高中數(shù)學(xué) 第一章 不等式的基本性質(zhì)和證明不等式的基本方法 1.5.2 綜合法和分析法學(xué)案 -5

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精15。2綜合法和分析法讀教材填要點1綜合法從命題的已知條件出發(fā),利用公理、已知的定義及定理,逐步推導(dǎo)，從而最后導(dǎo)出要證明的命題，這種方法稱為綜合法2分析法從需要證明的命題出發(fā),分析使這個命題成立的充分條件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后達(dá)到命題所給出的條件（或者一個已證明過的定理或一個明顯的事實），這種證明方法稱為分析法小問題大思維1如何理解分析法尋找的是使要證命題成立的充分條件？提示：用分析法證題時，語氣總是假定的,常用“欲證a只需證b”表示,說明只要b成立，就一定有a成立,所以b必須是a的充分條件才行，當(dāng)然b是a的充要條件也可2用綜合法和分析法證明不等式有怎樣

2、的邏輯關(guān)系?提示：綜合法：ab1b2bnb(逐步推演不等式成立的必要條件）,即由條件出發(fā)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立分析法：bb1b2bna(步步尋求不等式成立的充分條件），總之，綜合法與分析法是對立統(tǒng)一的兩種方法用綜合法證明不等式例1已知a,b，c均為正實數(shù),且互不相等，又abc1.求證：0,b0，求證a(b2c2）b(c2a2）4abc。證明：因為b2c22bc，a0,所以a（b2c2）2abc。又因為c2a22ac，b0，所以b（c2a2）2abc。因此a（b2c2)b(c2a2)4abc.用分析法證明不等式例2a，b均為正實數(shù)，且2cab.求證:cac。思路點撥本題考查分析法在證明不等式

3、中的應(yīng)用解答本題需要對原不等式變形為(x3y3)2，即證x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6,即證3x4y23x2y42x3y3。x0，y0，x2y20.即證3x23y22xy。3x23y2x2y22xy，3x23y22xy成立（x2y2）（x3y3)。分析法與綜合法的綜合應(yīng)用例3已知a，b，c均為正實數(shù)，且b2ac。求證：a4b4c4(a2b2c2）2。思路點撥本題考查綜合法與分析法的綜合應(yīng)用解答本題可先采用分析法將所要證明的不等式轉(zhuǎn)化為較易證明的不等式,然后再用綜合法證明精解詳析欲證原不等式成立,只需證a4b4c4a4b4c42a2b22a2c22b2c2,即證a2b2b2c2a

4、2c20,b2ac，故只需證（a2c2）aca2c20。a、c0，故只需證a2c2ac0，又a2c22ac,a2c2ac0顯然成立原不等式成立（1)通過等式或不等式的運算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式易于證明(2)有些不等式的證明,需要一邊分析一邊綜合，稱之為分析綜合法，或稱“兩頭擠”法，如本例,這種方法充分表明了分析與綜合之間互為前提，互相滲透，相互轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系3已知abc，求證：0。證明：法一：要證明0，只需要證明.abc,acab0，bc0，,0,成立0成立法二：若令abx，bcy，則acxy，abc,x0，y0，證明0,只要證明：0,也就是要證:0，即證

5、:0,x0，y0，xy0，x2y2xy0，上式成立，即0，故0.對應(yīng)學(xué)生用書p20 一、選擇題1設(shè)a，b均為正實數(shù)，a，b，則a、b的大小關(guān)系是（)aabbabcab dab解析:用綜合法()2a2b，所以a2b20。又a0，b0，ab。答案：c2已知xyz，且xyz0，下列不等式中成立的是（)axyyz bxzyzcxyxz dxy|z|y解析：由已知得3xxyz0，3zxyz0，x0,zxz.答案:c3若a0，b0，下列不等式中不成立的是（）a.2 ba2b22abc。ab d.2解析：由（0,)且（0，)，得2，所以a成立，b顯然成立，不等式c可變形為a3b3a2bab2（a2b2）（a

6、b)0。答案：d4已知a、b、c為三角形的三邊且sa2b2c2，pabbcca，則（）as2p bpp dps2p解析：a2b22ab,b2c22bc,c2a22ca,a2b2c2abbcca，即sp。又三角形中abc,a2b22abc2.同理b22bcc2a2，c22aca2b2，a2b2c22(abbcca)即s0,y0，且5x7y20,則xy的最大值是_解析:xy(5x7y)22.當(dāng)且僅當(dāng)5x7y10即x2，y時取等號答案：7已知a0，b0，若p是a，b的等差中項，q是a,b的正的等比中項，是,的等差中項,則p、q、r按從大到小的排列順序為_解析：由已知p,q，即r,顯然pq，又，qr。

7、pqr.答案:pqr8若不等式0在條件abc時恒成立,則的取值范圍是_解析：不等式可化為。abc，ab0,bc0，ac0,恒成立2224。.法二：由右式推證左式a，b，c為互不相等的正數(shù)，且abc1,。10已知ab0，求證:.證明：要證，只要證ab2，即證2（)22,即證0，即證2,即證121,即證1成立因為ab0，所以1,1，故1,1成立所以有成立11已知實數(shù)a、b、c滿足cba，abc1，a2b2c21.求證：1ab.證明：abc1,欲證結(jié)論等價于11c,即c0。又a2b2c21，則有abc2c。由ab1c。由得a、b是方程x2(1c）xc2c0的兩個不等實根，從而（1c）24（c2c）0，解得c1.cba，(ca）（cb）c2c(ab）abc2c(