畢業(yè)設計（論文）基于MATLAB的IIR濾波器的設計及應用

1、目 錄前 言-31. 數(shù)字濾波器-41.1數(shù)字濾波器技術的發(fā)展狀況-41.2 matlab 軟件簡介-51.3數(shù)字濾波器及其matlab實現(xiàn)-71.4 iir數(shù)字濾波器的基本概念-82. iir數(shù)字濾波器設計方法比較-112.1 概述-112.2四種設計方法比較-122.3 比較結果分析-143. iir數(shù)字濾波器的設計過程及方法-164. iir數(shù)字濾波器的實現(xiàn)方法-174.1脈沖響應不變法-174.2雙線性變換法-194.2.1巴特沃斯低通濾波器的設計-224.2.2切比雪夫低通濾波器的設計-245.各種設計方法的matlab實現(xiàn)-295.1 基于模擬低通濾波器原型的matlab實現(xiàn)-29

2、5.2 基于合適類型模擬濾波器的matlab實現(xiàn)-305.3 基于直接原型變換法的matlab實現(xiàn)-316. iir數(shù)字濾波器應用-33結 論-36參考文獻-37摘 要根據(jù)iir數(shù)字濾波器的設計原理，提出了iir數(shù)字濾波器的快速設計方法，并在matlab環(huán)境下做出了實現(xiàn)快速設計iir 數(shù)字濾波器的設計系統(tǒng).在該系統(tǒng)中，只需要將數(shù)字濾波器的技術性能指標根據(jù)指定的或是需要的設計方法（如雙線性變換法或脈沖響應不變法等），轉換為模擬濾波器的技術性能指標，根據(jù)指定的模擬濾波器設計出相應的數(shù)字濾波器，該系統(tǒng)中指定的模擬濾波器為巴特沃斯濾波器和切比雪夫濾波器，該系統(tǒng)為快速、高效地設計iir數(shù)字濾波器提供了一

3、個可靠而有效的工作平臺.本文首先對matlab軟件進行了介紹，并對數(shù)字濾波器在其環(huán)境下如何實現(xiàn)進行了介紹；其次描述了數(shù)字濾波器的基本概念，其包括系統(tǒng)的描述、系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、基本結構運算單元；本文重點描述了iir數(shù)字濾波器的設計過程及幾種設計方法，并對iir濾波器的仿真做了一些介紹。關鍵詞：iir數(shù)字濾波器；模擬濾波器；脈沖響應；數(shù)字頻率；設計系統(tǒng)；雙線性變換；幅頻特性abstractthe fast design method of iir(infinite impulse response)filter is provided based on the principle of filter

4、 design, and the design system of the iir filter worked out under the matlab environment. it is necessary that the parameter of digital filter is transformed to the parameter of analog filter based on the indicated method (for example, the method of double linear transform or the method of non-chang

5、ing impulse response, etc.),and the digital filter is designed based on the indicated analog filter. the butterworth filter and the chebyshev filter(both are analog filter)are indicated. a reliable and efficient work station is provided in order to design filter quickly and efficiently.first this te

6、xt carries on the introduction to the software of matlab, and describes the design of digital filter based on matlab ;describes the basic concept of the digital filter the next in order, it includes the description of system,delivering function of the system,the basic structure operation unit;this t

7、ext point describes design process and several design methods of the iir digital filter and the simulation of the iir filter to do some introduction.key words: iir digital filter; analog filter; impulse response; digital frequency; design system; double linear transformation; character of magnitude

8、and frequency基于matlab的iir濾波器的設計及應用 前 言數(shù)字濾波器(digital filter)是指輸入、輸出都是離散時間信號，通過一定運算關系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。數(shù)字濾波器在數(shù)字信號處理中起著非常重要的作用，在信號的過濾、檢測與參數(shù)的估計等方面，是使用最為廣泛的一種線性系統(tǒng)。實現(xiàn)數(shù)字濾波器的方法有兩種，一是采用計算機軟件進行，就是把所要完成的工作通過程序讓計算機來實現(xiàn)；二是設計專用的數(shù)字處理硬件。這個地方主要用到的就是第一種方法。即是用matlab提供的信號處理工具箱來實現(xiàn)數(shù)字濾波器。matlab信號處理工具箱提供了豐富的設計方

9、法，可以使得繁瑣的程序設計簡化成函數(shù)的調用，只要以正確的指標參數(shù)調用函數(shù)，就可以正確快捷地得到設計結果。1 數(shù)字濾波器1.1數(shù)字濾波器技術的發(fā)展狀況數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理理論的一部分。數(shù)字信號處理主要是研究用數(shù)字或符號的序列來表示信號波形，并用數(shù)字的方式去處理這些序列，把它們改變成在某種意義上更為有希望的形式，以便估計信號的特征參量，或削弱信號中的多余分量和增強信號中的有用分量。具體來說，凡是用數(shù)字方式對信號進行濾波、變換、調制、解調、均衡、增強、壓縮、固定、識別、產生等加工處理，都可納入數(shù)字信號處理領域。數(shù)字信號處理學科的一項重大進展是關于數(shù)字濾波器設計方法的研究。關于數(shù)字濾波器，早在上世

10、紀40年代末期就有人討論它的可能性問題，在50年代也有人討論過數(shù)字濾波器，但直到60年代中期，才開始形成關于數(shù)字濾波器的一整套完整的正規(guī)理論。在這一時期，提出了各種各樣的數(shù)字濾波器結構，有的以運算誤差最小為特點，有的則以運算速度高見長，而有的則二者兼而有之。出現(xiàn)了數(shù)字濾波器的各種通近訪法和實現(xiàn)方法，對遞歸和非遞歸兩類濾波器作了全面的比較，統(tǒng)一了數(shù)字濾波器的基本概念和理論。數(shù)字濾波器的領域的一個重要發(fā)展是對有限沖激響應(fir)和無限沖激響應(iir)關系的認識的轉化。在初期，一般認為iir濾波器比fir濾波器具有更高的運算效率，因而明顯的傾向前者，但當人們提出用快速傅立葉變換(fft)實現(xiàn)卷積

11、運算的概念之后，發(fā)現(xiàn)高階fir濾波器也可以用很高的運算效率來實現(xiàn)，這就促使人們對高性能fir濾波器的設計方法和濾波器的頻域設計方法進行了大量的研究，從而出現(xiàn)了此后數(shù)字濾波器設計中頻域方法和適于方法并駕齊驅的局面。然而，這些均屬數(shù)字濾波器的早期研究。早期的數(shù)字濾波器盡管在語音、聲納、地震和醫(yī)學的信號處理中曾經發(fā)揮過作用，但由于當時計算機主機的價格很昂貴，嚴重地阻礙了專用數(shù)字濾波器的發(fā)展。70年代科學技術的蓬勃發(fā)展，數(shù)字信號處理開始與大規(guī)模和超大規(guī)模集成電路技術、微處理技術、高速數(shù)字算術單元、雙極性高密度半導體存儲器、電荷轉移器件等新技術、新工藝結合了起來，并且引進了計算機輔助設計方法，它使數(shù)字濾

12、波器的設計不僅僅是對相應模擬濾波器的逼近。一般說來，通過對模擬濾波器函數(shù)的變換來設計數(shù)字濾波器，很難達到逼近任意頻率響應或沖激響應，而采用計算機輔助設計則有可能實現(xiàn)頻域或時域的最佳逼近，或頻域時域聯(lián)合最佳逼近。這樣，數(shù)字濾波器的分析與設計其內容也更既豐富起來，各種新的數(shù)字信號處理系統(tǒng)，也都能用專用數(shù)字硬件實時加以實現(xiàn)。數(shù)字信號處理理論與技術的發(fā)展，主要是由于電子計算機與大規(guī)模集成電路的大量生產和廣泛應用，替代了原來的模擬信號處理中的線性濾波與頻譜分析所應用的模擬計算機和分立元件l、c、r線性網絡，高度發(fā)揮了計算技術與數(shù)字技術相結合的特色和優(yōu)越性。特別是微處理器和微型計算機技術日新月異的發(fā)展，經

13、更有利于電子儀器與電子技術應用系統(tǒng)朝著數(shù)字化、小型化、自動化以及多功能等方向發(fā)展，促使它們成為富有智能型的電子系統(tǒng)?，F(xiàn)在，包括數(shù)字濾波在內的數(shù)字信號處理技術正以驚人的速度向縱深和高級的方向發(fā)展；據(jù)統(tǒng)計這種趨勢還要持續(xù)一個較長的時期，未來的發(fā)展可能會比過去的進程更為激動人心，必將引起某些領域的飛躍性發(fā)展。1.2 matlab 軟件簡介matlab是英文matrix laboratory (矩陣實驗室)的縮寫。它是由美國mathworks公司推出的用于數(shù)值計算和圖形處理的數(shù)學計算環(huán)境。在matlab環(huán)境下，用戶可以集成地進行程序設計、數(shù)值計算、圖形繪制、輸入輸出、文件管理等各項操作。它優(yōu)秀的數(shù)值計

14、算能力和卓越的數(shù)據(jù)可視化能力使其很快在同類軟件中脫穎而出。matlab系統(tǒng)最初是由cleve moler 用fortran語言設計的，現(xiàn)在的matlab程序是mathworks公司用c語言開發(fā)的。它的第一版(dos版本1.0)發(fā)行于1984年；經過20年的不斷改進，matlab已經成為國際上最流行的科學與工程計算的軟件工具，最流行的計算機高級編程語言了，有人稱它為“第四代”計算機語言，它在國內外高校和研究部門正扮演著重要的角色。matlab語言的功能也越來越強大，不斷適應新的要求提出新的解決方法?？梢灶A見，在科學運算、自動控制與科學繪圖領域matlab語言將長期保持其獨一無二的地位。matla

15、b語言之所以能如此迅速地普及，顯示出如此旺盛的生命力，是由于它有著不同其他語言的特點。1語言簡潔緊湊，使用方便靈活，庫函數(shù)極其豐富。matlab程序書寫形式自由，利用其豐富的庫函數(shù)避開了繁雜的子程序編程任務，壓縮了一切不必要的編纂工作。由于庫函數(shù)都是由本領域的專家編寫，所以用戶不必擔心函數(shù)的可靠性。2運算符號豐富。由于matlab是用c語言編寫的，所以matlab提供了c語言幾乎一樣多的運算符，靈活使用matlab的運算符將使程序變得極為簡短。3高效方便的矩陣和數(shù)組運算。matlab語言像basic、fortran、c語言一樣規(guī)定了矩陣的算術運算符、關系運算符、邏輯運算符、條件運算符及賦值運算

16、符，而且這些運算符大部分可以毫無改變地照搬到數(shù)組間的運算，另外，它不需要定義數(shù)組的唯數(shù)，并給出矩陣函數(shù)、特殊矩陣函數(shù)、特殊矩陣專門的庫函數(shù)，使之在求解諸如信號處理、建模、系統(tǒng)識別、控制、優(yōu)化等領域的問題時，顯得大為簡捷、高效、方便，這是其它高級語言所不能比擬的。在此基礎上，高版本的matlab已逐步發(fā)展到科學及工程計算的其它領域。因此，不久的將來，它一定能名副其實地成為“萬能演算紙式的”科學算法語言。4matlab即具有結構化的控制語句，又有面向對象編成的特性。5.語法限制不嚴格，程序設計自由度大。為了充分利用fortran、c等語言的資源，包括用戶已編好的fortran、c語言程序，通過建立

17、m文件的的形式，混合編程，方便地調用有關的fortran、c語言的子程序。6.程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各種型號的計算機和操作系統(tǒng)上運行。7.matlab的圖形功能強大。在c和fortran語言里，繪圖都很不容易，但在matlab里，數(shù)據(jù)的可視化非常簡單。此外，matlab還具有較強的編輯圖形界面的能力。8. matlab具有的一項重要特色是擁有功能強大的工具箱。matlab包含兩個部分；核心部分和各種可選的工具箱。功能性工具箱主要用來擴充其符號計算功能、圖示建模仿真功能、文字處理功能以及與硬件實施交互功能。功能性工具箱能用于多種學科。而學科性工具箱是專業(yè)性比較強的；如cont

18、rol toolbox、signal processing toolbox 、communication toolbox等，這些工具箱都是由該領域內的學術水平很高的專家編寫的，所以用戶無需編寫自己學科范圍內的基礎程序，而直接進行高、精、尖的研究。9.源程序的開放性。除內部函數(shù)以外，所有matlab的核心文件和工具箱文件都是可讀可改變的源文件，用戶可通過對源文件的修改以及加入自己的文件構成新的工具箱。matlab軟件自1984年推向市場以來，歷經十幾年的發(fā)展和競爭，現(xiàn)已成為(ieee評述)國際公認的最優(yōu)秀的科技應用軟件。它功能強大、界面友好、語言自然、開放性強的特點是它獲得了對應用學科(特別是邊

19、緣學科和交叉學科)的季強是盈利，并且很快成為應用學科計算機輔助分析、設計、仿真、教學乃至科技文字處理不可缺少的基礎軟件。在歐美等高校，matlab已成為理工科高級課程的基本工具，成為攻讀學位的大學生、碩士生、博士生必須掌握的技能。在設計研究單位和工業(yè)部門，matlab已經成為研究和解決各種具體工程問題的一種標準軟件。近年來該軟件系統(tǒng)開始在我國國內流行。受到理工科大中專院校釋省級科研人員的重視，這也是本文選擇用它來設計實現(xiàn)數(shù)學濾波器原因所在。1.3數(shù)字濾波器及其matlab實現(xiàn)數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理中最重要的組成部分之一。在許多科學技術領域中，廣泛使用濾波器對信號進行了處理。濾波器是一種選頻裝

20、置，它對某一個或幾個頻率范圍(頻帶)內的電信號給以很小的衰減：使這部分信號能夠順利通過，對其它頻帶內的電信號則給以很大的衰減，從而盡可能地阻止這部分信號的通過。通過濾波器時不經受衰減或經受很小的衰減的頻帶稱為通帶，經受的衰減超過某一規(guī)定值的頻帶稱為阻帶，位于通帶和阻帶之間的頻帶稱為過渡帶。于是，根據(jù)通帶的不同，濾波器可分為低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器等。此外，根據(jù)它所處理的信號型類，濾波器又可分為模擬濾波器和數(shù)字濾波器，模擬濾波器用來處理連續(xù)信號，而數(shù)字濾波器用來處理離散信號，后者是在前者基礎上發(fā)展起來的。數(shù)字濾波器與模擬濾波器比較，其主要優(yōu)點精度和穩(wěn)定性高，系統(tǒng)函數(shù)容易改變

21、，因而靈活性高，不存在阻抗匹配問題，便于大規(guī)模集成，可以實現(xiàn)多維濾波。因此，目前在諸如通信、雷達、遙感、聲納、衛(wèi)星通信、宇宙航行、測量、語言和生物醫(yī)學等科學領域的信號處理中，已經運用了數(shù)字濾波技術，而且隨著大規(guī)模集成電路技術和數(shù)字計算技術的發(fā)展，它的應用會越來越廣泛。 數(shù)字濾波器實際上就是一種數(shù)字信號處理系統(tǒng)的算法或設備。數(shù)字濾波器實際上是一種運算過程，數(shù)字濾波器的功能是將一組輸入的數(shù)字序列通過一定的運算后轉變?yōu)榱硪唤M輸出的數(shù)字序列，因此它本身就是一臺數(shù)字式的處理設備。數(shù)字濾波器的基本原理是：先利用取樣開關和模擬數(shù)字轉換器將一個聯(lián)系性的信號轉換成數(shù)字信號。在數(shù)字計算器中完成所要求的傳輸函數(shù)運算

22、之后，再通過數(shù)字模擬轉換器和保持電路，使信號形成最后要求的波形。 數(shù)字濾波器一般可用兩種方法實現(xiàn)：一種是根據(jù)描述數(shù)字濾波器的數(shù)字模型或信號流圖，用數(shù)字硬件裝配成一臺專門的設備，構成專用的信號處理機，這就是硬件實現(xiàn)方式；另一種方法就是直接利用通用計算機，將所需要的運算編成程序來讓計算機來執(zhí)行，這就是軟件實現(xiàn)方式。在硬件實現(xiàn)方式中，是一數(shù)字組件如延遲器、加法器和乘法器作為基本部件構成專用數(shù)字信號處理系統(tǒng)。不像模擬濾波器需要用電感和電容元件，因此數(shù)字信號處理機很容易用數(shù)字集成電路來制成，而且它的轉移函數(shù)可變，各回路之間不存在阻抗匹配問題，因此可以很容易做成最佳沖激響應和恒定延遲的線性相移網絡。在軟件

23、實現(xiàn)方式中，它是借助于通用計算機機器語言、匯編語言或高級語言程序來做數(shù)字濾波器的運算過程。 數(shù)字濾波器的設計與實現(xiàn)，通常按下屬步驟進行：首先，根據(jù)不同用途提出數(shù)字濾波器的技術指標，在設計一個濾波器前，必須由一些指標，這些指標要根據(jù)應用要求確定。然后，設計一個穩(wěn)定的、因果的數(shù)字模型h(z)來逼近所要求的技術指標；最后，設計專用的數(shù)字硬件來實現(xiàn)這個數(shù)字模型，或者用通用電子計算機來運行程序軟件予以實現(xiàn)。1.4 iir數(shù)字濾波器的基本概念這里所講的數(shù)字濾波器都是一個離散的lti系統(tǒng)，離散lti系統(tǒng)模型如圖1-1： 圖1-1注：x(n)、y(n)分別是系統(tǒng)的輸入輸出序列，h(e)是系統(tǒng)本身的特性(轉移算

24、子)。系統(tǒng)對于輸入的離散序列x(n)總有對應的輸出y(n)。x(n)是離散的信號,每個x(i)可能有不同的幅值,有了前后不同幅值的變化,就可以引出離散信號的頻率這一性質。數(shù)字濾波器就是對不同頻率的數(shù)字信號從頻域進行信號分離的時序電路或器件或一段程序。數(shù)字濾波器按功能分為低通、高通、帶通、帶阻、全通濾波器。 （1-1） （1-2）由序列傅氏變換公式可知，離散信號的傅氏變化是的函數(shù)，周期為2。只需研究-，不需要在整個軸上分析其信號。所以，數(shù)字濾波器的通帶分布如圖1-2：圖1-22. iir數(shù)字濾波器設計方法比較2.1 概述iir數(shù)字濾波器的最通用的方法是借助于模擬濾波器的設計方法。模擬濾波器設計已

25、經有了相當成熟的技術和方法，有完整的設計公式，還有比較完整的圖表可以查詢，因此設計數(shù)字濾波器可以充分利用這些豐富的資源來進行。對于iir數(shù)字濾波器的設計具體步驟如下：(1)按照一定的規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術指標轉換為模擬低通濾波器的技術指標。(2)根據(jù)轉換后的技術指標設計模擬低通濾波器g(s)(g(s)是低通濾波器的傳遞函數(shù))。(3)再按照一定的規(guī)則將g(s)轉換成h(z)(h(z)是數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù))。若設計的數(shù)字濾波器是低通的，上述的過程可以結束，若設計的是高通、帶通或者是帶阻濾波器，那么還需要下面的步驟：將高通、帶通或帶阻數(shù)字濾波器的技術指標轉換為低通模擬濾波器的技術指標，然后設

26、計出低通g(s)，再將g(s)轉換為h(z)。matlab信號工具箱提供了幾個直接設計iir數(shù)字濾波器的函數(shù)，直接調用這些函數(shù)就可以很方便地對濾波器進行設計。這里選取巴特沃斯法、切比雪夫i、切比雪夫、橢圓法四種方法進行比較。給出用上述方法設計數(shù)字濾波器的函數(shù)如下：其中：wp表示通帶截止頻率；ws表示阻帶截止頻率；rp表示通帶紋波系數(shù)；rs表示阻帶紋波系數(shù)；n表示濾波器最小階數(shù)；wn表示截止頻率。b，a分別表示階次為n+1的數(shù)字濾波器系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子和分母多項式系數(shù)向量；fs為采樣頻率；n為在區(qū)間o fs頻率范圍內選取的頻率點數(shù)；f記錄頻率點數(shù)。n取2的冪次方，可以提高運算的速度，因為freq

27、z函數(shù)采用基2的fft算法。ftype=high時，為高通濾波器；ftype=bandpass時，為帶通濾波器；ftype=stop時，為帶阻濾波器。2.2四種設計方法比較(1)在低通濾波器中的比較假如：wp=20 hz，ws=50 hz，fs=200，rp=1 db，rs=30 db，分別用butterworth低通濾波器、chebyshev i型低通濾波器、chebyshev型低通濾波器、橢圓低通濾波器四種方法進行設計，如圖1所示。(2)在高通濾波器中的比較假如：wp=50 hz，ws=20 hz，fs=200，rp=1 db，rs=30 db，分別用butterworth高通濾波器、ch

28、ebyshev i型高通濾波器、chebyshev型高通濾波器、橢圓高通濾波器四種方法進行設計，如圖2所示。(3)在帶通濾波器中的比較假如：wp=100，200，ws=50，250，rp=3 db，rs=30 db，fs=1 000，分別用butterworth帶通濾波器、chebyshev i型帶通濾波器、chebyshev型帶通濾波器、橢圓帶通濾波器四種方法進行設計，如圖3所示。(4)在帶阻濾波器中比較假如：wp=100，200，ws=50，250，rp=3 db，rs=30 db，fs=1 000，分別用butterworth帶阻濾波器、chebyshev i型帶阻濾波器、chebysh

29、ev型帶阻濾波器、橢圓帶阻濾波器四種方法進行設計，如圖4所示。2.3 比較結果分析通過對各種類型的濾波器通過不同的方法進行設計，可以使一些結論得到驗證。利用butterworth濾波器、chebysheve i型濾波器、che-bysheve型濾波器、橢圓濾波器都可以進行低通、高通、帶通、帶阻濾波器的設計，但是各有特點。butterworth濾波器通帶內的幅頻響應曲線能得到最大限度的平滑，但犧牲了截止頻率的坡度。chebysheve i型濾波器通帶內等波紋，阻帶內單調；chebysheve型濾波器通帶內單調，然而阻帶內等波紋；橢圓濾波器阻帶和通帶內都是等波紋的，但下降的坡度更大，而且可以以更低

30、的階數(shù)實現(xiàn)和其他兩類濾波器一樣的性能指標。3. iir數(shù)字濾波器的設計過程及方法1、按設計任務，確定濾波器性能要求，制定技術指標2、用一個因果穩(wěn)定的離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)h(z)逼近此性能指標3、利用有限精度算法實現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)：如運算結構、字長的選擇等4、實際技術實現(xiàn)：軟件法、硬件法或dsp芯片法iir數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是z的有理函數(shù)，可表示為： （3-1）系統(tǒng)函數(shù)的設計就是要確定系數(shù)或者零、極點，以使濾波器滿足給定的性能要求。這種設計一般有3種方法。1、零極點位置累試法。當濾波器性能未達到要求時，通過多次改變零極點的位置來達到要求。此方法只適用于簡單濾波器。2、用模擬濾波器理論來設計數(shù)字濾波器

31、。在iir數(shù)字濾波器的設計中較多的采用這種方法。本節(jié)將詳細介紹這種方法。用計算機輔助設計，優(yōu)化技術設計。4.iir數(shù)字濾波器的實現(xiàn)方法4.1脈沖響應不變法要設計一個數(shù)字濾波器去仿真一個模擬濾波器有脈沖響應不變法和雙線性變換法。其設計過程都是由給定的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)去變換出相應的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。脈沖響應不變法的設計過程如下：1、 已知一模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)： (設mn) （4-1）2、 為方便求出其時域的單位脈沖響應，將上式化為部分分式之和的形式： （4-2）3、 由拉氏反變換得模擬濾波器在時域的單位脈沖響應：4、 由時域的數(shù)字仿真條件(即脈沖響應不變準則)可得到相應的數(shù)字濾波器的脈沖響

32、應： (4-3)5、再對兩邊進行z變換，即可得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)： (4-4) 用脈沖響應不變法來設計數(shù)字濾波器，只需將給出的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)化為部分分式之和的形式，找出極點和系數(shù)，帶入數(shù)字濾波器傳函當中即可。 （4-5）由上述和的表達式可看出：是模擬濾波器的一個極點，則相應的就是數(shù)字濾波器里的一個極點。推而廣之，則可得到脈沖響應不變法下的s平面和z平面的映射關系：令，可得z平面的模、幅角和s平面的實部、虛部之間的關系： ， 圖4-1由的周期是2可推得的周期是2/t。注意,由的周期性可見,必須滿足模擬濾波器的最高頻率或頻率響應必須在-/t, /t上嚴格限帶的。4.2雙線性變換法雙線性變

33、換法的思想是：將模擬濾波器的傳遞函數(shù)形式化為完全以積分器（1/s）構成的網絡函數(shù)形式。然后由數(shù)字網絡來代替模擬積分器，從而整個濾波器網絡都轉化成了數(shù)字的。雙線性變換法的設計過程如下：1.由積分器構成的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)形式： （設m=n以方便說明） （4-6）2.由傳遞函數(shù)得信流圖：圖4-24. 積分器的數(shù)字形式推導已知：，若積分器的輸入輸出為、，則有： （4-7）設有0,可得： （4-8）當趨于時，可得： （4-9）令=nt-t，=nt，即，則t0時，有下式成立： （4-10）令y(n)=(nt),x(n)=(nt),得到數(shù)字式積分器的差分方程： （4-11）對數(shù)字式積分器的差分方程兩邊進

34、行z變換，可得數(shù)字式積分器的傳遞函數(shù)： （4-12）4.當t足夠小的時候，信流圖當中的模擬積分器傳遞函數(shù)就可以由數(shù)字積分器傳遞函數(shù)代替。從而得到性能與模擬濾波器相近數(shù)字濾波器。 （4-13）5.從而可得到模擬濾波器的復頻率與數(shù)字濾波器的復頻率之間的關系： 或 （4-14）所以，用雙線性變換法來設計數(shù)字濾波器，只需將給出的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)當中的s替換為一個關于z成雙線性關系的網絡即可。 （4-15）6.令s=+j,z=r可得z平面與s平面的映射關系： （4-16）即：圖4-3討論s平面的虛軸與z平面的單位圓之間的映射關系，令=0可得到雙線性變換法下模擬濾波器的角頻率與數(shù)字濾波器的角頻率之間的

35、關系： 或 （4-17）由關系式可知與之間的非線性關系如圖：圖4-4從而使所設計的數(shù)字濾波器的截止頻率發(fā)生變化。設計當中應式子：把已經得到的數(shù)字濾波器截止頻率預先變換為。4.2.1巴特沃斯低通濾波器的設計巴特沃斯濾波器，又被稱為“最平”的幅頻響應濾波器。這是因為，該濾波器在通帶內具有最大平坦的幅度特性，而且隨著頻率升高呈現(xiàn)出單調減小的特點。n階低通巴特沃斯濾波器的特性函數(shù)為 （4-18）其中，為通帶寬度，即截止頻率。當階次n增大時，濾波器的特性曲線變得更加陡峭，其特性就越接近于理想的矩形幅頻特性。巴特沃斯濾波器屬于全極點設計，它的極點由下式決定。 （4-19）式中，。所以，在s平面上有2n個極

36、點等間隔地分布在半徑為的圓周上，并且極點都是成復共軛對出現(xiàn)，極點位置與虛軸對稱，但不在虛軸上。下面結合一個具體的實例，來說明巴特沃斯濾波器的設計過程。例：設計一個性能指標為：通帶的截止頻率=10000rad/s，通帶的最大衰減=3db，阻帶的截止頻率=40000rad/s,阻帶的最小衰減=35db的巴特沃斯濾波器。解：（1）求相關參數(shù) （2）確定參數(shù)n （3）取n=3，根據(jù) 得到 所以，的極點形式可表示為 即滿足系統(tǒng)性能指標的函數(shù) 程序： wc=10000; ws=40000; ap=3; as=35; np=spt(10(0.1*ap)-1); ns=sprt(10(0.1*as)-1);

37、n=ceil(log10(ns/np)/log10(ws/wc); z,p,k=buttap(n); syms rad; hs1=k/(i*rad/wc-p(1)/(i*rad/wc-p(2)/(i*rad/wc-p(3); hs2=10*log10(abs(hs1)2); ezplot(hs2,-60000,60000);4.2.2切比雪夫低通濾波器的設計切比雪夫濾波器的振幅特性就具有這種等波紋特性。它有兩種形式：切比雪夫i型濾波器，即振幅特性在通帶內是等波紋的，在阻帶內是單調的；切比雪夫ii型濾波器，即振幅特性在阻帶內是等波紋的，在通帶內是單調的。下面主要介紹切比雪夫i型濾波器的設計原理。

38、切比雪夫i型濾波器的幅度平方函數(shù)為： (4-20）其中，表示通帶內振幅波動的程度，它為一個小于1的正數(shù)，其值越大波動就越大。為通帶寬度，也是截止頻率。是切比雪夫多項式，定義為： （4-21）切比雪夫多項式的遞推公式為: （4-22） 通過上面的介紹，可以看出確定切比雪夫濾波器需要3個參數(shù)：、和n。（1）的確定通帶波紋定義為 （4-23） 而又由于所以得到 即 （4-24）（2）n的確定階數(shù)n等于通帶內最大和最小值個數(shù)的總和。如果n是奇數(shù)，則在=0處有一最大值，如果n為偶數(shù)，則在=0處有一最小值。令阻帶的截止頻率為，阻帶的容許衰減為，則 （4-25）又因為，所以 （4-26）所以，化簡后得到 （

39、4-27）又由于 所以濾波器的階數(shù)n為 n （4-28）這樣，、和n的數(shù)值確定以后，就可以求出濾波器的極點，并確定了。（3）濾波器系統(tǒng)函數(shù)極點的確定濾波器系統(tǒng)函數(shù)的極點由下式確定： （4-29）可解得： 其中， 由此可見，濾波器的極點分布在一個橢圓的圓周上。求得濾波器系統(tǒng)函數(shù)的極點后，即可求出切比雪夫i型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： （4-30）而切比雪夫ii型濾波器的幅度平方函數(shù)為： （4-31）cheb1ap 函數(shù)：設計切比雪夫i型濾波器調用方式：z,p,k=cheb1ap(n,rp):返回設計的切比雪夫i型濾波器的零點、極點和增益。n為濾波器的階數(shù)。另一個輸入參數(shù)rp為濾波器在通帶內的最大衰減值

40、。例：設計一個在阻帶內的最大衰減為0。05db的5階切比雪夫i型低通模擬濾波器原型。程序： n=5; rp=0.05; z,p,k=cheb1ap(n,rp); b,a=zp2tf(z,p,k); w=logspace(-1,1); freqs(b,a);運行結果：z=p=-0.1913+1.1185i-0.5008+0.6913i-0.6190+0.0000i-0.5008-0.6913i-0.1913-1.1185ik=0.5808cheb2ap函數(shù)：設計切比雪夫ii型濾波器調用方式： z,p,k=cheb2ap(n,rs):輸出參數(shù)z、p和k分別返回設計的切比雪夫ii型濾波器的零點、極點

41、和增益。輸入參數(shù)n為濾波器的階數(shù)。另一個輸入參數(shù)rs為濾波器在阻帶內的最小衰減值。例：設計一個在阻帶內的最小衰減為60db的3階切比雪夫ii型低通模擬濾波器原型。程序：n=3;rs=60;z,p,k=cheb2ap(n,rs);b,a=zp2tf(z,p,k);w=logspace(-1,1);freqs(b,a);運行結果：z=0+1.1547i0-1.1547ip=-0.0784-0.1375i-0.1597-0.0000i-0.0784+0.1375ik=0.00305.各種設計方法的matlab實現(xiàn)5.1 基于模擬低通濾波器原型的matlab實現(xiàn)%通過模擬低通原型濾波器進行數(shù)字帶通設計

42、程序：fp=480 %模擬低通通帶上限頻率fs=520 %模擬低通阻帶下限頻率wp=2*pi*fp %模擬低通通帶上限角頻率ws=2*pi*fs %模擬低通阻帶下限角頻率rp=3 %通帶波動rs=20 %阻帶衰減%巴特沃斯模擬低通原型濾波器設計n,wn=buttord(wp,ws,rp,rs,s)z,p,k=buttap(n) %模擬低通原型零、極點系數(shù)b1,a1=zp2tf(z,p,k) %零、極點系數(shù)轉換為傳遞函數(shù)%巴特沃斯模擬低通原型濾波器頻率響應h1,w1=freqs(b1,a1)mag1=abs(h1)%模擬低通原型濾波器幅頻特性曲線subplot(221);semilogx(w1,

43、mag1)fw=40 %模擬帶通濾波器帶寬頻率bw=2*pi*fw %模擬帶通濾波器帶寬角頻率%由模擬低通原型轉變?yōu)槟M帶通濾波器b2,a2=1p2bp(b1,a1,wn,bw) %模擬帶通濾波函數(shù)%巴特沃斯模擬帶通濾波器頻率響應h2,w2=freqs(b2,a2)mag2=abs(h2)%模擬帶通濾波器幅頻特性曲線（db）subplot(222);plot(20*log10(mag2)%沖擊響應不變法進行離散化設計fo=2000 %采樣頻率bz,az=impinvar(b2,a2,2000) %數(shù)字帶通濾波函數(shù)系數(shù)%巴特沃斯數(shù)字帶通濾波器頻率響應hz,w=freqz(bz,az)magz=a

44、bs(hz)phz=unwrap(angle(hz)subplot(223);plot(magz) %數(shù)字帶通濾波器幅頻特性曲線subplot(224);plot(phz) %數(shù)字帶通濾波器相頻特性曲線5.2 基于合適類型模擬濾波器的matlab實現(xiàn)%通過合適類型模擬濾波器進行數(shù)字帶通設計程序：fp=480,520:fs=450,550 %模擬通帶、阻帶頻率wp=480,520*pi*2 %模擬通帶角頻率ws=450,550*pi*2 %模擬阻帶角頻率rp=3;rs=20 %通帶波動、阻帶衰減%巴特沃斯模擬帶通濾波器設計n,wn=buttord(wp,ws,rp,rs,s)b,a=butter

45、(n,wn,s) %模擬帶通濾波函數(shù)系數(shù)%巴特沃斯模擬帶通濾波器頻率響應ha,w=freqs(b,a)ma=abs(ha);pha=unwrap(angle(ha)subplot(421);plot(w/(2*pi),ma) %模擬幅頻曲線subplot(431);plot(w/(2*pi),pha) %模擬相頻曲線%沖擊響應不變法進行離散化設計fo=5000 %采樣頻率bn,an=impinvar(b,a,5000) %數(shù)字帶通濾波函數(shù)系數(shù)%巴特沃斯數(shù)字帶通濾波器頻率響應hz,w=freqz(bn,an)mz=abs(hz);phz=unwrap(angle(hz)subplot(422);

46、plot(w,mz) %數(shù)字濾波器幅頻曲線subplot(424);plot(w,phz) %數(shù)字濾波器相頻曲線hi=impz(bn,an) %數(shù)字濾波器沖擊響應subplot(425),plot(hi) %沖擊響應曲線n=0:300;t=n/fox1=2*square(2*pi*500*t) %500hz方波波形yi=conv(hi,x1) %時域卷積輸出subplot(427);plot(yi) %卷積輸出波形y1=filter(bn,an,x1) %數(shù)字濾波函數(shù)輸出subplot(428);plot(y1) %數(shù)字濾波器輸出波形5.3 基于直接原型變換法的matlab實現(xiàn)%數(shù)字帶通濾波器直接設計程序