高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 第三節(jié) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示（第二課時(shí)）示范教案 新人教A版必修4

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精第二章第三節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示第二課時(shí)教學(xué)分析1前面學(xué)習(xí)了平面向量的坐標(biāo)表示,實(shí)際是平面向量的代數(shù)表示在引入了平面向量的坐標(biāo)表示后可使向量完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái)，這就可以使很多幾何問(wèn)題的解答轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的數(shù)量運(yùn)算2本小節(jié)主要是運(yùn)用向量線性運(yùn)算的交換律、結(jié)合律、分配律，推導(dǎo)兩個(gè)向量的和的坐標(biāo)、差的坐標(biāo)以及數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算推導(dǎo)的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用向量線性運(yùn)算的交換律、結(jié)合律和分配律3引進(jìn)向量的坐標(biāo)表示后,向量的線性運(yùn)算可以通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn),一個(gè)自然的想法是向量的某些關(guān)系，特別是向量的平行、垂直，是否也能通過(guò)坐標(biāo)來(lái)研究呢?前面已經(jīng)找出兩個(gè)向量共線的條件(如

2、果存在實(shí)數(shù),使得ab，那么a與b共線），本節(jié)則進(jìn)一步地把向量共線的條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示這種轉(zhuǎn)化是比較容易的，只要將向量用坐標(biāo)表示出來(lái)，再運(yùn)用向量相等的條件就可以得出平面向量共線的坐標(biāo)表示要注意的是，向量的共線與向量的平行是一致的三維目標(biāo)1通過(guò)經(jīng)歷探究活動(dòng)，使學(xué)生掌握平面向量的和、差、實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)表示方法理解并掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量共線的坐標(biāo)表示2引入平面向量的坐標(biāo)可使向量運(yùn)算完全代數(shù)化，平面向量的坐標(biāo)成了數(shù)與形結(jié)合的載體3在解決問(wèn)題過(guò)程中要形成見(jiàn)數(shù)思形、以形助數(shù)的思維習(xí)慣，以加深理解知識(shí)要點(diǎn)，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)平面向量共線的坐標(biāo)表示的理解

3、課時(shí)安排1課時(shí)導(dǎo)入新課思路1。向量具有代數(shù)特征，與平面直角坐標(biāo)系緊密相聯(lián)那么我們?cè)趯W(xué)習(xí)直線和圓的方程以及點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系時(shí)，直線與直線的平行是一種重要的關(guān)系關(guān)于x、y的二元一次方程axbyc0（a、b不同時(shí)為零）何時(shí)所體現(xiàn)的兩條直線平行？向量的共線用代數(shù)運(yùn)算如何體現(xiàn)?思路2。對(duì)于平面內(nèi)的任意向量a，過(guò)定點(diǎn)o作向量a，則點(diǎn)a的位置被向量a的大小和方向所唯一確定如果以定點(diǎn)o為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，那么點(diǎn)a的位置可通過(guò)其坐標(biāo)來(lái)反映，從而向量a也可以用坐標(biāo)來(lái)表示,這樣我們就可以通過(guò)坐標(biāo)來(lái)研究向量問(wèn)題了事實(shí)上，向量的坐標(biāo)表示，實(shí)際是向量的代數(shù)表示引入向量的坐標(biāo)表示可使向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將

4、數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái),這就可以使很多幾何問(wèn)題的解答轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的數(shù)量運(yùn)算引進(jìn)向量的坐標(biāo)表示后，向量的線性運(yùn)算可以通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)，那么向量的平行、垂直，是否也能通過(guò)坐標(biāo)來(lái)研究呢？推進(jìn)新課我們研究了平面向量的坐標(biāo)表示，現(xiàn)在已知a(x1,y1)，b(x2，y2)，你能得出ab，ab，a的坐標(biāo)表示嗎?如圖1，已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，怎樣表示的坐標(biāo)？你能在圖中標(biāo)出坐標(biāo)為(x2x1，y2y1)的p點(diǎn)嗎？標(biāo)出點(diǎn)p后，你能總結(jié)出什么結(jié)論?活動(dòng)：教師讓學(xué)生通過(guò)向量的坐標(biāo)表示來(lái)進(jìn)行兩個(gè)向量的加、減運(yùn)算，教師可以讓學(xué)生到黑板去板書(shū)步驟可得:圖1ab（x1iy1j)（x2iy2j)(x1x2)i（

5、y1y2)j,即ab（x1x2，y1y2）同理ab(x1x2,y1y2)又a（x1iy1j）x1iy1j。a（x1，y1）教師和學(xué)生一起總結(jié)，把上述結(jié)論用文字?jǐn)⑹龇謩e為:兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差);實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)教師再引導(dǎo)學(xué)生找出點(diǎn)與向量的關(guān)系：將向量平移,使得點(diǎn)a與坐標(biāo)原點(diǎn)o重合，則平移后的b點(diǎn)位置就是p點(diǎn)向量的坐標(biāo)與以原點(diǎn)為始點(diǎn)，點(diǎn)p為終點(diǎn)的向量坐標(biāo)是相同的，這樣就建立了向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系學(xué)生通過(guò)平移也可以發(fā)現(xiàn)：向量的模與向量的模是相等的由此,我們可以得出平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式：|。教師對(duì)總結(jié)完全的同學(xué)進(jìn)行

6、表?yè)P(yáng)，并鼓勵(lì)學(xué)生，只要善于開(kāi)動(dòng)腦筋，勇于創(chuàng)新,展開(kāi)思維的翅膀，就一定能獲得意想不到的收獲討論結(jié)果：能(x2，y2)（x1，y1)（x2x1，y2y1）結(jié)論：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)如何用坐標(biāo)表示兩個(gè)共線向量？若a(x1，y1)，b(x2，y2)，那么是向量a、b共線的什么條件？活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比直線平行的特點(diǎn)來(lái)推導(dǎo)向量共線時(shí)的關(guān)系此處教師要對(duì)探究困難的學(xué)生給以必要的點(diǎn)撥:設(shè)a(x1,y1），b（x2，y2），其中b0。我們知道，a、b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)，使ab.如果用坐標(biāo)表示，可寫(xiě)為(x1，y1）（x2,y2),即消去后得x1y2x2y10.這就

7、是說(shuō)，當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y10時(shí)向量a、b（b0）共線又我們知道x1y2x2y10與x1y2x2y1是等價(jià)的，但這與是不等價(jià)的因?yàn)楫?dāng)x1x20時(shí)，x1y2x2y10成立，但與均無(wú)意義因此是向量a、b共線的充分不必要條件由此也看出向量的應(yīng)用更具一般性,更簡(jiǎn)捷、實(shí)用，讓學(xué)生仔細(xì)體會(huì)這點(diǎn)討論結(jié)果：x1y2x2y10時(shí)，向量a、b（b0)共線充分不必要條件a與非零向量b為共線向量的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)使得ab，那么這個(gè)充要條件如何用坐標(biāo)來(lái)表示呢？活動(dòng)：教師引導(dǎo)推證：設(shè)a（x1，y1）,b（x2，y2），其中ba，由ab，（x1，y1）（x2，y2)消去,得x1y2x2y10.討論結(jié)果：ab（b

8、0）的充要條件是x1y2x2y10。教師應(yīng)向?qū)W生特別提醒感悟：(1）消去時(shí)不能兩式相除,y1、y2有可能為0，而b0,x2、y2中至少有一個(gè)不為0。(2)充要條件不能寫(xiě)成(x1、x2有可能為0)（3）從而向量共線的充要條件有兩種形式：ab(b0）思路1例1已知a(2，1),b（3，4）,求ab，ab,3a4b的坐標(biāo)活動(dòng)：本例是向量代數(shù)運(yùn)算的簡(jiǎn)單應(yīng)用，讓學(xué)生根據(jù)向量的線性運(yùn)算進(jìn)行向量的和、差及數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算，再根據(jù)向量的線性運(yùn)算律和向量的坐標(biāo)概念得出結(jié)論若已知表示向量的有向線段的始點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，那么終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)就是此向量的坐標(biāo)，從而使得向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)可以相互轉(zhuǎn)化可由學(xué)生自己完成

9、解：ab（2，1)(3，4）（1,5)；ab(2，1）(3,4)（5，3）;3a4b3(2,1）4（3,4)(6，3）（12，16)(6,19)點(diǎn)評(píng):本例是平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的常規(guī)題，目的是熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式。變式訓(xùn)練已知平面向量a(1,1)，b（1,1)，則向量ab等于( ）a(2，1） b（2，1）c（1，0) d(1，2)答案:d例2如圖2，已知abcd的三個(gè)頂點(diǎn)a、b、c的坐標(biāo)分別是(2，1)、(1,3)、（3，4),試求頂點(diǎn)d的坐標(biāo)圖2活動(dòng)：本例的目的仍然是讓學(xué)生熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算這里給出了兩種方法：方法一利用“兩個(gè)向量相等,則它們的坐標(biāo)相等”，解題過(guò)程中應(yīng)用了方程思想；方

10、法二利用向量加法的平行四邊形法則求得向量的坐標(biāo)，進(jìn)而得到點(diǎn)d的坐標(biāo)解題過(guò)程中,關(guān)鍵是充分利用圖形中各線段的位置關(guān)系(主要是平行關(guān)系)，數(shù)形結(jié)合地思考,將頂點(diǎn)d的坐標(biāo)表示為已知點(diǎn)的坐標(biāo)解：方法一:如圖2，設(shè)頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為（x，y)(1（2），31）(1,2)，（3x，4y）由，得（1，2)（3x，4y）頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為(2，2)方法二：如圖2，由向量加法的平行四邊形法則,可知(2（1)，13)（3（1)，43)(3,1），而（1，3)(3，1)（2，2），頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為（2,2)點(diǎn)評(píng)：本例的目的仍然是讓學(xué)生熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.變式訓(xùn)練如圖3,已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a(2，1)，b(1,3）

11、，c(3,4）,求點(diǎn)d的坐標(biāo)，使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)圖3解：當(dāng)平行四邊形為abcd1時(shí)，仿例2得：d1（2,2）；當(dāng)平行四邊形為acd2b時(shí)，仿例2得：d2（4，6)；當(dāng)平行四邊形為d3acb時(shí)，仿例2得：d3（6，0).例3已知a(1，1），b（1,3），c（2，5),試判斷a、b、c三點(diǎn)之間的位置關(guān)系活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量的共線來(lái)判斷首先要探究三個(gè)點(diǎn)組合成兩個(gè)向量，然后根據(jù)兩個(gè)向量共線的充要條件來(lái)判斷這兩個(gè)向量是否共線從而來(lái)判斷這三點(diǎn)是否共線教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解并熟練地運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)形式來(lái)判斷向量之間的關(guān)系讓學(xué)生通過(guò)觀察圖象領(lǐng)悟先猜后證的思維方式解：在平面直角坐標(biāo)系中作出

12、a、b、c三點(diǎn)，觀察圖形，我們猜想a、b、c三點(diǎn)共線下面給出證明(1(1)，3（1）)(2，4),(2（1）,5（1）)（3，6），又26340，且直線ab、直線ac有公共點(diǎn)a，a、b、c三點(diǎn)共線點(diǎn)評(píng):本例的解答給出了判斷三點(diǎn)共線的一種常用方法，其實(shí)質(zhì)是從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量共線，則這兩個(gè)向量的三個(gè)頂點(diǎn)共線這是從平面幾何中判斷三點(diǎn)共線的方法移植過(guò)來(lái)的。變式訓(xùn)練已知a(4,2)，b（6，y）,且ab，求y。解：ab,4y260。y3。思路2例1設(shè)點(diǎn)p是線段p1p2上的一點(diǎn)，p1、p2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)、(x2，y2）(1）當(dāng)點(diǎn)p是線段p1p2的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)p的坐標(biāo)；（2)當(dāng)點(diǎn)p是線段p1

13、p2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)p的坐標(biāo)活動(dòng)：教師充分讓學(xué)生思考,并提出這一結(jié)論可以推廣嗎？即當(dāng)時(shí)，點(diǎn)p的坐標(biāo)是什么?師生共同討論，一起探究，可按照求中點(diǎn)坐標(biāo)的解題思路類(lèi)比推廣，有的學(xué)生可能提出如下推理方法：設(shè)p（x,y），由，知(xx1，yy1)(x2x，y2y），即這就是線段的定比分點(diǎn)公式，教師要給予充分肯定，鼓勵(lì)學(xué)生的這種積極探索，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要品質(zhì)時(shí)間允許的話，可以探索的取值符號(hào)對(duì)p點(diǎn)位置的影響,也可鼓勵(lì)學(xué)生課后探索解：（1）如圖4,由向量的線性運(yùn)算可知圖4（）(，)，所以點(diǎn)p的坐標(biāo)是（，)（2)如圖5，當(dāng)點(diǎn)p是線段p1p2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，有兩種情況，即或2.如果(圖5(1)，那么圖5

14、（）(,)，即點(diǎn)p的坐標(biāo)是(,)同理，如果2(圖5(2）)，那么點(diǎn)p的坐標(biāo)是(，)點(diǎn)評(píng)：本例實(shí)際上給出了線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式和線段的三等分點(diǎn)坐標(biāo)公式.變式訓(xùn)練在abc中，已知點(diǎn)a（3，7）、b（2,5）若線段ac、bc的中點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上，求點(diǎn)c的坐標(biāo)解：(1）若ac的中點(diǎn)在y軸上,則bc的中點(diǎn)在x軸上，設(shè)點(diǎn)c的坐標(biāo)為(x,y），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得0，0,x3，y5,即c點(diǎn)坐標(biāo)為(3，5）(2）若ac的中點(diǎn)在x軸上，則bc的中點(diǎn)在y軸上,則同理可得c點(diǎn)坐標(biāo)為（2，7）綜合（1)(2)，知c點(diǎn)坐標(biāo)為(3，5)或(2,7).例2已知點(diǎn)a(1,2)，b（4，5),o為坐標(biāo)原點(diǎn)，t.若點(diǎn)p在第二象限，求實(shí)

15、數(shù)t的取值范圍活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量的相等,把已知條件轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的方程(組)或不等式(組)再進(jìn)行求解教師以提問(wèn)的方式來(lái)了解學(xué)生組織步驟的能力，或者讓學(xué)生到黑板上去板書(shū)解題過(guò)程,并對(duì)思路清晰過(guò)程正確的同學(xué)進(jìn)行表?yè)P(yáng),同時(shí)也要對(duì)組織步驟不完全的同學(xué)給予提示和鼓勵(lì)教師要讓學(xué)生明白“化歸”思想的利用不等式求變量取值范圍的基本觀點(diǎn)是：將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的不等式(組),那么變量的取值范圍就是這個(gè)不等式(組）的解集解:由已知(4,5）（1,2)（3,3）(1，2）t（3，3)（3t1,3t2）若點(diǎn)p在第二象限，則t。故t的取值范圍是（,）點(diǎn)評(píng)：此題通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將點(diǎn)p的坐標(biāo)

16、用t表示，由點(diǎn)p在第二象限可得到一個(gè)關(guān)于t的不等式組，這個(gè)不等式組的解集就是t的取值范圍課本本節(jié)練習(xí)解答:1(1)ab(3，6)，ab（7,2);(2)ab(1，11），ab(7,5)；（3)ab（0，0），ab（4，6）；（4)ab(3,4），ab（3，4)22a4b（6，8），4a3b（12,5）3（1)(3,4），（3，4)；(2)(9，1)，（9，1）；（3)（0,2），(0，2）;(4)（5，0），（5,0）4abcd。證明：（1，1）,（1，1），所以。所以abcd.點(diǎn)評(píng)：本題有兩個(gè)要求：一是判斷，二是證明通過(guò)作圖發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提出猜想，然后再證明結(jié)論是一個(gè)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程5(1

17、）（3,2);（2）(1，4);（3)（4，5)6（，1)或(，1)7解:設(shè)p（x，y），由點(diǎn)p在線段ab的延長(zhǎng)線上,且|，得(x2,y3）(x4,y3)，即解之，得所以點(diǎn)p的坐標(biāo)為（8,15）點(diǎn)評(píng)：本題希望通過(guò)向量方法求解，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用向量的意識(shí)1先由學(xué)生回顧本節(jié)都學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)知識(shí):平面向量的和、差、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算，兩個(gè)向量共線的坐標(biāo)表示2教師與學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法，定義法、歸納、整理、概括的思想，強(qiáng)調(diào)在今后的學(xué)習(xí)中，要善于培養(yǎng)自己不斷探索、善于發(fā)現(xiàn)、勇于創(chuàng)新的科學(xué)態(tài)度和求實(shí)開(kāi)拓的精神，為將來(lái)的發(fā)展打下良好基礎(chǔ)課本習(xí)題2。3 a組5、6。1本節(jié)課中向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算實(shí)際上是向量

18、的代數(shù)運(yùn)算這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)學(xué)習(xí)并不困難，可大膽讓學(xué)生自己探究本教案設(shè)計(jì)流程符合新課改精神教師在引導(dǎo)學(xué)生探究時(shí)，始終抓住向量具有幾何與代數(shù)的雙重屬性這一特征和向量具有數(shù)與形緊密結(jié)合的特點(diǎn)讓學(xué)生在了解向量知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，進(jìn)一步熟悉向量的坐標(biāo)表示以及運(yùn)算法則、運(yùn)算律,能熟練向量代數(shù)化的重要作用和實(shí)際生活中的應(yīng)用，并加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算包括向量的代數(shù)運(yùn)算與幾何運(yùn)算相比較而言,學(xué)生對(duì)向量的代數(shù)運(yùn)算要容易接受一些，但對(duì)向量的幾何運(yùn)算往往感到比較困難，無(wú)從下手向量的幾何運(yùn)算主要包括向量加減法的幾何運(yùn)算,向量平行與垂直的充要條件及定比分點(diǎn)的向量式等3通過(guò)平面向量坐標(biāo)的加、減代數(shù)運(yùn)算，結(jié)合圖形，不但可以建立向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系，而且教師可在這兩題的基礎(chǔ)上稍作推廣，就可通過(guò)求向量的模而得到直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩點(diǎn)間的距離公式甚至可以推出中點(diǎn)坐標(biāo)公式它們?cè)谔幚砥矫鎺缀蔚挠嘘P(guān)問(wèn)題時(shí)，往往有其獨(dú)到之處,教師可讓學(xué)有余力的學(xué)生課下繼續(xù)探討，以提高學(xué)生的思維發(fā)散能力一、求點(diǎn)p分有向線段所成的比的幾種求法（1）定義法：根據(jù)已知條件直接找到使的實(shí)數(shù)的值例1已知點(diǎn)a（2，3)，點(diǎn)b（4,1)，延長(zhǎng)ab到p，使3|，求點(diǎn)p的坐標(biāo)解:因?yàn)辄c(diǎn)在ab的延長(zhǎng)線上，p為的外分點(diǎn),所以，0,又根據(jù)3，可知3,由分點(diǎn)坐標(biāo)公式易得p點(diǎn)的坐標(biāo)為(7,3)(2）公式法：依據(jù)定比