂; ; 2 2. .當(dāng)當(dāng)0lim n n u, ,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 3 3. .按按基基本本性性質(zhì)質(zhì). . 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念 基本審斂法基本審斂法 思考題思考題 設(shè)設(shè) 1n n b與與 1n n c都都收收斂斂，且且 nnn cab ), 2 , 1( n，能能否否推推出出 1n n a收收斂斂？ 思考題解答思考題解答 能能由柯西審斂原理即知由柯西審斂原理即知 無窮級(jí)數(shù)收斂性舉例：無窮級(jí)數(shù)收斂性舉例：KochKoch雪花雪花. . 做法：先給定一個(gè)正三角形，然后在每條邊上對(duì)做法：先給定一個(gè)正三角形，然后在每條邊上對(duì) 稱的產(chǎn)生邊長(zhǎng)為原邊長(zhǎng)的稱的產(chǎn)生邊長(zhǎng)為原邊長(zhǎng)的1/31/3的小正三角形如此的小正三角形如此 類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到 了面積有限而周