第11章彎曲應(yīng)力

1、第第1111章章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 11-1 平面彎曲的概念及實例平面彎曲的概念及實例 彎曲：彎曲： 舉例說明：我們在家洗衣服后，總是要拿到陽光下舉例說明：我們在家洗衣服后，總是要拿到陽光下 去曬，在這種情況下，我們都是在有陽光的地方拉一根去曬，在這種情況下，我們都是在有陽光的地方拉一根 鐵絲（或繩子），在沒有鐵絲或繩子的情況下，一般都鐵絲（或繩子），在沒有鐵絲或繩子的情況下，一般都 喜歡在兩個建筑物之間橫上一根竹桿用來涼衣服。這些喜歡在兩個建筑物之間橫上一根竹桿用來涼衣服。這些 繩子或竹桿在沒有掛上衣物之前都保持在水平位置（它繩子或竹桿在沒有掛上衣物之前都保持在水平位置（它 的軸線自然也是一

2、條水平直線）。當(dāng)我們把衣服掛上去的軸線自然也是一條水平直線）。當(dāng)我們把衣服掛上去 之后，結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)原來為直線的軸線變成了曲線，這之后，結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)原來為直線的軸線變成了曲線，這 種形式的變形我們就稱為彎曲變形。種形式的變形我們就稱為彎曲變形。 再如我們書中所舉的火車輪軸的例子，也是一樣的再如我們書中所舉的火車輪軸的例子，也是一樣的 情況。情況。 2、定義：、定義： 當(dāng)通過桿件軸線的縱向平面內(nèi)作用一對等值、反當(dāng)通過桿件軸線的縱向平面內(nèi)作用一對等值、反 向的力偶時，桿件的軸線由原來的直線變?yōu)榍€，這種形式向的力偶時，桿件的軸線由原來的直線變?yōu)榍€，這種形式 的變形就稱為彎曲。的變形就稱為彎曲。

3、3、梁：、梁：以彎曲為主要變形的桿件，我們通常稱之為梁。以彎曲為主要變形的桿件，我們通常稱之為梁。 軸線是直線的稱為軸線是直線的稱為直梁直梁，軸線是曲線的稱為，軸線是曲線的稱為曲梁曲梁。 有對稱平面的梁稱為有對稱平面的梁稱為對稱梁對稱梁，沒有對稱平面的梁稱為，沒有對稱平面的梁稱為非對非對 稱梁稱梁 5、非對稱彎曲、非對稱彎曲：若梁不具有縱向?qū)ΨQ面，或梁有縱向?qū)ΨQ面，：若梁不具有縱向?qū)ΨQ面，或梁有縱向?qū)ΨQ面， 但外力并不作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的彎曲。但外力并不作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的彎曲。 F q FAFB 縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面 4、平面彎曲、平面彎曲（對稱彎曲）（對稱彎曲） 一般情況下，工程中受彎桿件

4、的橫截面都至少有一個通一般情況下，工程中受彎桿件的橫截面都至少有一個通 過幾何形心的對稱軸，因而整個桿件都有一個包含軸線的縱過幾何形心的對稱軸，因而整個桿件都有一個包含軸線的縱 向?qū)ΨQ面。如下圖，當(dāng)作用于桿件的外力都在這個縱向?qū)ΨQ向?qū)ΨQ面。如下圖，當(dāng)作用于桿件的外力都在這個縱向?qū)ΨQ 平面上時，可以想象到，彎曲變形后的軸線也將是位于這個平面上時，可以想象到，彎曲變形后的軸線也將是位于這個 對稱面內(nèi)的一條曲線。這種情況的變形我們就稱為平面彎曲對稱面內(nèi)的一條曲線。這種情況的變形我們就稱為平面彎曲 變形，簡稱為平面彎曲。變形，簡稱為平面彎曲。 11-2 11-2 彎曲正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力 純彎曲純彎曲 橫

5、力彎曲橫力彎曲 常量常量 M F0 S )( 0 S xMM F 0 0 0 0 FS x F F x M Fa F ala F 橫向線橫向線( (a b、c d）變形）變形 后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動；后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動； 1 1、梁的純彎曲實驗、梁的純彎曲實驗 縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面 bd ac a b c d MM 縱向線變?yōu)榍€，且上縱向線變?yōu)榍€，且上 縮下伸；縮下伸； 橫向線與縱向線變形后橫向線與縱向線變形后 仍正交。仍正交。 橫截面高度不變。橫截面高度不變。 11-2-1 11-2-1 實驗現(xiàn)象的觀察與分析實驗現(xiàn)象的觀察與分析 2.2.平面假設(shè)：平面假設(shè)： 梁在變形前為平面的橫截面，變

6、形后仍保持為平面，并仍梁在變形前為平面的橫截面，變形后仍保持為平面，并仍 然垂直于變形后的梁軸線，只是繞截面內(nèi)的某一軸線旋轉(zhuǎn)了一然垂直于變形后的梁軸線，只是繞截面內(nèi)的某一軸線旋轉(zhuǎn)了一 個角度，這就是彎曲變形的平面假設(shè)。個角度，這就是彎曲變形的平面假設(shè)。 對上面的實驗結(jié)果進(jìn)行判斷和推理，我們就可以得出如下對上面的實驗結(jié)果進(jìn)行判斷和推理，我們就可以得出如下 的結(jié)論：的結(jié)論： 假設(shè)各縱向纖維之間互不擠壓。于是各縱向纖維均處于單假設(shè)各縱向纖維之間互不擠壓。于是各縱向纖維均處于單 向受拉或受壓的狀態(tài)。向受拉或受壓的狀態(tài)。 3.3.單向受力假設(shè)：單向受力假設(shè)： 平面假設(shè)平面假設(shè) 梁在純彎曲時，橫截面仍保持

7、為平面，且與梁變形后梁在純彎曲時，橫截面仍保持為平面，且與梁變形后 的軸線仍保持正交，只是繞垂直于縱對稱軸的某一軸的軸線仍保持正交，只是繞垂直于縱對稱軸的某一軸 轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動。 中性軸中性軸 根據(jù)變形的連續(xù)性可知，梁彎曲時從其凹入根據(jù)變形的連續(xù)性可知，梁彎曲時從其凹入 一側(cè)的縱向線縮短區(qū)到其凸出一側(cè)的縱向線伸長一側(cè)的縱向線縮短區(qū)到其凸出一側(cè)的縱向線伸長 區(qū)，中間必有一層縱向無長度改變的過渡層，稱區(qū)，中間必有一層縱向無長度改變的過渡層，稱 為為中性層中性層 。 中性層中性層 中性軸中性軸中性層與橫截面的交線就是中性層與橫截面的交線就是中性軸中性軸。 中性層中性層中性軸中性軸 Me Me 11-2-

8、2 11-2-2 正應(yīng)力公式的推導(dǎo)正應(yīng)力公式的推導(dǎo) （一）幾何方面（一）幾何方面 表面變形情況表面變形情況 縱線彎成弧線，靠近縱線彎成弧線，靠近 頂面的縱線縮短，而頂面的縱線縮短，而 靠近底面的縱線則伸靠近底面的縱線則伸 長；長； (1)橫線仍為直線，并與橫線仍為直線，并與 變形后的縱線保持正變形后的縱線保持正 交，只是橫線間相對交，只是橫線間相對 轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動。 m a b m a n b n Me Me m m n n aa b b y OO BB AB BB 21 1 1 1 dd 21 xOO d)(yAB 中性層的曲率半徑中性層的曲率半徑 C AB y O1 O2 B1 d dx Me

9、 Me m m n n aa b b （二）物理方面（二）物理方面單軸應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律單軸應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律 不計擠壓，即認(rèn)為梁內(nèi)各點均處于單軸應(yīng)力狀不計擠壓，即認(rèn)為梁內(nèi)各點均處于單軸應(yīng)力狀 態(tài)。當(dāng)態(tài)。當(dāng) 5)，上述公式，上述公式 的誤差不大，但此時公式中的的誤差不大，但此時公式中的M應(yīng)為所研究截面上的彎矩，即應(yīng)為所研究截面上的彎矩，即 ： z I yxM)( 目錄目錄 中性軸中性軸 z 為橫截面的對稱軸時為橫截面的對稱軸時 z I Mymax max 稱為稱為彎曲截面系數(shù)彎曲截面系數(shù) max y I M z z W M y z z y b h 中性軸中性軸 z 不是橫截面的對稱軸時不是

10、橫截面的對稱軸時 z I My max, t maxt, z I My maxc, maxc, Oz y yt，maxyc，max . .純彎曲理論的推廣純彎曲理論的推廣 橫力彎曲時：橫力彎曲時： 1、由于切應(yīng)力的、由于切應(yīng)力的 存在梁的橫截面發(fā)存在梁的橫截面發(fā) 生翹曲；生翹曲； 2、橫向力還使各、橫向力還使各 縱向線之間發(fā)生擠縱向線之間發(fā)生擠 壓。壓。 平面假設(shè)和縱向線平面假設(shè)和縱向線 之間無擠壓的假設(shè)之間無擠壓的假設(shè) 實際上都不再成立。實際上都不再成立。 彈性力學(xué)的分析結(jié)果：彈性力學(xué)的分析結(jié)果： 對于對于細(xì)長梁細(xì)長梁（ l/h 5 ），純彎曲時的正應(yīng)力計算），純彎曲時的正應(yīng)力計算 公式用于

11、橫力彎曲情況，其結(jié)果仍足夠精確。公式用于橫力彎曲情況，其結(jié)果仍足夠精確。 z I yxM)( z W xM)( max Fl 4 l F 1111-3-3常用截面的慣性矩、平行移常用截面的慣性矩、平行移 軸公式軸公式 一、基本概念一、基本概念 1. 1. 靜矩（或一次矩）靜矩（或一次矩） O x dA y y x C x y dAx微面積對微面積對y軸的靜矩軸的靜矩 dAy 微面積對微面積對x軸的靜矩軸的靜矩 Ax S A y d Ay S A x d 整個平面圖形對整個平面圖形對y軸的靜矩軸的靜矩 整個平面圖形對整個平面圖形對x軸的靜矩軸的靜矩 2.2.形心坐標(biāo)公式形心坐標(biāo)公式 A S A

12、Ay y A S A Ax x xA y A d d 常用單位：常用單位：m3 或mm3 。 數(shù)數(shù) 值：值：可為正、負(fù)或 0 。 3.3.靜矩與形心坐標(biāo)的關(guān)系靜矩與形心坐標(biāo)的關(guān)系 yA S xA S xy 推論：截面對形心軸的靜矩恒為推論：截面對形心軸的靜矩恒為0 0，反之，亦然。，反之，亦然。 1.1.組合截面的靜矩組合截面的靜矩 根據(jù)靜矩的定義：整個平面圖形對某軸的靜矩應(yīng)等于根據(jù)靜矩的定義：整個平面圖形對某軸的靜矩應(yīng)等于 它的各組成部分對同一軸的靜矩的代數(shù)和，即：它的各組成部分對同一軸的靜矩的代數(shù)和，即： n i ii x n i ii y yA S xA S 11 和面積。個簡單圖形的形

13、心坐標(biāo)分別為第和式中：i A yx i i i, 二、討論：二、討論： 2.2.組合截面的形心坐標(biāo)公式組合截面的形心坐標(biāo)公式 n i ii x n i ii y yA S xA S 11 組合截面靜矩組合截面靜矩 n i i A A 1 組合截面面積組合截面面積 組合截面的形心坐標(biāo)公式為：組合截面的形心坐標(biāo)公式為： n i i n i i i x n i i n i i i y A y A A S y A x A A S x 1 1 1 1 ， 11-3-1 常用截面的慣性矩 1.1.極慣性矩（或截面二次極矩）極慣性矩（或截面二次極矩） A I A d 2 p 2.2.慣性矩（或截面二次軸矩）

14、慣性矩（或截面二次軸矩） Ay I A xI A x A y dd 2 2 222 xy 由于 所以所以 II AxyA Iyx AA d)(d 22 2 p Ox y y x dA 例例11-111-1：試計算矩形截面對于其對稱軸（即形心軸）：試計算矩形截面對于其對稱軸（即形心軸）x和和y y的慣性的慣性 矩。矩。 解：解：取平行于取平行于x軸的狹長條軸的狹長條 則 dA=b dy 12 dd 3 2 2 22 bh ybyAy I h h A x 同理 12 3 hb Iy y h C x dy y b 簡單截面的簡單截面的慣性矩計算慣性矩計算 矩形截面矩形截面 12 3 bh I z 6

15、2/ 2 bh h I W z z 12 3h b I y 62/ 2 hb b I W y y 圓形截面圓形截面 64 4 d II yz 32 2/2/ 3 d d I d I WW y z yz z y b h y z d 11-3-2 平行移軸公式 1.1.平行移軸公式推導(dǎo)平行移軸公式推導(dǎo) 左圖是一面積為左圖是一面積為A A的任意形狀的平的任意形狀的平 面，面，c為其形心，為其形心，xcyc為形心坐標(biāo)軸。為形心坐標(biāo)軸。 與該形心坐標(biāo)軸分別平行的任意坐標(biāo)軸與該形心坐標(biāo)軸分別平行的任意坐標(biāo)軸 為為xy ,形心形心c在在oxy坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(a , b) 任意微面元任意微面

16、元d dA A在兩坐標(biāo)系下的在兩坐標(biāo)系下的 坐標(biāo)關(guān)系為：坐標(biāo)關(guān)系為： ayybxx CC a yc y xc x C O b dA xc yc y x Aa I AaS I AaAyaAy AayAy I c c c x x x AA c A c A c A x 2 2 2 2 22 dd2d dd 同理，有：同理，有： abAII AbII cc c yxxy yy 2 注：注： 式中的a、b代表坐標(biāo)值，有時可能取負(fù)值。 例例112112：求圖示直徑為：求圖示直徑為d d的半圓對其自身形心軸的半圓對其自身形心軸x xc c的慣性矩。的慣性矩。 （1 1）求形心坐標(biāo)）求形心坐標(biāo) 22 2)(y

17、Ryb 12 d2 d)(d 3 22 2 0 2 0 d yyRy yybyAy S d d A x 3 2 8 12 2 3 d d d A S y x c 解：解： x y b(y) yc C d xc y （2 2）求對形心軸）求對形心軸x xc c的慣性矩的慣性矩 128 2 64 44 dd I x 18128 8 )( 442 2 ddd yII cxxc 由平行移軸公式得： 例例113：求圖示平面圖形對：求圖示平面圖形對y軸的慣性矩軸的慣性矩 Iy y z a a d y z a a d 解：解：I da y ()2 12 3 2 128 4 d dd 2 2 8 2 3 dd

18、 a 2 2 8 2 3 例例11-4 圖示簡支梁由圖示簡支梁由56a號工字鋼制成，已知號工字鋼制成，已知 F=150kN。試求危險截面上的最大正應(yīng)力。試求危險截面上的最大正應(yīng)力max 和同和同 一橫截面上翼緣與腹板交界處一橫截面上翼緣與腹板交界處a點處的正應(yīng)力點處的正應(yīng)力 a 。 B 5 m 10 m A F C FA FB 12.5 21 166 560 z a 375 kN.m M 解：解：1、作彎矩圖如上，、作彎矩圖如上，mkN375 4 max Fl M 2、查型鋼表得、查型鋼表得 3 cm2342 z W 4 cm65586 z I MPa160 mm102342 mmN10375

19、 33 6 max max z W M MPa148 mm1065586 mm21 2 560 mmN10375 44 6 max z a a I yM 56號工字鋼號工字鋼 3、求正應(yīng)力為、求正應(yīng)力為 12.5 21 166 560 z a 或根據(jù)正應(yīng)力沿梁高的線性分布關(guān)系的或根據(jù)正應(yīng)力沿梁高的線性分布關(guān)系的 MPa160 max MPa148MPa160 2 560 21 2 560 max max y ya a 12.5 21 166 560 z a 11-4 11-4 梁的切應(yīng)力梁的切應(yīng)力 11-4-1 矩形梁橫截面上的切應(yīng)力矩形梁橫截面上的切應(yīng)力 推導(dǎo)思路：近似方法推導(dǎo)思路：近似方法

20、 不同于前面章節(jié)各種應(yīng)力計算公式的分析過程不同于前面章節(jié)各種應(yīng)力計算公式的分析過程 分離體的平衡分離體的平衡 橫截面上切應(yīng)力橫截面上切應(yīng)力 分布規(guī)律的假設(shè)分布規(guī)律的假設(shè) 橫截面上彎曲切橫截面上彎曲切 應(yīng)力的計算公式應(yīng)力的計算公式 1 1、兩點假設(shè)、兩點假設(shè): : （1）切應(yīng)力與橫截面的側(cè)邊平行）切應(yīng)力與橫截面的側(cè)邊平行 （2）切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布）切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布 b h F2F1 q(x) z y h b FS x=0 y z=0 z y h b FS 由切應(yīng)力互等定理由切應(yīng)力互等定理 一、矩形截面梁矩形截面梁 m mn n q(x) F1 F2 xdx b h z y h m

21、m n n n m m dx b z y O x FS(x) M(x) M(x)+d M(x) FS(x)+d FS(x) m n nm m n y z y BA A1 dA y1 橫截面上縱向力不平橫截面上縱向力不平 衡意味著縱截面上有水平衡意味著縱截面上有水平 剪力，即有水平切應(yīng)力分剪力，即有水平切應(yīng)力分 布。布。 * N1 * N2S dFFF * 1 1 1 * 1N* ddd z z A z A z A S I M Ay I M A I My AF * 12 * N2 d d )d( d *z z A z A S I MM Ay I MM AF 面積面積AA1mm 對中性軸對中性軸

22、z的靜矩的靜矩 而橫截面上縱向力的大小為而橫截面上縱向力的大小為 m n m y y1 AB A1 B1 b dx dA y z O * N2 F S dF * N1 F x 0 x F * N1 * N2S dFFF * S d d z z S I M F 縱截面上水平剪力值為縱截面上水平剪力值為 * 1Nz z S I M F * N2 d z z S I MM F 要確定與之對應(yīng)的水平切應(yīng)力要確定與之對應(yīng)的水平切應(yīng)力 還需要補(bǔ)充條件。還需要補(bǔ)充條件。 m n m y y1 AB A1 B1 b dx dA y z O * N2 F S dF * N1 F x 窄高矩形截面梁橫截面上彎曲切

23、應(yīng)力分布的假設(shè)：窄高矩形截面梁橫截面上彎曲切應(yīng)力分布的假設(shè)： (1) 橫截面上各點處的切應(yīng)力均與側(cè)邊平行；橫截面上各點處的切應(yīng)力均與側(cè)邊平行； (2) 橫截面上距中性軸等遠(yuǎn)各點處的切應(yīng)力大小相等。橫截面上距中性軸等遠(yuǎn)各點處的切應(yīng)力大小相等。 根據(jù)切應(yīng)力互等定理根據(jù)切應(yīng)力互等定理 推得：推得： (1) 沿截面寬度方向均勻分沿截面寬度方向均勻分 布；布； (2) 在在dx微段長度內(nèi)可以認(rèn)為微段長度內(nèi)可以認(rèn)為 沒有變化。沒有變化。 m m n n n m m dx b y A1 A B B1 h z y O x * S d d z z S I M F bI SF bI S x M z z z z *

24、 S * d d bI SF z z * S xbFdd S 根據(jù)前面的分析根據(jù)前面的分析 m n m y y1 AB A1 B1 b dx dA y z O * N2 F S dF * N1 F x 即即 又又 由兩式得由兩式得 其中：其中： FS 橫截面上的剪力；橫截面上的剪力； Iz 整個橫截面對于中性軸的慣性矩；整個橫截面對于中性軸的慣性矩； b 與剪力垂直的截面尺寸，此時是矩形的寬度；與剪力垂直的截面尺寸，此時是矩形的寬度； bI SF z z * S 矩形截面梁彎曲切應(yīng)力計算公式矩形截面梁彎曲切應(yīng)力計算公式 z y y y1 Ad * z S 橫截面上求切應(yīng)力的點處橫線以外部分面積

25、對橫截面上求切應(yīng)力的點處橫線以外部分面積對 中性軸的靜矩中性軸的靜矩 2 2 1 * 42 2 2/ 2 d * y hb yh yy h b AyS A z 2 2 S2 2 S 4242 y h I F y hb bI F zz 矩形橫截面上彎曲切應(yīng)力的變化規(guī)律矩形橫截面上彎曲切應(yīng)力的變化規(guī)律 bI SF z z * S z y y y1 Ad A F bh F bh hF I hF z 2 3 2 3 1288 SS 3 2 S 2 S max 2 2 S * S 42 y h I F bI SF zz z 沿截面高度按二次拋物沿截面高度按二次拋物 線規(guī)律變化；線規(guī)律變化； (2) 同一

26、橫截面上的最大切應(yīng)同一橫截面上的最大切應(yīng) 力力 max在中性軸處在中性軸處( y=0 )； (3)上下邊緣處（上下邊緣處（y=h/2)， 切應(yīng)力為零。切應(yīng)力為零。 max z y O max 11-4-2 工字形截面梁工字形截面梁 1 1、腹板上的切應(yīng)力、腹板上的切應(yīng)力 dI SF z z * S y yh dy hh bS z 2 2/ 222 * 2 2 222 y hd h b x y h z O d b y d A x z y O A* dx 2 2 * 222 y hd h b S z 腹板與翼緣交界處腹板與翼緣交界處 中性軸處中性軸處 h b dI F z 2 S min 2 S

27、* max,S max 222 hd h b dI F dI SF z z z z y O max min max 2、翼緣上的切應(yīng)力、翼緣上的切應(yīng)力 a、因為翼緣的上、下表面無、因為翼緣的上、下表面無 切應(yīng)力，所以翼緣上、下邊緣切應(yīng)力，所以翼緣上、下邊緣 處平行于處平行于y 軸的切應(yīng)力為零；軸的切應(yīng)力為零； b、計算表明，工字形截面梁、計算表明，工字形截面梁 的腹板承擔(dān)的剪力的腹板承擔(dān)的剪力 (1) 平行于平行于y 軸的切應(yīng)力軸的切應(yīng)力 可見翼緣上平行于可見翼緣上平行于y 軸的切應(yīng)力很小，工程上一軸的切應(yīng)力很小，工程上一 般不考慮。般不考慮。 S 1 1S 9 . 0dFAF A x y h

28、 z O d b y (2) 垂直于垂直于y 軸的切應(yīng)力軸的切應(yīng)力 z z I SF * S 1 * N1 * N2S dFFF h I Fh I F zz 222 SS * d z z S I M 11 * N2 F * N1 F xFdd 1S 1 1 x y h z O d b 即翼緣上垂直于即翼緣上垂直于y軸的切軸的切 應(yīng)力隨應(yīng)力隨 按線性規(guī)律變化。按線性規(guī)律變化。 h I F z 2 S 1 且通過類似的推導(dǎo)可以得知，薄壁工字剛梁上、且通過類似的推導(dǎo)可以得知，薄壁工字剛梁上、 下翼緣與腹板橫截面上的切應(yīng)力指向構(gòu)成了下翼緣與腹板橫截面上的切應(yīng)力指向構(gòu)成了“切應(yīng)切應(yīng) 力流力流”。 z y

29、 O max max min 1max 11-5-1 11-5-1 梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件 由于由于max處處 =0或極小，并且不計由橫向力引起的或極小，并且不計由橫向力引起的 擠壓應(yīng)力，因此梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件可按單向應(yīng)擠壓應(yīng)力，因此梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件可按單向應(yīng) 力狀態(tài)來建立：力狀態(tài)來建立： 材料的許用彎曲正應(yīng)力材料的許用彎曲正應(yīng)力 max z W M max 中性軸為橫截面對稱軸的等直梁中性軸為橫截面對稱軸的等直梁 11-5 11-5 梁的強(qiáng)度條件梁的強(qiáng)度條件 拉、壓強(qiáng)度不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁拉、壓強(qiáng)度不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁 tmax, t cmax, c Oz

30、 y yt，maxyc，max t maxt,max maxt, z I yM c maxc,max maxc, z I yM c t maxc, maxt, y y 為充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度，最合理的設(shè)計為為充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度，最合理的設(shè)計為 強(qiáng)度條件：強(qiáng)度條件： zz W M I yM maxmaxmax max 注：注： 有時 max 并不發(fā)生在彎矩最大的截面上，而根截面的并不發(fā)生在彎矩最大的截面上，而根截面的 形狀有關(guān)。 拉壓強(qiáng)度相等材料：拉壓強(qiáng)度相等材料： 拉壓強(qiáng)度不等材料：拉壓強(qiáng)度不等材料： max max z W M yyll max,max, ， 強(qiáng)度條件的作用：強(qiáng)度條件的作用：

31、a、強(qiáng)度校核、強(qiáng)度校核: max b、截面設(shè)計、截面設(shè)計: max M Wz c、確定梁的許可荷載、確定梁的許可荷載: z WM max 例例11-5 圖示為由工字鋼制成的樓板主梁的計算簡圖示為由工字鋼制成的樓板主梁的計算簡 圖。鋼的許用彎曲正應(yīng)力圖。鋼的許用彎曲正應(yīng)力 =152 MPa 。試選擇。試選擇 工字鋼的號碼。工字鋼的號碼。 AB FFF=75kN 2.5m2.5m2.5m2.5m 10 m FB FA 解：解：1、支反力為、支反力為kN5 .102 2 3 FFF BA 作彎矩圖如上。作彎矩圖如上。 281 375 單位：單位： kNm 2、根據(jù)強(qiáng)度條件確定截面尺寸、根據(jù)強(qiáng)度條件確

32、定截面尺寸 與要求的與要求的Wz相差不到相差不到1%，可以選用。，可以選用。 z W M max 33 6 max mm102460 MPa152 mmN10375 M Wz 333 mm102447cm2447 z W 查型鋼表得查型鋼表得56b號工字鋼的號工字鋼的Wz比較接近要求值比較接近要求值 mkN375 max M 例例11-6 跨長跨長 l= 2m 的鑄鐵梁受力如圖，已知鑄鐵的鑄鐵梁受力如圖，已知鑄鐵 的許用拉應(yīng)力的許用拉應(yīng)力 t =30 MPa，許用壓應(yīng)力，許用壓應(yīng)力 c =90 MPa。試根據(jù)截面最為合理的要求，確定。試根據(jù)截面最為合理的要求，確定T字形梁字形梁 橫截面的尺寸橫

33、截面的尺寸 ，并校核梁的強(qiáng)度，并校核梁的強(qiáng)度 。 解：解： c t 2 1 y y 根據(jù)截面最為合理的要求根據(jù)截面最為合理的要求 3 1 90 30 mm70 1 yy 1m 2m B A F=80 kN C y1y2 z 60 220 y O 280 即即 mm24 得得 46 2 3 2 3 mm102 .99 )30210280(22060 12 60220 )110210(22024 12 22024 z I 截面對中性軸的慣性矩為截面對中性軸的慣性矩為 y1y2 z 60 220 y O 280 70 60220)60280( )11060()60280(3060220 y mkN4

34、0 4 280 4 max Fl M MPa7 .84 mm102 .99 mm210mmN1040 46 6 2max max c, z I yM c 梁上的最大彎矩梁上的最大彎矩 于是最大壓應(yīng)力為于是最大壓應(yīng)力為 即梁滿足強(qiáng)度要求。即梁滿足強(qiáng)度要求。 y1y2 z 60 220 y O 280 O c,max t,max z 例例11-7 圖示槽形截面鑄鐵梁，已知：圖示槽形截面鑄鐵梁，已知：b = 2m，截，截 面對中性軸的慣性矩面對中性軸的慣性矩 Iz=5493104mm4， 鑄鐵的許鑄鐵的許 用拉應(yīng)力用拉應(yīng)力 t =30 MPa，許用壓應(yīng)力，許用壓應(yīng)力 c =90 MPa。 試求梁的許

35、可荷載試求梁的許可荷載F 。 解：解：1、梁的支反力為、梁的支反力為 z y C 形心形心 86134 20 40180 120 20 B F C b q=F/b D bb A FB FA FFB 4 7 4 F FA 據(jù)此作出梁的彎矩圖如下?lián)俗鞒隽旱膹澗貓D如下 4 max Fb M 2 max Fb M 發(fā)生在截面發(fā)生在截面C 發(fā)生在截面發(fā)生在截面B z y C 形心形心 86134 20 40180 120 20 Fb/2 Fb/4 B F C b q=F/b D bb A 2、計算最大拉、壓正應(yīng)力、計算最大拉、壓正應(yīng)力 可見：壓應(yīng)力強(qiáng)度條件由可見：壓應(yīng)力強(qiáng)度條件由B截面控制，拉應(yīng)力強(qiáng)度

36、截面控制，拉應(yīng)力強(qiáng)度 條件則條件則B、C截面都要考慮。截面都要考慮。 z y C 形心形心 86134 20 40180 120 20 Fb/2 Fb/4 C截面截面 B截面截面 壓應(yīng)力壓應(yīng)力 拉應(yīng)力拉應(yīng)力 拉應(yīng)力拉應(yīng)力 壓應(yīng)力壓應(yīng)力 MPa30 mm105493 mm86mm1022/ 43 3 2 maxt, F I yM z B 考慮截面考慮截面B ： MPa90 mm105493 mm341mm1024/ 44 3 1 maxc, F I yM z B kN2 .19F kN8 .73F z y C 形心形心 86134 20 40180 120 20 Fb/2 Fb/4 考慮截面考慮

37、截面C： 因此梁的強(qiáng)度由截面因此梁的強(qiáng)度由截面B上的最大拉應(yīng)力控制上的最大拉應(yīng)力控制 MPa30 mm105493 mm134mm1024/ 44 3 1 maxt, F I yM z C kN2 .19F kN6 .24F z y C 形心形心 86134 20 40180 120 20 Fb/2 Fb/4 11-5-2 11-5-2 梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件 一般一般 max發(fā)生在發(fā)生在FS , ,max所在截面的中性軸處，該位置所在截面的中性軸處，該位置 =0。不計擠壓，則。不計擠壓，則 max所在點處于所在點處于純剪切應(yīng)力純剪切應(yīng)力狀態(tài)狀態(tài)。 。 梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件為梁的切

38、應(yīng)力強(qiáng)度條件為 max bI SF z z * max,max,S 材料在橫力彎曲時的許用切應(yīng)力材料在橫力彎曲時的許用切應(yīng)力 對等直梁，有對等直梁，有 E max F max E m m l/2 q G H C D F l ql2/8 ql/2 ql/2 梁上梁上 max所在點處于所在點處于 單軸應(yīng)力狀態(tài)單軸應(yīng)力狀態(tài)，其正，其正 應(yīng)力強(qiáng)度條件為應(yīng)力強(qiáng)度條件為 max 梁上任意點梁上任意點G 和和H 平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)， 若這種應(yīng)力狀態(tài)的點需校核強(qiáng)度時不若這種應(yīng)力狀態(tài)的點需校核強(qiáng)度時不 能分別按正應(yīng)力和切應(yīng)力進(jìn)行，而必能分別按正應(yīng)力和切應(yīng)力進(jìn)行，而必 須考慮兩者的共同作用（須考慮兩者的共同

39、作用（強(qiáng)度理論強(qiáng)度理論）。）。 C max D max E m m l/2 q G H C D F l ql2/8 ql/2 G H 橫力彎曲梁的強(qiáng)度條件：橫力彎曲梁的強(qiáng)度條件： max max 強(qiáng)度強(qiáng)度 足夠足夠 max max 確定截面尺寸確定截面尺寸 驗驗 證證 設(shè)計截面時設(shè)計截面時 E m m l/2 q G H C D F l ql2/8 ql/2 例例11-8 跨度為跨度為6m的簡支鋼梁，是由的簡支鋼梁，是由32a號工字鋼在其號工字鋼在其 中間區(qū)段焊上兩塊中間區(qū)段焊上兩塊 100 10 3000mm的鋼板制成。材的鋼板制成。材 料均為料均為Q235鋼，其鋼，其 =170MPa， =

40、100MPa。試校。試校 核該梁的強(qiáng)度。核該梁的強(qiáng)度。 kN75 A FkN75 B F解解 1、計算反力得、計算反力得 F1 F2 50kN 50kN 50kN C A B FB 1.5 m1.5 m FA 1.5 m 1.5 m z y 9.5 100 1032010 FS(kN) x M(kNmm) x 75 25 25 75 112.5 150 112.5 F1 F2 50kN 50kN 50kN C A B FB 1.5 m1.5 m FA 1.5 m 1.5 m z y 9.5 100 1032010 kN75 max,S F mkN150 max M mkN150 max M ) 2 10 2 320 (10100 12 10100 2105 .11075 2 3 4 z I 44 mm1016522 最大彎矩為最大彎矩為 33 4 max mm10972 10)2/320( 1016522 y I W z z MPa3 .154 10972 10150 3 6 max max, z E W M F1