專題七：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題進(jìn)階(教師版)自己總結(jié)

1、專題七：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題進(jìn)階(教師版)自己總結(jié)專題七：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題進(jìn)階(教師版)自己總結(jié) 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內(nèi)容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對(duì)文中內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)校對(duì)，但是難免會(huì)有疏漏的地方，但是任然希望（專題七：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題進(jìn)階(教師版)自己總結(jié)）的內(nèi)容能夠給您的工作和學(xué)習(xí)帶來便利。同時(shí)也真誠的希望收到您的建議和反饋，這將是我們進(jìn)步的源泉，前進(jìn)的動(dòng)力。本文可編輯可修改，如果覺得對(duì)您有幫助請(qǐng)收藏以便隨時(shí)查閱，最后祝您生活愉快 業(yè)績(jī)進(jìn)步，以下為專題七：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題進(jìn)階(教師版)自己總結(jié)的全部?jī)?nèi)容。17函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題進(jìn)階（教師版）常見題

2、型及解法1。 常見題型一、 小題：1. 函數(shù)的圖象2. 函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性）;3. 分段函數(shù)求函數(shù)值；4. 函數(shù)的定義域、值域(最值);5. 函數(shù)的零點(diǎn)；6. 抽象函數(shù)；7. 定積分運(yùn)算（求面積）二、大題：1。 求曲線在某點(diǎn)處的切線的方程； 2。 求函數(shù)的解析式3。 討論函數(shù)的單調(diào)性，求單調(diào)區(qū)間； 4. 求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值；5. 求函數(shù)的最值或值域; 6. 求參數(shù)的取值范圍7. 證明不等式； 8。 函數(shù)應(yīng)用問題2. 在解題中常用的有關(guān)結(jié)論(需要熟記）：(1)曲線在處的切線的斜率等于，且切線方程為.(2）若可導(dǎo)函數(shù)在 處取得極值，則。反之，不成立。（3）對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，不

3、等式的解集決定函數(shù)的遞增（減）區(qū)間。（4）函數(shù)在區(qū)間i上遞增（減）的充要條件是：恒成立（ 不恒為0)。（5）函數(shù)（非常量函數(shù))在區(qū)間i上不單調(diào)等價(jià)于在區(qū)間i上有極值,則可等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間i上有實(shí)根且為非二重根。（若為二次函數(shù)且i=r，則有）.(6) 在區(qū)間i上無極值等價(jià)于在區(qū)間在上是單調(diào)函數(shù)，進(jìn)而得到或在i上恒成立（7）若，恒成立，則； 若，恒成立，則(8)若，使得，則；若，使得，則.(9)設(shè)與的定義域的交集為d,若d 恒成立，則有。(10)若對(duì)、 ,恒成立,則。若對(duì),，使得，則。 若對(duì)，,使得，則.（11）已知在區(qū)間上的值域?yàn)閍,，在區(qū)間上值域?yàn)閎，若對(duì)，使得=成立，則.（12)若三次函

4、數(shù)f(x）有三個(gè)零點(diǎn)，則方程有兩個(gè)不等實(shí)根,且極大值大于0，極小值小于0。(13）證題中常用的不等式： 3。 解題方法規(guī)律總結(jié)1。 關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的討論：大多數(shù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次函數(shù)，因此，討論函數(shù)單調(diào)性的問題,又往往轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在所給區(qū)間上的符號(hào)問題。要結(jié)合函數(shù)圖象，考慮判別式、對(duì)稱軸、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)等因素。2。 已知函數(shù)（含參數(shù)）在某區(qū)間上單調(diào)，求參數(shù)的取值范圍，有三種方法:子區(qū)間法;分離參數(shù)法；構(gòu)造函數(shù)法。3。 注意分離參數(shù)法的運(yùn)用:含參數(shù)的不等式恒成立問題，含參數(shù)的不等式在某區(qū)間上有解,含參數(shù)的方程在某區(qū)間上有實(shí)根（包括根的個(gè)數(shù)）等問題，都可以考慮用分離參數(shù)法，前

5、者是求函數(shù)的最值，后者是求函數(shù)的值域。4。 關(guān)于不等式的證明：通常是構(gòu)造函數(shù)，考察函數(shù)的單調(diào)性和最值.有時(shí)要借助上一問的有關(guān)單調(diào)性或所求的最值的結(jié)論，對(duì)其中的參數(shù)或變量適當(dāng)賦值就可得到所要證的不等式。對(duì)于含有正整數(shù)n的帶省略號(hào)的不定式的證明,先觀察通項(xiàng)，聯(lián)想基本不定式(上述結(jié)論中的13)，確定要證明的函數(shù)不定式（往往與所給的函數(shù)及上一問所得到的結(jié)論有關(guān)），再對(duì)自變量x賦值，令x分別等于1、2、.、n,把這些不定式累加,可得要證的不定式.）5。 關(guān)于方程的根的個(gè)數(shù)問題：一般是構(gòu)造函數(shù)，有兩種形式，一是參數(shù)含在函數(shù)式中，二是參數(shù)被分離，無論哪種形式，都需要研究函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性、極值、最值以

6、及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，結(jié)合函數(shù)圖象， 確立所滿足的條件,再求參數(shù)或其取值范圍。 小題講解：【例1】（山東高考題）已知定義在r上的奇函數(shù)，滿足，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，若方程在區(qū)間上有四個(gè)不同的根，則【答案】 -8【解析】因?yàn)槎x在r上的奇函數(shù)，滿足，所以，所以, 由為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱且，由知，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù),又因?yàn)樵趨^(qū)間0，2上 是增函數(shù)，所以在區(qū)間-2,0上也是增函數(shù)如圖所示,那么方程f（x）=m(m0) 在區(qū)間上有四個(gè)不同的根，不妨設(shè)，由對(duì)稱性知,所以【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，對(duì)稱性，周期性，以及由函數(shù)圖象解答方程問題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和

7、函數(shù)與方程的思想解答問題【例2】若是方程的解,是 的解,則的值為( ）a b c3 d【解析】作出的圖象，交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，而 【答案】c 【點(diǎn)評(píng)】該題考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)綜合了函數(shù)的圖象、方程的解及曲線的交點(diǎn)等問題指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)是兩類重要的基本初等函數(shù), 高考中以它們?yōu)檩d體的函數(shù)綜合題既考查雙基, 又考查對(duì)蘊(yùn)含其中的函數(shù)思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法的理解與運(yùn)用 【例3】若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是 【解析】設(shè)函數(shù)和函數(shù)，則函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)， 就是函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知:當(dāng)時(shí)兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合,當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)（0，1)，而直線所過的點(diǎn)一定

8、在點(diǎn)(0，1)的上方,所以一定有兩個(gè)交點(diǎn)所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是 【答案】【點(diǎn)評(píng)】本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與直線的位置關(guān)系,隱含著對(duì)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的考查，根據(jù)其底數(shù)的不同取值范圍而分別畫出函數(shù)的圖象解答體現(xiàn)了對(duì)分類討論思想的考查，分類討論時(shí),要注意該分類時(shí)才分類，務(wù)必要全面【例4】已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增,則滿足的x 取值范圍是（ ）（a）（，） (b） ，） （c）（，） （d) ，)【解析】由于f（x)是偶函數(shù)，故f（x）f（x|）， 得f（2x1|）f(），再根據(jù)f（x)的單調(diào)性，得|2x1，解得x 【答案】b【點(diǎn)評(píng)】該題的關(guān)鍵是將含有函數(shù)符號(hào)的不等式轉(zhuǎn)化為普通的不等式,體現(xiàn)的對(duì)轉(zhuǎn)化思想的

9、考查，同時(shí)還綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，而該題的轉(zhuǎn)化的依據(jù)就是函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性考題中通過這種形式來考查函數(shù)的性質(zhì)與方程、不等式等的綜合不但是一個(gè)熱點(diǎn)，而且成了一個(gè)固定的必考題型【例5】某單位用2160萬元購得一塊空地,計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房經(jīng)測(cè)算,如果將樓房建為x（x10)層，則每平方米的 平均建筑費(fèi)用為560+48x(單位：元）為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少,該樓房應(yīng)建為多少層？（注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購地費(fèi)用，平均購地費(fèi)用=）【解析】設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為元，依題意得:則，令，即，解得當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，因此，當(dāng)時(shí)，取得最小值,元【答】

10、 為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為15層【點(diǎn)評(píng)】這是一題應(yīng)用題，利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來解決問題利用導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)值域或最值是一種常用的方法一、（單調(diào)性，用到二階導(dǎo)數(shù)的技巧)例一、已知函數(shù)若，求的極大值；若在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求滿足此條件的實(shí)數(shù)k的取值范圍。解:定義域?yàn)?令 由由即上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減時(shí)，f(x)取得極大值 的定義域?yàn)?0，+)，由g (x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減知:在（0，+)內(nèi)恒成立令，則 由當(dāng)時(shí)為增函數(shù)當(dāng)時(shí),為減函數(shù)當(dāng)x = e時(shí),h(x)取最大值故只需恒成立，又當(dāng)時(shí),只有一點(diǎn)x = e使得不影響其單調(diào)性 二、交點(diǎn)與根的分布例二、已知函數(shù)（1）

11、求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2）設(shè)，如果過點(diǎn)可作曲線的三條切線,證明:解：（1)在點(diǎn)處的切線方程為，即(2）如果有一條切線過點(diǎn)，則存在,使若過點(diǎn)可作曲線的三條切線,則方程有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根記,則當(dāng)變化時(shí),變化情況如下表：000極大值極小值如果過可作曲線三條切線，即有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則即例三、已知，函數(shù)（其中)（i）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（ii）是否存在實(shí)數(shù)，使曲線在點(diǎn)處的切線與y軸垂直？若存在，求出的值；若不存在,請(qǐng)說明理由.三、不等式證明作差證明不等式1. (2010湖南，最值、作差構(gòu)造函數(shù)）已知函數(shù)(1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2)若，求證:x解:（1)函數(shù)f （x）的定義域?yàn)椋?，+）

12、，由 得：，x0,f (x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,+）。(2)證明：由（1）得x(1，0）時(shí)，當(dāng)x(0,+)時(shí)，且x1時(shí),f (x)f （0）,0，x 令，則,1x0時(shí)，x0時(shí)，且x1時(shí)，g （x)g (0)，即0，x1時(shí)，x2. （2007湖北20,轉(zhuǎn)換變量，作差構(gòu)造函數(shù)，較容易）已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，其中設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同用表示,并求的最大值；求證：當(dāng)時(shí),解：設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同，,由題意，即由得：，或（舍去）即有令，則于是當(dāng)，即時(shí),；當(dāng)，即時(shí),故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，于是在的最大值為設(shè)，則故在為減函數(shù),在為增函數(shù),于是函數(shù)在上的最小值是故當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)

13、，變形構(gòu)造證明不等式3. 已知函數(shù)，(）求的極值（）若在上恒成立,求的取值范圍（）已知，且，求證解：（1），令得 ，為增函數(shù)，為減函數(shù)有極大值 4分(2）欲使在上恒成立, 只需 在上恒成立設(shè)，,為增函數(shù)，為減函數(shù)時(shí)，是最大值 只需，即8分 (3）由（2)可知在上單調(diào)增， ，那，同理相加得 ， 得： .4. （2010遼寧文21,構(gòu)造變形，二次）已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性； ks*5u.c設(shè),證明：對(duì)任意，.解： f(x)的定義域?yàn)椋?，+），.當(dāng)a0時(shí)，0，故f(x)在（0，+)單調(diào)增加；當(dāng)a1時(shí)，0, 故f(x)在（0,+)單調(diào)減少;當(dāng)1a0時(shí),令0,解得x=。當(dāng)x（0, )時(shí), 0；x(，

14、+）時(shí),0, 故f(x）在（0， ）單調(diào)增加,在（,+）單調(diào)減少。不妨假設(shè)x1x2.由于a2,故f（x）在（0，+）單調(diào)減少。所以等價(jià)于4x14x2,即f(x2)+ 4x2f（x1）+ 4x1.令g(x）=f(x）+4x,則+4.設(shè)，1，對(duì)稱軸為，結(jié)合圖象知0,于是0。從而g（x）在（0,+）單調(diào)減少，故g（x1) g(x2），即f（x1)+ 4x1f(x2）+ 4x2,故對(duì)任意x1,x2（0，+) ，四、不等式恒成立求字母范圍恒成立之最值的直接應(yīng)用已知函數(shù)。求的單調(diào)區(qū)間；若對(duì)于任意的，都有,求的取值范圍。解：，令，當(dāng)時(shí),與的情況如下：+00+0所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是和：?jiǎn)握{(diào)遞減區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，

15、與的情況如下:0+00所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是和:單調(diào)遞減區(qū)間是。當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以不?huì)有當(dāng)時(shí)，由（）知在上的最大值是，所以等價(jià)于,解綜上：故當(dāng)時(shí)，的取值范圍是,0.5. (2008天津理20倒數(shù)第3大題，最值的直接應(yīng)用，第3問帶有小的處理技巧)已知函數(shù)，其中。若曲線在點(diǎn)處切線方程為,求函數(shù)的解析式;討論函數(shù)的單調(diào)性；若對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍。解：，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，于是由切點(diǎn)在直線上可得，解得所以函數(shù)的解析式為當(dāng)時(shí)，顯然（)，這時(shí)在,上內(nèi)是增函數(shù)當(dāng)時(shí)，令，解得當(dāng)變化時(shí),，的變化情況如下表:00極大值極小值在,內(nèi)是增函數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù)由知，在上的最大值為與的較大者，對(duì)于任意

16、的，不等式在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng),即，對(duì)任意的成立從而得，所以滿足條件的的取值范圍是恒成立之分離常數(shù)6. （2011長春一模,恒成立，分離常數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)）已知函數(shù),（其中r，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1）當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程;（2）當(dāng)1時(shí)，若關(guān)于的不等式0恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.（改x0時(shí)，0恒成立。1）解：（1）當(dāng)時(shí)，,切線方程為（2)方法一1, 設(shè)，則， 設(shè)，則, 在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，,方法二，,設(shè),， 0,0,在上為增函數(shù)，.又0恒成立,0，,在上為增函數(shù), 此時(shí)0恒成立,(改x0時(shí)，0恒成立.1）解:先證明在上是增函數(shù)，再由洛比達(dá)法則，1.（正常的討論進(jìn)行不了,除非系數(shù)調(diào)到二

17、次項(xiàng)上，分兩種情況討論可得1）已知函數(shù) （）若函數(shù)在區(qū)間其中a 0,上存在極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（）如果當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；解：（）因?yàn)椋?x 0，則， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在（0,1）上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減,所以函數(shù)在處取得極大值 因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間（其中）上存在極值，所以 解得 （）不等式即為 記所以 令，則， ， 在上單調(diào)遞增， ，從而，故在上也單調(diào)遞增， 所以，所以 設(shè)函數(shù).若函數(shù)在處與直線相切：求實(shí)數(shù)的值;求函數(shù)在上的最大值；當(dāng)時(shí)，若不等式對(duì)所有的都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解:(1）。函數(shù)在處與直線相切解得。當(dāng)時(shí)，令得；令，得，上單調(diào)遞增，在1，e上單調(diào)遞減,.

18、（2）當(dāng)b=0時(shí),若不等式對(duì)所有的都成立，則對(duì)所有的都成立,即對(duì)所有的都成立，令為一次函數(shù), 。上單調(diào)遞增，對(duì)所有的都成立.。（注：也可令所有的都成立，分類討論得對(duì)所有的都成立，請(qǐng)根據(jù)過程酌情給分）恒成立之討論字母范圍7. （2007全國i，利用均值，不常見）設(shè)函數(shù)證明:的導(dǎo)數(shù)；若對(duì)所有都有，求的取值范圍解：的導(dǎo)數(shù)由于，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）令，則，若，當(dāng)時(shí)，故在上為增函數(shù),所以，時(shí)，即若，方程的正根為,此時(shí)，若,則，故在該區(qū)間為減函數(shù)所以，時(shí)，即,與題設(shè)相矛盾綜上，滿足條件的的取值范圍是設(shè)函數(shù)。若，求的最小值；若當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍.解:（1)時(shí)，,.當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，。所以在上單調(diào)減小，

19、在上單調(diào)增加故的最小值為（2），當(dāng)時(shí)，,所以在上遞增，而，所以，所以在上遞增，而，于是當(dāng)時(shí)， .當(dāng)時(shí),由得當(dāng)時(shí),，所以在上遞減,而,于是當(dāng)時(shí),，所以在上遞減，而，所以當(dāng)時(shí)，。綜上得的取值范圍為.近三年新課標(biāo)導(dǎo)數(shù)高考試題 2011 1、（2）下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的函數(shù)是b（a） （b） (c) (d） 2、(9）由曲線，直線及軸所圍成的圖形的面積為c（a） （b）4 （c） (d)64、（21）(本小題滿分12分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(）求、的值;（）如果當(dāng)，且時(shí),求的取值范圍.（21)解：（）由于直線的斜率為，且過點(diǎn)，故即解得,。（）由（）知，所以。考慮函數(shù),則.（i)設(shè),由知,當(dāng)時(shí)，。而，故當(dāng)時(shí)，,可得；當(dāng)x（1，+）時(shí)，h（x）0，可得 h(x）0從而當(dāng)x0，且x1時(shí)，f（x）（+）0,即f（x）+.（ii）設(shè)0k1。由于當(dāng)x（1，)時(shí)，（k1)（x2 +1)+2x0，故 (x）0,而h（1）=0，故當(dāng)x（1，)時(shí),h（x）0，可得h（x）0，而h(1）=0，故當(dāng)x（1,+）時(shí)，h（x）0,可得 h（x）0，與題設(shè)矛盾。 綜合得，k的取值范圍為(-,020125、（12）設(shè)點(diǎn)p在曲線y=ex 上，點(diǎn)q在曲線y=ln（2x)上，則p