梯子模型(軌跡的探究)講解

1、走進數(shù)學實驗室系列用幾何畫板探究“梯子模型”茂名一中數(shù)學科組 楊金光【片段摘抄】我們將目光落在梯子模型中的MAB的費馬點上（或許大家覺得奇怪，怎么會想到這個點呢？其實沒什么，只是去年有道高考題涉及到費馬點，從而產(chǎn)生試試這個點的想法），卻發(fā)現(xiàn)，它的軌跡一直是我想要的（哈，套用了孫儷的廣告詞）一、 幾何畫板軟件簡介幾何畫板是一個適合數(shù)學和物理學科輔助教學的工具，它能為老師和學生提供一個觀察和探索數(shù)學圖形或物理現(xiàn)象內(nèi)在關(guān)系的環(huán)境。幾何畫板最大的特色是“動態(tài)性”，即用鼠標拖動圖形上的任一元素（點、線、圓），而事先給定的所有幾何關(guān)系都保持不變。學生可以任意拖動圖形、觀察圖形、猜測并驗證，在觀察、探索、發(fā)

2、現(xiàn)的過程中增加對各種圖形的感性認識，形成豐厚的幾何經(jīng)驗背景，從而更有助于學生理解和證明，因而也極易激發(fā)或培養(yǎng)學生的創(chuàng)造力。相關(guān)鏈接1：兩位美國中學生用幾何畫板發(fā)現(xiàn)了“任意等分線段”的新方法，在美國引起轟動效應。我國東北吉林石化實驗學校的初二學生關(guān)雪揚、黃卉、劉馨，又在兩位美國中學生的基礎(chǔ)上，加以改進、推廣，得到了另一種“等分線段”的新方法。相關(guān)鏈接2：我國東北育才中學馮偉同學，利用幾何畫板，在“蝴蝶定理”的基礎(chǔ)上，將一個圓推廣到兩個圓，從而發(fā)現(xiàn)了“廣義蝴蝶定理”。二、“梯子模型”探究1、什么叫“梯子模型”如下圖，一根長度一定的梯子斜靠在豎直的墻上，當梯子底端滑動時，探究梯子上某點（如中點）或梯

3、子構(gòu)成圖形上的點的軌跡的模型，就是所謂的梯子模型。 “梯子模型”是個探究性很強的模型。大陸稱它為“定長桿問題”，臺灣師范大學陳創(chuàng)義教授稱它為“等棍問題”。巧的是，我們的高中數(shù)學必修課本里也出現(xiàn)了“梯子模型”。它源自于我們課本的一道題：“定長為2a的一條線段，它的兩個端點分別在x,y軸上滑動，求線段中點的軌跡?！蹦敲?，這個梯子模型，會給我們帶來些什么呢？會有意外的驚喜嗎？正所謂“一沙一世界”，當筆者帶領(lǐng)同學們走進“梯子模型”這個世界時，就好象忽然來到一座開滿鮮花的山上，我們隨手摘一朵，都是不知名的花兒，我們陶醉了2、上帝是數(shù)學家？ 我們是無神論者，由于在探究梯子模型過程中得到的點的軌跡五花八門，

4、結(jié)果又出乎人的意料，仿佛來自上帝之手，讓人不得不承認，原來上帝也偏愛數(shù)學，上帝是不折不扣的數(shù)學家。 下面我們與學生一起，先利用幾何畫板軟件，畫出“定長為2a的一條線段，它的兩個端點分別在x,y軸上滑動”的這個梯子模型，然后再去探究梯子模型的點的軌跡。（1）探究梯子及其延長線上的點的軌跡橢圓規(guī) 梯子中點的軌跡（圓，見圖1） 梯子非中點的軌跡（橢圓, 見圖1） 梯子延長線上點的軌跡（橢圓，見圖1）相關(guān)鏈接3：人們利用梯子模型的特性，發(fā)明了“橢圓規(guī)”。有了它，同學們就可以象用圓規(guī)畫圓那樣，輕易地畫出橢圓了。 （圖1） (圖2)（2） 探究梯子本身的軌跡利用幾何畫板的跟蹤功能，跟蹤梯子本身，我們得到一

5、個星形。（見圖2）星形，太漂亮了，她來得太突然了,我們一點思想準備都沒有。她常在清涼夏夜閃亮登場，她是退潮時海灘浪漫的海星。相關(guān)鏈接4：星形線。它的直角坐標方程是:,參數(shù)方程是:.星形線有著廣泛的應用.如公共汽車折疊式的門開與關(guān)時,就劃出星形線.這種門能比普通門節(jié)約了更多空間，使車輛載更多的乘客。相關(guān)鏈接5:星形線的另一種形成方法.一個小圓在一個大圓內(nèi)滾動,小圓上某一固定點形成的軌跡.星形線是內(nèi)擺線.如右圖.（3） 探究梯子上與某線垂直相交的交點（垂足）的軌跡如果我們過平面上任一點Q作梯子AB的垂線，垂足P的軌跡會是什么呢？ Q的位置不特殊（軌跡有點象導彈，見圖3） Q點與O點重合（軌跡是玫瑰

6、線，或稱梅花，見圖4） （圖3） （圖4）哈，難以想象，一個人類最可惡的東西（導彈）和一個人類最可愛的東西（玫瑰）居然會同時出現(xiàn)在梯子模型中，且是通過同一方法得到，正與邪只不過是一念之差，一紙之隔。我們由得到了玫瑰，自然愛不釋手，于是突發(fā)奇想：變形1：把墻與地面弄成不垂直，垂足軌跡會是什么？（不是吧，居然是古代女孩子頭發(fā)上蝴蝶結(jié)。難怪此圖一出，女同學馬上尖叫起來了。見圖5）變形2：墻與地面依然垂直，只是把梯子作平行滑動，跟蹤中得到的軌跡,形成了色彩斑斕的蝴蝶，見圖6。 （圖5） （圖6）初步的探究,讓我們驚喜頻頻.我們仿佛看到,在一個開滿鮮花的山上,一個頭戴蝴蝶結(jié)的小姑娘,正在追逐著一只色彩斑

7、斕的蝴蝶。不知不覺，天已暗下來，星星卻掛滿了天幕。正是這種驚喜，使我們倍受鼓舞。坐在山坡上，一陣陣花香飄來，我們精神為之一振，決心乘勝追擊，擴大戰(zhàn)果。（4） 探究三角形的各種心的軌跡珠江三角洲、長江三角洲的富裕發(fā)達，眾所周知。梯子模型，好象也有好幾個三角洲（形）喲，我們會滿載而歸嗎？三角形的內(nèi)心軌跡（設(shè)Q是平面上任一點）a)QAB的內(nèi)心P的軌跡i)將Q拖至M處（P點軌跡是正方形，見圖7）意外，太意外，剛才軌跡都還是曲的，現(xiàn)在突然成了方的。這難道是暗示著“方與圓的既矛盾又統(tǒng)一”辯證法原理？ii)將Q拖至O處（P點軌跡是“”形，見圖8。）這就怪了，怎么出現(xiàn)一個“”形，難道這是梯子模型中的禁區(qū)？我們

8、無意中闖了進來，有打擾之處，還請多多見諒。iii)將Q在平面上拖動（會變出許多圖形，見圖9） （圖7） （圖8） （圖9）b) QAM的內(nèi)心P的軌跡i) Q點與O點重合（軌跡好象蜘蛛俠的“眼鏡”？見圖10）是不是闖進了梯子模型的禁區(qū)，我們都變成蜘蛛俠了？ii) Q在x軸上（P點軌跡象顆花生,見圖11） （圖10） （圖11）三角形的內(nèi)心，著實讓我們的內(nèi)心澎湃，梯子模型太神奇了，一會兒圓，一會兒方，一會兒變成了蜘蛛俠，讓我們好象跨越了時空，在宇宙中翱翔。那么，三角形的其它心呢？外心、旁心、重心、垂心、界心，它們的軌跡又是什么？由于篇幅所限，我們就不在這里展開探究了。有興趣的同學，可以自己去試試。

9、 探究三角形中特殊的心-費馬點的軌跡我們將目光落在梯子模型中的MAB的費馬點上（或許大家覺得奇怪，怎么會想到這個點上呢？其實沒什么，只是去年有道高考題涉及到費馬點，從而產(chǎn)生試試這個點的想法），卻發(fā)現(xiàn)，它的軌跡一直是我想要的（哈，套用了孫儷的廣告詞）。如圖12。 （圖12） 茂名一中?；瘴覀円恢毕胍?，就是在我們茂名一中50周年校慶之際，用我們數(shù)學特有的圖形語言，表達我們對學校的愛。我們無意中，找到的茂名一中?；盏耐庑巍Ｏ嚓P(guān)鏈接6：在一個多邊形中，到每個頂點距離之和最小的點叫做這個多邊形的費馬點。（5）探究角平分線與AM交點軌跡設(shè)N是y軸上高過B點的點，角NBM的平分線與AM交點（軌跡是心形,見

10、圖13）角MOA平分線與AM交點（軌跡是無窮大“”形,哈，這個結(jié)論還挺數(shù)學的。見圖14） （圖13） （圖14）天啊，這樣的結(jié)果太意外了。上帝居然將一個偌大的心形，隱藏在這個再普通不過的梯子模型中。這難道有什么居心？是不是想告訴我們，大家只要齊心（ ），力量就無窮大（）呢？相關(guān)鏈接7：韓劇嫂子19歲中的浪漫主義數(shù)學天才承宰就是通過愛的方程式：17x2-16|x|y+17y2=225 傳達他對女友柳敏的感情的。而這個方程式用幾何畫板畫出來，就是右圖。3、 神奇的彩色世界色彩幾何？幾何畫板不但有極強的動態(tài)探究功能，更有極強的色彩表現(xiàn)功能。如果運用得當，我們可以得到一個更加神奇、連畫家都自嘆不如的色

11、彩世界。讓我們用幾何畫板跟蹤圖7中的正方形吧。方法是：（1）量度圖7中一些線段的長x；（2）構(gòu)造x的函數(shù)值（如x-trunc(x)，tan(x)等） ;(3)由計算得到的值與要表現(xiàn)色彩的點進行顏色相關(guān)；（4）滑動梯子AB，跟蹤正方形。由于構(gòu)造出的圖形色彩細膩、均勻，常伴有各種花紋、臉譜，比如罕見的水果、孫悟空臉譜等,簡直讓人匪思，猶如七仙女手舞仙筆彩帶，在天地間飛舞、作畫。（1） 單變量與顏色相關(guān)算式：PO-trunc(PO)；得到圖形：圓系。如圖15算式：PM-trunc(PM)；得到圖形：街心花園。如圖16算式：PS-trunc(PS)；得到圖形：豬都笑了。如圖17。 其中O是坐標原點，S

12、是角MOA平分線上的一點。 （圖15） （圖16） （圖17）（2） 雙變量與顏色相關(guān)算式：sin(PA+PB)；得到圖形：星系。如圖18.算式：sin(PA)+sin(PB)-truncsin(PA)+sin(PB)；得到圖形：神奇“水果”、“地毯”。如圖19算式：tan-1(PA)-tan-1(PB)-trunc tan-1(PA)-tan-1(PB) ；得到圖形：四把劍鋒相對的倚天劍。如圖20 （圖18） （圖19） （圖20） 怎么樣，上面這樣圖，你能畫得如此美麗、精細、神奇嗎？或許你會說“不”。但下面一組圖，一定會讓你目瞪口呆，進而大嘆不已雙變量中的臉譜世界：算式：sin(PT)+c

13、os(PU)-truncsin(PT)+cos(PU)；圖形：中年孫悟空。其中U，T分別在y軸正半軸和負半軸上。如圖21算式：sin(PT)+cos(PU)0.618-truncsin(PT)+cos(PU)0.618；得到圖形：少年孫悟空。如圖22。算式：sin(PT)+cos(PU)1.618-truncsin(PT)+cos(PU)1.618；得到圖形：老年孫悟空。如圖23。 （圖21） （圖22） （圖23） 細心的同學，或許在算法里發(fā)現(xiàn)了一個神奇的數(shù)字，不錯，就是黃金分割率0.618或1.618.（3） 三變量與顏色相關(guān)算式：sin(PT)+sin(PV)-cos(PU)*0.618-truncsin(PT)+sin(PV)-cos(PU)*0.618；得到圖形：居然是豬