2021屆山東高考數(shù)學(xué)教學(xué)案：第章 第2講 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示含解析

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2021屆山東高考數(shù)學(xué)一輪創(chuàng)新教學(xué)案：第4章 第2講 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示含解析第2講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示考綱解讀1。熟悉平面向量的基本定理及其意義，并掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示2會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算，并理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件(重點(diǎn)、難點(diǎn))考向預(yù)測(cè)從近三年高考情況來看，本講一直是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)預(yù)測(cè)2021年會(huì)從以下幾點(diǎn)進(jìn)行命題：向量的坐標(biāo)運(yùn)算及線性表示；根據(jù)向量共線求參數(shù)值；共線向量與其他知識(shí)綜合題型以客觀題為主，有時(shí)也會(huì)與三角函數(shù)、解析幾何綜合命題,試題難度以中檔題型為主1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一

2、平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1,2，使a1e12e2。其中,不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a(x1，y1）,b（x2，y2),則ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2），a(x1，y1)，a,|ab.3.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1），b（x2，y2),則abx1y2x2y10.1.概念辨析（1）平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底()(2）平面向量的基底不唯一,只要基底確定后,平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可被這組基底唯一表示

3、（）(3）設(shè)a，b是平面內(nèi)的一組基底，若實(shí)數(shù)1,1,2,2滿足1a1b2a2b，則12,12。（）(4)若a（x1，y1），b（x2，y2），則ab的充要條件可表示成.（）答案(1)（2)（3）(4)2.小題熱身(1）設(shè)平面向量a(1，0），b（0，2），則2a3b等于（)a。(6，3) b（2，6）c。(2,1) d（7,2)答案b解析2a3b2（1，0）3(0，2)（2,0）（0,6)（2，6）。(2)下列各組向量中，可以作為基底的是(）a。e1（0，0）,e2(1，2）b.e1(1,2），e2(5，7）c.e1(3，5）,e2（6,10）d.e1（2，3)，e2答案b解析對(duì)于a，e1e2

4、,不能作為基底;對(duì)于b，17250，所以e1與e2不共線，可以作為基底；對(duì)于c，e22e1，所以e1e2，不能作為基底；對(duì)于d，e14e2，所以e1e2，不能作為基底。(3)如圖，正方形abcd中，e為dc的中點(diǎn)，若，則的值為()a。 bc.1 d1答案a解析由題意得,又，由平面向量基本定理得,1，所以.(4)設(shè)e1，e2是不共線的兩個(gè)向量，且e1e20，則22_。答案0解析解法一：假設(shè)0，則由e1e20得e1e2，則e1，e2共線，與e1，e2不共線矛盾，所以0,同理可得0，所以220.解法二:因?yàn)?e10e20，e1，e2不共線，又因?yàn)閑1e20,所以由平面向量基本定理得0,所以220.題

5、型 一平面向量基本定理及其應(yīng)用1.如圖,有5個(gè)全等的小正方形，xy，則xy 的值是_答案1解析由平面向量的運(yùn)算可知，2，2,所以2(2)32,注意到,不共線,且xy，即xy32，所以x3，y2，所以xy1。2(2019西安調(diào)研）如圖，在平行四邊形abcd中，o是對(duì)角線ac，bd的交點(diǎn)，n是線段od的中點(diǎn)，an的延長(zhǎng)線與cd交于點(diǎn)e，若m，則實(shí)數(shù)m的值為_答案解析由n是od的中點(diǎn)，得(）,又因?yàn)閍，n，e三點(diǎn)共線,故，即m,又與不共線，所以解得故實(shí)數(shù)m。1.用平面向量基本定理解決問題的一般思路（1)先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式,再通過向量的運(yùn)算來解決(2)在基底未給出

6、的情況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來方便另外，要注意運(yùn)用平面幾何的一些性質(zhì)定理2。運(yùn)用平面向量基本定理時(shí)應(yīng)注意的問題(1）只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面向量的一組基底，基底可以有無(wú)窮多組(2)利用已知向量表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算或數(shù)乘運(yùn)算(3)利用“唯一性”建立方程組如舉例說明2。1如圖，在abc中，p是bn上的一點(diǎn)，若m，則實(shí)數(shù)m的值為_答案解析設(shè)，p是bn上的一點(diǎn)，則（）(1)（1）m.m1，解得，m.2（2019衡陽(yáng)模擬)在如圖所示的方格紙中，向量a，b,c的起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)（小正方形頂點(diǎn))上，若c與xayb（x,y為非零實(shí)數(shù)）共線，則

7、的值為_答案解析設(shè)e1,e2分別為水平方向（向右)與豎直方向(向上)的單位向量，則向量ce12e2，a2e1e2，b2e12e2，由c與xayb共線，得c（xayb)，所以e12e22（xy)e1(x2y)e2，所以所以則的值為。題型 二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.已知點(diǎn)a（1,3）,b(4，1)，則與同方向的單位向量是（)a. b.c. d.答案a解析（4，1）(1,3)（3，4),與同方向的單位向量為。2。已知a（2，4），b（3,1)，c(3,4)設(shè)a，b，c,且3c,2b。（1)求3ab3c；（2)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n;(3)求m，n的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)解由已知得a（5,5)，b(6，

8、3），c（1，8)(1）3ab3c3（5，5)(6，3)3(1,8）(1563，15324）(6,42）(2)因?yàn)閙bnc（6mn,3m8n),所以解得（3）設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)?c，所以3c(3，24)（3，4)(0,20）,所以m（0，20)，又因?yàn)?b，所以2b(12，6)(3，4)（9,2）,所以n(9，2)所以（9，18).平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1）向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)(2）解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則1.（2019廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬)已知點(diǎn)a(1，1),b（0,2），若向量(2，3），

9、則向量（）a.(3，2) b(2，2)c.（3，2） d（3,2)答案d解析由已知，得（1，1)，則(2,3）（1，1）（3，2）。2.已知a（1,1）,b（1，1)，c（1,2)，則c等于()a。ab b.abc。ab dab答案b解析設(shè)cab。則（1，2)（1,1）(1，1），所以解得所以cab。題型 三平面向量共線的坐標(biāo)表示角度1利用向量共線求參數(shù)的值1.(1）(2018全國(guó)卷）已知向量a（1，2)，b(2，2），c(1，）若c（2ab），則_;(2)平面內(nèi)有三點(diǎn)a(0,3），b(3,3），c（x，1），且a，b，c三點(diǎn)共線，則x_.答案(1)(2)1解析（1)由題意可得2ab(4,2）

10、,c（2ab)，c（1，)，420，即.(2)由題意知（3,6)，（x3，4)因?yàn)閍，b，c三點(diǎn)共線，所以與共線，所以3(4）6（x3)0，解得x1.角度2向量共線綜合問題2。（2019山東德州一模）已知abc的三邊分別是a,b，c，設(shè)向量m(sinbsina，ac)，n（sinc,ab），且mn，則b的大小是（)a. b. c。 d。答案b解析因?yàn)閙n，所以（ab)(sinbsina)sinc（ac)由正弦定理得，（ab)(ba）c(ac），整理得a2c2b2ac，由余弦定理得cosb。又0b，所以b.1。平面向量共線的充要條件的兩種形式(1）若a（x1，y1），b（x2，y2)，則ab的充

11、要條件是x1y2x2y10.如舉例說明1（1)(2）若ab（b0)，則ab.2。利用向量共線求參數(shù)值向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由向量平行求參數(shù)值當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí),可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來求解。3。向量坐標(biāo)運(yùn)算解決綜合問題的要點(diǎn)(1)準(zhǔn)確運(yùn)用加、減、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算法則（2)準(zhǔn)確運(yùn)用向量相等、向量共線、垂直的坐標(biāo)運(yùn)算形式,實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化（3)準(zhǔn)確運(yùn)用三角恒等變換、不等式、方程等知識(shí)，解決綜合問題。1.（2019綿陽(yáng)模擬)已知向量a(sin2,1），b（cos，1)，若ab,00,所以sin,解得。2。已知向量a（1,2)，b(2,3），若manb與2ab共線（其中nr，且

12、n0)，則_.答案2解析由a(1，2），b(2，3）,得manb(m2n,2m3n），2ab(0，7），由manb與2ab共線,可得7（m2n)0,則2.組基礎(chǔ)關(guān)1.向量a，b滿足ab（1，5)，ab（5，3),則b()a。(3，4） b(3，4）c.（3，4） d（3，4)答案a解析由ab（1,5)，ab(5，3），得2b(1，5）(5,3）（6,8）,所以b(6，8）(3，4).2.已知向量m與向量n(3,sinacosa)共線,其中a是abc的內(nèi)角,則角a的大小為（)a。 b。 c。 d.答案c解析mn,sina（sinacosa）0，2sin2a2sinacosa3,1cos2asin

13、2a3，sin1，a（0，），2a，解得a.3.(2019紹興模擬）已知點(diǎn)m（5,6）和向量a(1,2），若3a，則點(diǎn)n的坐標(biāo)為（)a。（2,0） b(3，6）c.(6，2） d(2，0)答案a解析因?yàn)?a(5,6）3（1，2)(2,0)，所以點(diǎn)n的坐標(biāo)為(2，0).4.已知向量a(5，2），b（4，3）,c(x，y）,若a2b3c0，則c()a. b.c. d。答案d解析因?yàn)閍2b3c(5，2)2（4，3)3（x，y）（133x，43y）0,所以解得所以c。5。（2020內(nèi)蒙古包鋼一中月考）已知在平行四邊形abcd中，(3，7），（2,3），對(duì)角線ac與bd交于點(diǎn)o，則的坐標(biāo)為()a. b。

14、c. d.答案c解析()(2,3)(3，7)(1，10）.6.（2019寧波模擬)在abc中，內(nèi)角a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)向量p（ac，b),q(ba，ca），若pq，則角c的大小為(）a.30 b60 c90 d120答案b解析由題意得(ac)（ca）b(ba)0，得a2b2c2ab,故cosc，0c180，故c60.7。(2019綿陽(yáng)模擬）如圖，四邊形abcd是正方形,延長(zhǎng)cd至e，使得decd，若點(diǎn)p為cd的中點(diǎn),且，則(）a3 b。 c2 d1答案b解析由題知，又(）()。，故選b.8。已知向量a(1，)，b（，2），若(ab)（ab）,則_.答案解析ab（1，2），ab

15、(1，2）因?yàn)?ab)（ab),所以（1）(2)(2）(1），解得.9。已知點(diǎn)a(2，3），b（4，5）,c（7，10），若（r),且點(diǎn)p在直線x2y0上，則的值為_答案解析設(shè)p（x，y）,則由，得(x2，y3）(2,2)（5,7）（25，27)，所以x54,y75.又點(diǎn)p在直線x2y0上，故542(75）0，解得。10。在abc中，點(diǎn)m，n滿足2，若xy，則x_；y_。答案解析如圖，在abc中，(），所以x，y.組能力關(guān)1.（2019江西師大附中高考模擬）已知paa（1，0）m（0，1），mr，qb|b（1，1)n(1，1)，nr是兩個(gè)向量集合，則pq等于(）a。（1,1) b(1，1)c。

16、（1，0) d(0，1)答案a解析設(shè)a（x，y），則p（x，y），集合p是直線x1上的點(diǎn)的集合同理，集合q是直線xy2上的點(diǎn)的集合,即p(x，y)x1，yr，q(x，y）|xy20，pq(1,1)故選a.2.(2019山東師范大學(xué)附中模擬）在abc中，ab2，bc3,abc60，ad為bc邊上的高,o為ad的中點(diǎn),若,則(）a.1 b。 c。 d。答案d解析在abd中,bdab1。又bc3，所以bdbc。o為ad的中點(diǎn)，,，,。3.（2020南充摸底)原點(diǎn)o是abc內(nèi)一點(diǎn)，頂點(diǎn)a在x軸上,aob150，boc90,2，1，|3，若,則（）a. b。 c d.答案d解析建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

17、則a(2，0），b,c,因?yàn)?，由向量相等的坐?biāo)表示可得解得即。4。(2019湖北省武漢市武昌區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬）已知點(diǎn)c為扇形aob的弧上任意一點(diǎn),且aob120，若(，r），則的取值范圍為(）a.2，2 b（1,c。1， d1，2答案d解析設(shè)半徑為1，由已知可設(shè)ob為x軸的正半軸，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則a，b（1,0），c（cos，sin）,有(，r），即(cos，sin）(1，0）,整理得cos，sin，解得,cos，則cossincos2sin，易知2sin在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,由單調(diào)性易得其值域?yàn)?,2.5.已知梯形abcd，其中abdc，且dc2ab，三個(gè)頂點(diǎn)a（1，2)，b(2，1）,c（4,2），則點(diǎn)d的坐標(biāo)為_答案(2，4）解析在梯形abcd中，dc2ab，abdc,2.設(shè)點(diǎn)d的坐標(biāo)為(x，y)，則(