關(guān)于曲線繪圖與運(yùn)動控制問題的研究

1、關(guān)于曲線繪圖與運(yùn)動控制問題的研究姓名：張碩 朱聰聰 禹雪珂學(xué)號：201722060220172106102017210609專業(yè)：研究生組題目：關(guān)于曲線繪圖與運(yùn)動控制問題的研究摘要隨著計算機(jī)的廣泛應(yīng)用，計算機(jī)輔助繪圖在當(dāng)今社會已成為計算機(jī)輔助設(shè)計的基礎(chǔ)。本文的建模題目就是利用數(shù)學(xué)建模的方法來研究計算機(jī)繪圖以及運(yùn)動控制的原理。針對問題一，首先根據(jù)題意建立了滿足條件的三階貝塞爾曲線模型，讓屏幕上的4點在一條光滑又簡單的曲線上。然后根據(jù)模型計算出由以下4點構(gòu)成的參數(shù)方程，運(yùn)用matlab編程，繪出了相應(yīng)的曲線。 針對問題二的第一步，先把所給的參數(shù)方程的參數(shù)作4等分，即，然后用matlab編程繪圖，驗

2、證出了當(dāng)參數(shù)作4等分時，這些點對應(yīng)的曲線弧長并不是4等分的。對于弧長n等分的問題，隨后利用微積分的原理建立了求弧長的公式模型。在弧長公式的基礎(chǔ)上，進(jìn)行弧長等分。利用這個模型，求出每段弧長對應(yīng)的參數(shù)t，結(jié)合所給的參數(shù)方程，最后利用編程繪制出了曲線的弧長4等分和10等分圖像。關(guān)鍵詞：貝塞爾曲線；微積分；MATLAB繪圖一 問題重述目前計算機(jī)輔助繪圖已成為計算機(jī)輔助設(shè)計的基礎(chǔ)，本文的問題就是利用數(shù)學(xué)建模的方法來研究計算機(jī)繪圖以及運(yùn)動控制的基本原理。 問題1：繪圖 在計算機(jī)屏幕上隨機(jī)地畫出和，利用這4個點的信息繪制出一條曲線，其中讓為曲線的起點，為曲線的終點，和為控制點。曲線在起點處，以方向為切線方向

3、，在終點處，以方向為切線方向。使用參數(shù)方程來描述這條曲線，但滿足上述條件的曲線有無窮條，請增加一些條件，使它表示一條曲線，并且具有形式簡單（如多項式）、曲線光滑（如連續(xù)可微）和美觀等特點。根據(jù)建立的模型寫出由以下4點構(gòu)成曲線的參數(shù)方程，并繪出這條曲線（同時在圖上標(biāo)注這4個點，和相應(yīng)的切線）。問題2：運(yùn)動控制 計算機(jī)輔助設(shè)計在一些情況下，需要對沿著指定的運(yùn)動途徑的空間位置進(jìn)行精確的控制，而參數(shù)方程給出的曲線一般是達(dá)不到這一效果。也就是說，若將參數(shù)作等分，而對應(yīng)的曲線弧長并不是等分的。例如：需要控制的曲線由下列參數(shù)方程表示 (1-1)若將參數(shù)作4等分，即，而這些點對應(yīng)的曲線弧長并不是4等分的，本題

4、需要繪圖驗證這一點，并給出將弧長作等分的數(shù)學(xué)模型或計算公式。根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，將參數(shù)方程(1-1)所繪出曲線的弧長4等分和10等分。繪出參數(shù)方程(1-1)的控制曲線，并標(biāo)注出弧長4等分和10等分的等分點。二問題分析對于問題一，是讓我們對計算機(jī)屏幕上的隨機(jī)4點滿足的參數(shù)方程添加一些條件，使得繪出的曲線只有一條，且具有一定的特點。根據(jù)搜集的信息，首先我們建立了三階貝塞爾曲線方程的模型，這個模型是多項式，繪出的曲線具有形式簡單，曲線光滑和美觀等特點。然后根據(jù)模型求出了4點滿足的曲線的參數(shù)方程，并用matlab軟件繪制出了相應(yīng)的曲線。對于問題二，要求我們在參數(shù)等分的情況下，給出將弧長等分的數(shù)學(xué)模型。

5、根據(jù)題意我們已經(jīng)知道了需要控制的曲線的參數(shù)方程，利用微積分的方法，給出了求曲線弧長的計算公式，在此基礎(chǔ)上對弧長進(jìn)行等分。根據(jù)建立的模型，利用matlab軟件繪制出將參數(shù)方程(1-1)所繪出曲線的弧長4等分和10等分的圖像。三模型假設(shè)1.假設(shè)計算機(jī)屏幕上的隨機(jī)4點沒有重合。2. 假設(shè)計算機(jī)正常運(yùn)行。3. 假設(shè)用matlab運(yùn)行的誤差忽略不計。四符號說明參數(shù) t定點 控制點 幕上的任意四點 參數(shù)方程的系數(shù) 總弧長 每段的弧長 五模型的建立與求解5.1 理論準(zhǔn)備5.1.1貝塞爾曲線簡介貝塞爾曲線，又稱貝茲曲線或貝濟(jì)埃曲線，是應(yīng)用于二維圖形應(yīng)用程序的數(shù)學(xué)曲線。一般的矢量圖形軟件通過它來精確畫出曲線，貝

6、茲曲線由線段與節(jié)點組成，節(jié)點是可拖動的支點，線段像可伸縮的皮筋，它是計算機(jī)圖形學(xué)中相當(dāng)重要的參數(shù)曲線。貝塞爾曲線是根據(jù)4個位置任意的點坐標(biāo)繪制出的一條光滑曲線，我們把這4個點設(shè)為和，貝塞爾曲線必定通過首尾兩個端點，中間的兩個點雖然未必要通過，但卻起著牽制曲線形狀路徑的作用，稱為控制點。通過調(diào)整控制點，貝塞爾曲線的形狀會發(fā)生變化beisaier.gif。 5.1.2 貝塞爾曲線的參數(shù)表示當(dāng)控制點不同時，貝塞爾曲線的方程就不同。在這里，可以簡單的分為一階、二階、三階、和高階貝塞爾曲線。下面對其參數(shù)方程進(jìn)行簡單的介紹。A. 一階貝塞爾曲線給定點P0、P1，線性貝茲曲線只是一條兩點之間的直線。這條線由

7、下式給出：且其等同于線性插值。 B.二階貝塞爾曲線 二次方貝茲曲線的路徑由給定點P0、P1、P2的函數(shù)B（t）追蹤：TrueType字型就運(yùn)用了以貝茲樣條組成的二次貝茲曲線。 C.三階貝塞爾曲線P0、P1、P2、P3四個點在平面或在三維空間中定義了三次方貝茲曲線。曲線起始于P0走向P1，并從P2的方向來到P3。一般不會經(jīng)過P1或P2；這兩個點只是在那里提供方向資訊。P0和P1之間的間距，決定了曲線在轉(zhuǎn)而趨進(jìn)P3之前，走向P2方向的“長度有多長”。曲線的參數(shù)形式為：現(xiàn)代的成象系統(tǒng)，如PostScript、Asymptote和Metafont，運(yùn)用了以貝茲樣條組成的三次貝茲曲線，用來描繪曲線輪廓。

8、D.一般參數(shù)公式給定點P0、P1、Pn，其貝茲曲線即：如上公式可如下遞歸表達(dá)： 用表示由點P0、P1、Pn所決定的貝茲曲線。5.1.3 貝塞爾曲線的性質(zhì)貝塞爾曲線把組合參數(shù)曲線構(gòu)造成在連接處具有直到n階連續(xù)，即n階連續(xù)可微，這類光滑度稱之為nC或n階參數(shù)連續(xù)性。并且組合曲線在連接處滿足不同于nC的某一組約束條件，具有n階幾何連續(xù)性，5.2 問題一模型的建立根據(jù)題目所給，要使參數(shù)方程并且具有形式簡單（如多項式）、曲線光滑（如連續(xù)可微）和美觀等特點，我們建立了三階貝塞爾曲線方程的模型：如果已知一條曲線的參數(shù)方程，系數(shù)都已知，兩個方程的參數(shù)為t，且它的值位于0，1之間，表現(xiàn)形式如下所示： xt=ax

9、*t3+bx*t2+cx*t+x1 yt=ay*t3+by*t2+cy*t+y1 由于這條曲線的起點為x1，y1，我們可以用以下公式求出剩余三個點的坐標(biāo) x2=x1+cx/3 x3=x2+（cx+bx/3） x4=x1+cx+bx+ax y2=y1+cy/3 y3=y2+(cy+by)/3 y4=y1+cy+by+ay經(jīng)過觀察，不管方程的已知和所求是什么，一共有6個未知數(shù)，并且總能找到6個等式，其中x1，y1是已知的。也就是說，上面的方法是完全可逆的，因此可以根據(jù)4個已知點坐標(biāo)來反求曲線參數(shù)方程的系數(shù)，經(jīng)過變換，可得到下列式子： cx=3*（x2-x1） bx=3* x3-x2-cx ax=x

10、4-x1-cx-bx cy=3*（ y2-y1） by=3*y3-y2-cy ay=y4-y1-cy-by所以，對于坐標(biāo)任意的4個已知點，總能構(gòu)建一條貝塞爾曲線，并可通過以上算法求出其參數(shù)方程。5.3問題一的求解根據(jù)建立的模型，將代入三階貝塞爾曲線模型中，得到 cx=3*x2-x1=0 bx=3* x3-x2-cx=6 ax=x4-x1-cx-bx=-5 cy=3* y2-y1=6 by=3*y3-y2-cy=-6 ay=y4-y1-cy-by=1所以得到的參數(shù)方程為 xt=-5*t3+6*t2+0*t+1yt=1*t3+（-6）*t2+6*t+1 .根據(jù)計算結(jié)果，利用MATLAB寫出程序見（

11、附錄1），繪出這條曲線同時在圖上標(biāo)注出四點點，和相應(yīng)的切線，其中為曲線的起點，為曲線的終點，和為控制點.曲線在起點處，以方向為切線方向，在終點處，以方向為切線方向.如下圖：5.3問題二模型的建立問題2中，需要控制的曲線的參數(shù)方程已知，當(dāng)參數(shù)作等分時，要使曲線弧長是等分，這時我們應(yīng)利用微積分的方法，給出求曲線弧長的計算公式，在此基礎(chǔ)上建立對弧長進(jìn)行等分的數(shù)學(xué)模型。若曲線弧的參數(shù)方程如下： x=（t）y=（t）（t）則弧長元素（弧微分）為： ds=（dx）2+dy2 =2t+2(t)所求弧長為 S=2t+2(t)dt因此得到將弧長進(jìn)行n等分的公式模型： s=2t+2(t)dtn.計算出n等分點的到

12、起始點的弧長，利用Matlab可以求出每個等分點對應(yīng)的參數(shù)t，從而可繪出n等分的對應(yīng)圖像。5.4問題二的求解 首先對于參數(shù)方程若將參數(shù)作4等分，即時，經(jīng)過matlab軟件編程繪制圖像，發(fā)現(xiàn)并驗證了這些點對應(yīng)的曲線弧長并不是4等分的。繪制的圖形如下：從圖5.4-1中可以看出當(dāng)參數(shù)作4等分時，對應(yīng)的弧長并不是4等分的。對于參數(shù)方程將其代入建立的模型之中，運(yùn)用matlab編程求出弧長S為2.4952，若將弧長進(jìn)行4等分，每段的弧長s為0.6238。再次運(yùn)用Matlab編程，用已知的四等分點的弧長s反過來求出對應(yīng)的參數(shù)t，數(shù)據(jù)如表格所示：弧長參數(shù)=0.0000=0.000=0.6238=0.550=1

13、.2476=0.800=2.3348=0.918=2.4952=1.000進(jìn)而繪制出將弧長進(jìn)行4等分的圖像，并將4等分的等分點用紅色圓圈在圖上進(jìn)行了標(biāo)注，如圖：同理，運(yùn)用模型可將曲線10等分?？汕蟪?0等分之后每段的弧長為0.2495，運(yùn)用Matlab求出了所有等分點參數(shù)t的取值?；￠L參數(shù)=0.000=0.0000=0.249=0.2402=0.499=0.4324=0.748=0.6310=0.998=0.7332=1.248=0.8007=1.497=0.8532=1.747=0.8972=1.996=0.9353=2.245=0.9691=2.495=1.0000并繪制出了將弧長進(jìn)行10

14、等分的圖像，并對弧長10等分的等分點進(jìn)行了標(biāo)注。六模型評價6.1模型一的評價6.1.1優(yōu)點（1）模型簡單，通過一個貝塞爾曲線模型給出了屏幕上任意4點需要滿足的條件，利用限制條件繪制出了美觀的圖像，便于觀察。（2）該模型的原理淺顯易懂，計算過程不復(fù)雜，適用性比較強(qiáng)。6.1.2缺點由于所給的數(shù)據(jù)較少，繪制出的圖像不是特別準(zhǔn)確，存在一定的誤差。6.2模型二的評價6.2.1優(yōu)點（1）模型簡單，原理淺顯易懂，思路明確，直奔主題。（2）利用了微積分求弧長，化曲為直，簡化了計算過程。6.2.2缺點在計算n等分點時，過程較為繁瑣，復(fù)雜。參考文獻(xiàn)1劉衛(wèi)國，MATLAB程序設(shè)計與應(yīng)用（第二版）M.北京：高等教育出

15、版社，2006.2龔純,王正林編.MATLAB語言常用算法程序集.北京：電子工業(yè)出版社,2008.3王正林等編.MATLAB/Simulink與控制系統(tǒng)仿真（第2版）.北京：電子工業(yè)出版社,20084夏瑋等編.MATLAB控制系統(tǒng)仿真與實例詳解.北京：人民郵電出版社.2008.5張靜等編.MATLAB在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用.北京：電子工業(yè)出版社,2007 6方康玲編,過程控制及其MATLAB實現(xiàn)(第2版).北京：電子工業(yè)出版社,2013附錄問題1 t=0:0.01:1; x=-5*t.3+6*t.2+1; y=t.3-6*t.2+6*t+1; plot(x,y,-b); hold on x0=1;

16、1;3;2 y0=1;3;3;2; plot(x0,y0,r) x1=1;1; y1=1;3; plot(x1,y1,-g) t=0:0.01:1; x=-5*t.3+6*t.2+1; y=t.3-6*t.2+6*t+1; plot(x,y,-b); hold on x0=1;1;3;2; y0=1;3;3;2; plot(x0,y0,r) x2=3;2; y2=3;2; plot(x2,y2,-g)問題二（1）驗證當(dāng)參數(shù)作4等分，即時，這些點對應(yīng)的弧長不是4等分的程序：t=0:0.01:0.25x=0.5+0.3.*t+3.9.*t.*t-4.7.*t.3;y=1.5+0.3.*t+0.9.

17、*t.*t-2.7.*t.3;plot(x,y,*:b);hold on t=0.25:0.01:0.5x=0.5+0.3.*t+3.9.*t.*t-4.7.*t.3;y=1.5+0.3.*t+0.9.*t.*t-2.7.*t.3;plot(x,y,*:r);hold on t=0.5:0.01:0.75x2=0.5+0.3.*t+3.9.*t.*t-4.7.*t.3;y2=1.5+0.3.*t+0.9.*t.*t-2.7.*t.3;plot(x2,y2,*:g);hold on t=0.75:0.01:1x3=0.5+0.3.*t+3.9.*t.*t-4.7.*t.3;y3=1.5+0.3.

18、*t+0.9.*t.*t-2.7.*t.3;plot(x3,y3,*:k);（2）由已知的參數(shù)方程求出的總弧長的程序： function f=ft(t)f=sqrt(0.3+7.8.*t-14.1.*t.2).2+(0.3+1.8.*t-8.1.*t.2).2);endS=quad(ft,0,1)S=2.4952（3）由已知的參數(shù)方程繪制出弧長4等分的程序：t=0:0.01:1x=0.5+0.3.*t+3.9.*t.*t-4.7.*t.3;y=1.5+0.3.*t+0.9.*t.*t-2.7.*t.3;plot(x,y,-b);hold ont0=0.55;0.8;0.918;x0=0.5+0.3.*t0+3.9.*t0.*t0-4.7.*t0.3;y0=1.5+0.3.*t0+0.9.*t0.*t0-2.7.*t0.3;plot(x0,y0,ro)