浙江大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章習(xí)題

1、第四章習(xí)題第四章習(xí)題 2. 某產(chǎn)品的次品率為某產(chǎn)品的次品率為0.1,檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)4次次.每次隨機(jī)地取每次隨機(jī)地取10件產(chǎn)件產(chǎn) 品進(jìn)行檢驗(yàn)品進(jìn)行檢驗(yàn),如發(fā)現(xiàn)其中的次品數(shù)多于如發(fā)現(xiàn)其中的次品數(shù)多于1,就去調(diào)整設(shè)備就去調(diào)整設(shè)備.以以X表示一天表示一天 中調(diào)整設(shè)備的次數(shù)中調(diào)整設(shè)備的次數(shù),試求試求E(X).(設(shè)諸產(chǎn)品是否為次品是相互獨(dú)立的設(shè)諸產(chǎn)品是否為次品是相互獨(dú)立的.) 解解 設(shè)設(shè)Zi表示第表示第i次檢驗(yàn)時(shí)所發(fā)現(xiàn)的次品數(shù)次檢驗(yàn)時(shí)所發(fā)現(xiàn)的次品數(shù)(i=1,2,3,4),則則Zib(10, 0.1) PZi=k= 0.1k0.910-k ,k=0,1,2,10. 10 k 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變

2、量Xi= 1, 第第i次檢驗(yàn)時(shí)要調(diào)整設(shè)備次檢驗(yàn)時(shí)要調(diào)整設(shè)備(Zi1) 0, 第第i次檢驗(yàn)時(shí)不調(diào)整設(shè)備次檢驗(yàn)時(shí)不調(diào)整設(shè)備(Zi 1) (i=1,2,3,4) 則則 X=X1+ X2+ X3+ X4 , 由于由于 PXi=0=PZi 1=PZi=0+PZi=1 =0.910+10 0.1 0.99=1.9 0.99 PXi=1=1-PXi=0=1-1.9 0.99 Xi服從服從(0-1)分布分布,故其數(shù)學(xué)期望故其數(shù)學(xué)期望 而而 E(X)=E(X1)+E(X2)+E(X3)+E(X4)=41-1.9 0.99=1.0556 E(Xi)=PXi=1=1-1.9 0.99 (i=1,2,3,4) 1(1

3、) 5. 在下列句子中隨機(jī)地取一單詞在下列句子中隨機(jī)地取一單詞,以以X表示取到的單詞所包含的表示取到的單詞所包含的 字母?jìng)€(gè)數(shù)字母?jìng)€(gè)數(shù),寫出寫出X的分布律并求的分布律并求E(X). “THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT” 解解 共有共有8個(gè)單詞個(gè)單詞,隨機(jī)取到每個(gè)單詞的概率都是隨機(jī)取到每個(gè)單詞的概率都是1/8, X 2 3 4 9 pk 1/8 5/8 1/8 1/8 4 15 8 1 9 8 1 4 8 5 3 8 1 2)( XE 設(shè)在某一規(guī)定的時(shí)間間隔里設(shè)在某一規(guī)定的時(shí)間間隔里,某電某電 氣設(shè)備用于最大負(fù)荷的時(shí)間氣設(shè)備用于最大負(fù)荷的時(shí)間X(以分計(jì)以分

4、計(jì)) 是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量,其概率密度為其概率密度為 其其它它, 0 30001500),3000( 15000, )( 2 2 1500 1 1500 1 xx xx xf 求求E(X). dxxxfXE)()( 解解 dxxxdxx 3000 1500 2 1500 1 1500 0 2 1500 1 )3000( 22 3000 1500 2 3 1500 1 1500 0 3 1500 1 )1500( 3 2 3 2 x xx 1500)1000()500(4500 X的分布律為的分布律為 X的取值為的取值為2,3,4,9, 6. 7. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為的分布

5、律為 X -2 0 2 pk 0.4 0.3 0.3 求求E(X),E(X2),E(3X2+5). 解解 2 . 03 . 023 . 004 . 0)2()( 3 1 k kk pxXE 8 . 23 . 023 . 004 . 0)2()( 222 3 1 22 k kk pxXE 4 .133 . 0 5233 . 0 5034 . 0 5) 2( 3) 53() 53( 222 3 1 22 k kk pxXE 或或 E(3X2+5)= 3E(X2) + 5 = 3 2.8 + 5 =13.4 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為 0, 0 0, )( x xe xf x 求

6、求(1)Y=2X;(2)Y=e-2X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望. 解解 dxxedxxxfXE x 0 2)(2)2( 2)( 2 2)(2 0 0 0 0 xxxx edxexeexd dxeedxxfeeE xxxX 0 222 )()( 3 1 3 1 0 3 0 3 xx edxe 8.設(shè) 設(shè)( (X,Y)的分布律為的分布律為 X 1 2 3 Y 0 0.1 0.0 0.3 1 0.1 0.1 0.1 -1 0.2 0.1 0.0 PX=i 0.4 0.2 0.41.0 PY=j 0.3 0.4 0.3 (1)求求E(X),E(Y);(2)設(shè)設(shè)Z=Y/X,求求E(Z); (3)設(shè)設(shè)Z= (X

7、- -Y)2,求求E(Z). 解解(1)先求出關(guān)于先求出關(guān)于X,Y的邊緣分布律如右的邊緣分布律如右 故故 E(X)=1 0.4+2 0.2+3 0.4=2E(Y)=-1 0.3+0 0.4+1 0.3=0 (2)先求出先求出Z=Y/X的分布律如下的分布律如下 Z pk -1 0.2 -1/2 0.1 -1/3 0.0 0 0.4 1/3 0.1 1/2 0.1 1 0.1 故故 15 1 1 . 011 . 0 2 1 1 . 0 3 1 4 . 000) 3 1 (1 . 0) 2 1 (2 . 0) 1()( ZE (3)先求出先求出Z=(X-Y)2的分布律如下的分布律如下 Z pk 22

8、 0.2 32 0.1 42 0.0 12 0.1 22 0.0 32 0.3 02 0.1 12 0.1 22 0.1 整理得整理得 Z pk 0 0.1 1 0.2 4 0.3 9 0.4 故故 E(Z)=0 0.1+1 0.2+4 0.3+9 0.4=5 9.設(shè)設(shè)( (X,Y)的概率密度為的概率密度為 其其它它, 0 10 ,12 ),( 2 xyy yxf 求求E(X),E(Y),E(XY),E(X2+Y2). xo y 1 1 y=x解解 如圖如圖,陰影部份是陰影部份是f(x,y)不為零的區(qū)域不為零的區(qū)域 dxdyyxxfXE),()( 1 0 4 1 00 2 5/4412dxxd

9、yyxdx x dxdyyxyfYE),()( 1 0 4 1 00 3 5/3312dxxdyydx x dxdyyxxyfXYE),()( 1 0 5 1 00 3 2/1312dxxdyyxdx x dxdyyxfyxYXE),()()( 2222 1 00 4 1 00 22 1212 xx dyydxdyydxx 1 0 1 0 1 0 555 15 16 5 32 5 12 4dxxdxxdxx 也可以先求邊緣概率密度也可以先求邊緣概率密度 dyyxfxfX),()( 其其它它, 0 10 ,412 0 32 xxdyy x dxyxfyfY),()( 其其它它, 0 10 , )

10、(1212 1 322 yyydxy y dxxxfXE X )()( 1 0 4 5/44dxx dyyyfYE Y )()( 1 0 43 5 3 ) 5 1 4 1 (12)(12dxyy 11. 一工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命一工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命 X(以年計(jì)以年計(jì))服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布, 概率密度為概率密度為 0,0 0, 4 1 )( 4 x xe xf x 工廠規(guī)定工廠規(guī)定,出售的設(shè)備若在售出一年出售的設(shè)備若在售出一年 之內(nèi)損壞可予以調(diào)換之內(nèi)損壞可予以調(diào)換.若工廠售出一臺(tái)設(shè)備贏利若工廠售出一臺(tái)設(shè)備贏利100元元,調(diào)換一臺(tái)設(shè)備調(diào)換一臺(tái)設(shè)備 廠方需化費(fèi)廠方需化費(fèi)300元元. 試求

11、廠方出售一臺(tái)設(shè)備凈贏利的試求廠方出售一臺(tái)設(shè)備凈贏利的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望. . 解解 設(shè)設(shè)Y(元元)表示廠方出售一臺(tái)設(shè)備的凈贏利表示廠方出售一臺(tái)設(shè)備的凈贏利, 則則 Y只能取兩個(gè)值只能取兩個(gè)值: Y=100 和和 Y=100-300= -200 . 而而 Y=100 時(shí)時(shí),設(shè)備的壽命必須在一年以上設(shè)備的壽命必須在一年以上,即即X 1 故故 PY=100=PX 1 41 1 44 11 4 1 )( eedxedxxf xx 而而 PY= -200=1-PY=100 41 1 e 或或 =PX0是常數(shù)是常數(shù),求求E(X),D(X). 解解 法一法一:利用利用 2 0 2 2 dte t 令令t=x/

12、 ,則則 2 0 2 2 2 dxe x dxxxfXE)()()( 2222 2 0 2 02 2 xx exddxe x 2 0 2 0 2 2222 dxexe xx dxxfxXE)()( 22 )( 2222 2 0 22 02 3 xx edxdxe x 2 0 22 0 2 0 22 2202 222222 xxx edxxeex 222 2 4 )()()( XEXEXD 法二法二:利用利用 函數(shù)的定義及性質(zhì)函數(shù)的定義及性質(zhì) .)21 (, 1) 1 (),() 1(),0( ,)( 0 1 aaaadteta ta 令令 t=x2/2 2 ,則則 dt t dxtx 2 ,2

13、 dtetdt t teXE tt 0 21 0 2 2 2)( 2 )21( 2 1 2)23(2 22 0 2 02 233 2 2)2(22 2 )2( )( dttedt t e t XE tt 19.設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X服從服從 分布分布,其概率密度為其概率密度為 0, 0 , 0, )( 1 )( 1 x xex xf x 其中其中 0, 0是常數(shù)是常數(shù),求求E(X),D(X). 解解 0 )( 1 )()(dxexdxxxfXE x 令令 t=x/ , 則則 x= t, dx= dt , )( )1( )( )( 0 dtetXE t 0 122 )( 1 )()(dxexdx

14、xfxXE x 2 22 0 1 2 )1( )( )1()1( )( )2( )( dtet t D(X)=E(X2)- -E(X)2= ( +1) 2- 2 2= 2 討論討論:(1)當(dāng)當(dāng) =1時(shí)時(shí),得到參數(shù)為得到參數(shù)為 的指數(shù)分布的指數(shù)分布,E(X)= ,D(X)= 2 . (2)當(dāng)當(dāng) =n/2, =2時(shí)時(shí),得到自由度為得到自由度為n的的 2分布分布,E(X)=n,D(X)=2n . 19.設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X服從幾何分布服從幾何分布,其分布律為其分布律為 PX=k=p(1-p)k-1 ,k=1,2,其中其中0p1是常數(shù)是常數(shù),求求E(X),D(X). 解解 先復(fù)習(xí)無(wú)窮級(jí)數(shù)的有關(guān)知識(shí)先

15、復(fù)習(xí)無(wú)窮級(jí)數(shù)的有關(guān)知識(shí) 當(dāng)當(dāng)|x|Y=PX-Y0=PZ20=1-PZ2 0 9798.0)05.2(11) 1525 800 (1 PX+Y1400=1-PX+Y 1400 1539.08461.01)02.1(1) 1525 13601400 (1 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X,Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,且且 XN(720, 302), YN(640, 252) , 求求Z1=2X+Y, Z2=X-Y的分布的分布,并求概率并求概率PXY,PX+Y1400. 解解 E(X)=720, D(X)=302, E(Y)=640, D(Y)=252 . E(Z1)=E(2X+Y)=2E(X)+E(Y)=2 72

16、0+640=2080 D(Z1)=D(2X+Y)=4D(X)+D(Y)=4 900+625=4225=652 故故 Z1N(2080,652) 22.(2) 28.28.設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量( (X,Y)的概率密度為的概率密度為 其其它它, 0 1, 1 ),( 22 yx yxf 試驗(yàn)證試驗(yàn)證X和和Y是不相關(guān)的是不相關(guān)的, 但但X和和Y不是相互獨(dú)立的不是相互獨(dú)立的. 解解 先求邊緣概率密度先求邊緣概率密度, dyyxfxfX),()( x y 1-1 2 1xy 2 1xy 其其它它, 0 11,1 21 2 1 1 2 2 xxdy x x dxyxfyfY),()( 同理同理 其

17、其它它, 0 11,1 21 2 1 1 2 2 yydx y y 顯然顯然,在單位圓內(nèi)在單位圓內(nèi),即即 時(shí)時(shí), 1 22 yx 1 ),()1)(1 ( 4 )()( 22 2 yxfyxyfxf YX 因此因此X和和Y不是相互獨(dú)立的不是相互獨(dú)立的. dxxxfXE X )()(01 2 2 1 1 dxxx 同理同理 0)()( dyyyfYE Y dxdyyxxyfXYE),()( 0 11 1 1 1 2 2 x x ydyxdx Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0, 0 )()( ),( YDXD YXCov XY 因此因此X和和Y是不相關(guān)的是不相關(guān)的. 29. 設(shè)隨

18、機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X,Y的分布律為的分布律為 X -1 0 1 Y 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 -1 1/8 1/8 1/8 PX=i 3/8 2/8 3/81.0 PY=j 3/8 2/8 3/8 驗(yàn)證驗(yàn)證X和和Y是不相關(guān)的是不相關(guān)的, 但但X和和Y不是相不是相 互獨(dú)立的互獨(dú)立的. 解解 先求出關(guān)于先求出關(guān)于X,Y的邊緣分布律如右的邊緣分布律如右 顯然顯然,對(duì)每一組對(duì)每一組(i,j) (i,j= -1,0,1), 都有都有 PX=i,Y=j PX=iPY=j , 因此因此X和和Y不是相互獨(dú)立的不是相互獨(dú)立的. 0 8 3 1 8 2 0 8 3 1)( XE0 8 3

19、 1 8 2 0 8 3 1)( YE 8 1 )1(0 8 1 1)1( 8 1 0)1( 8 1 )1()1()( XYE 0 8 1 01 8 1 11 8 1 )1(1 8 1 10000 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0, , 0 )()( ),( YDXD YXCov XY 因此因此X和和Y是不相關(guān)的是不相關(guān)的. 30.設(shè)設(shè)A和和B是試驗(yàn)是試驗(yàn)E的兩個(gè)事件的兩個(gè)事件,且且P(A)0,P(B)0并定義隨機(jī)變量并定義隨機(jī)變量 X,Y如右如右 X= 1, 若若A發(fā)生發(fā)生 0, 若若A不發(fā)生不發(fā)生 Y= 1, 若若B發(fā)生發(fā)生 0, 若若B不發(fā)生不發(fā)生 證明證明,若若 XY

20、=0,則則X和和Y必定相互獨(dú)立必定相互獨(dú)立. 證證 PX=1=P(A), 故故PX=0=1-P(A), PY=1=P(B), 故故PY=0=1-P(B), 由此得由此得X,Y的邊緣分布并設(shè)其聯(lián)合分布如右的邊緣分布并設(shè)其聯(lián)合分布如右 X 0 1 Y 0 a11 a12 1 a21 a22 PX=i 1-P(A) P(A) 1.0 PY=j 1-P(B) P(B) 由表中得由表中得 a11+a21=1-P(A) a12+a22=P(A) a11+a12=1-P(B) a21+a22=P(B) 顯然顯然E(X)=P(A),E(Y)=P(B), 而而 E(XY)=0 0 a11+1 0 a12+0 1

21、 a21+1 1 a22=a22 由于由于 XY=0,故故Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0, 從而有從而有 a22=E(XY)=E(X)E(Y)=P(A)P(B) 代入代入得得 a12=P(A)-a22=P(A)-P(A)P(B)=P(A)1-P(B) 代入代入 a21=P(B)-a22=P(B)-P(A)P(B)=1-P(A) P(B) 代入代入a11=1-P(B)-a12=1-P(B)P(A)1-P(B)=1-P(A)1-P(B) 由此可見(jiàn)完全滿足由此可見(jiàn)完全滿足PX=i,Y=j=PX=iPY=j(i,j=0,1), X和和Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立 31.設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量(

22、X,Y)具有具有概率密度概率密度 其其它它, 0 10 ,| , 1 ),( xxy yxf 求求E(X),E(Y),Cov(X,Y). 解解 如圖如圖,陰影部份是陰影部份是f(x,y)不為零的區(qū)域不為零的區(qū)域G x y G x=y x=-y 1 1 -1 0 dxdyyxxfXE),()( 1 0 2 1 0 3 2 2dxxdyxdx x x dxdyyxyfYE),()(0 1 0 x x ydydx dxdyyxxyfXYE),()(0 1 0 x x ydyxdx Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0. 法一法一: 法二法二:先求出邊緣概率密度先求出邊緣概率密度 (利用利用p86.14的結(jié)果的結(jié)果) 其其它它, 0 10 ,21 )( xxdy xf x x X 其其它它, 0 1| |,|1 )( yy yfY dxxxfXE X )()(322 1 0 2 dxx dyyyfY