第20章 貝塞爾函數(shù) 柱函數(shù)

1、 在用在用分離變量法分離變量法一章介紹了拉普拉斯方程在柱坐標(biāo)系下一章介紹了拉普拉斯方程在柱坐標(biāo)系下 分離變量得到了一種特殊類型的常微分方程分離變量得到了一種特殊類型的常微分方程:貝塞爾方程貝塞爾方程 第二十章第二十章 貝塞爾函數(shù)貝塞爾函數(shù) 柱函數(shù)柱函數(shù) 通過冪級數(shù)解法得到了另一類特殊函數(shù)，稱為通過冪級數(shù)解法得到了另一類特殊函數(shù)，稱為貝塞爾函貝塞爾函 數(shù)數(shù) 貝塞爾函數(shù)具有一系列性質(zhì)，在求解數(shù)學(xué)物理問題時主貝塞爾函數(shù)具有一系列性質(zhì)，在求解數(shù)學(xué)物理問題時主 要是引用貝塞爾函數(shù)的要是引用貝塞爾函數(shù)的正交完備性正交完備性 20.1 貝塞爾方程及其解貝塞爾方程及其解 20.1.1 貝塞爾方程貝塞爾方程 拉

2、普拉斯方程在柱坐標(biāo)系下的分離變量得出了一般的拉普拉斯方程在柱坐標(biāo)系下的分離變量得出了一般的 貝塞爾方程。貝塞爾方程。 考慮固定邊界的考慮固定邊界的圓膜振動圓膜振動，可以歸結(jié)為下述定解問題，可以歸結(jié)為下述定解問題 222 2222 0 0 () (0,0) |0 (0) ( , , )|( , ) ( , , )|( , ) ttxxyy xyl t tt ua uuxylt ut u x y tx y u x y tx y （20.1.1） 其中其中l(wèi)為為已知正數(shù)已知正數(shù)， ( , ),( , )x yx y 為為已知函數(shù)已知函數(shù) 這個定解問題宜于使用這個定解問題宜于使用柱坐標(biāo)柱坐標(biāo)，從而構(gòu)成

3、，從而構(gòu)成柱面柱面問題問題 （由于是二維問題，即（由于是二維問題，即退化為極坐標(biāo)退化為極坐標(biāo)） 設(shè)設(shè)( , , )( , , )() ( , )u x ytutT tU 對泛定方程對泛定方程分離變量分離變量（?。ㄈ?2 k）得）得 22 0Tka T （20.1.2） 2 2 11 0 |0 l UUUk U U （20.1.3） 再再令令 ( , )( ) ( )UR ，得到得到 2 0 (20.1.4) 22 22 ()0RRkR （20.1.5） 令令 , ( )( )kxRyx 于是于是(20.1.5)得到得到 2 222 2 dd ()0 dd yy xxxy xx （20.1.6）

4、 邊界條件為邊界條件為 ()|( )0 l y ky kl 方程（方程（20.1.6）稱為）稱為階貝塞爾微分方程階貝塞爾微分方程這里這里 x 和和 可以為任意數(shù)可以為任意數(shù) 20.1.2 貝塞爾方程的解貝塞爾方程的解 通過數(shù)學(xué)物理方程的通過數(shù)學(xué)物理方程的冪級數(shù)求解方法冪級數(shù)求解方法可以得出結(jié)論可以得出結(jié)論： （1）當(dāng)）當(dāng)整數(shù)時，貝塞爾方程 整數(shù)時，貝塞爾方程(20.1.6)的的通解通解為為 ( )J ( )J ( )y xAxBx （20.1.7） 其中其中 ,A B為任意常數(shù)，為任意常數(shù)， J ( )x 定義為定義為階階第一類貝塞爾函數(shù)第一類貝塞爾函數(shù) 但是當(dāng)?shù)钱?dāng) n整數(shù)整數(shù)時，有時，有

5、J( )( 1) J ( ) n nn xx 故上述解中的故上述解中的 J( ) n x 與 J ( ) n x 是是線性相關(guān)線性相關(guān)的，所以的，所以(20.1.7)成為通解必須是成為通解必須是 整數(shù)整數(shù). （2）當(dāng)）當(dāng) 取任意值取任意值時：時： 定義定義第二類貝塞爾函數(shù)第二類貝塞爾函數(shù) N ( ) x ，這樣這樣貝塞爾方程的通解貝塞爾方程的通解可表示為可表示為 ( )J ( )N ( )y xAxBx （20.1.8） (3) 當(dāng)當(dāng) 取任意值取任意值時時： 由第一、二類貝塞爾函數(shù)還可以構(gòu)成線性獨立的由第一、二類貝塞爾函數(shù)還可以構(gòu)成線性獨立的 第三類貝塞爾函數(shù)第三類貝塞爾函數(shù) H ( )x ，

6、又稱為漢克爾函數(shù)又稱為漢克爾函數(shù) (1) (2) H ( )J ( )iN ( ) H( )J ( )iN ( ) xxx xxx （20.1.9） 分別將分別將 (1)(2) H ,H 稱為稱為第一種和第二種漢克爾函數(shù)第一種和第二種漢克爾函數(shù) 于是于是貝塞爾方程的通解貝塞爾方程的通解又可以表示為又可以表示為 (1)(2) (H( )H( )y xAxBx （20.1.10） 最后，總結(jié)最后，總結(jié) 階貝塞爾方程的通解通常有下列階貝塞爾方程的通解通常有下列三種形式三種形式： （i） ( )J ( )J( ) (y xAxBx 整數(shù)） （ii） ( )J ( )N ( ) (y xAxBx 可以取

7、任意數(shù)） （iii） (1)(2) ( )H ( )H( ) (y xAxBx 可以取任意數(shù)） 20.2 三類貝塞爾函數(shù)的表示式及性質(zhì)三類貝塞爾函數(shù)的表示式及性質(zhì) 20.2.1 第一類貝塞爾函數(shù)第一類貝塞爾函數(shù)的表示式的表示式 第一類貝塞爾函數(shù)第一類貝塞爾函數(shù)J ( ) x 的級數(shù)表示式為的級數(shù)表示式為 2 0 2 0 1 J ( )( 1)( ) ! (1) 2 1 J( )( 1)( ) ! (1) 2 kk k kk k x x kk x x kk （20.2.1） 式中 ( )x 是是伽馬函數(shù)伽馬函數(shù)滿足關(guān)系滿足關(guān)系 (1)()(1)(2)(1) (1)kkk 當(dāng)當(dāng) 為為正整數(shù)或零時正

8、整數(shù)或零時，(1)()!kk 當(dāng)當(dāng) 取取整數(shù)整數(shù)時時 (1),(0,1,2,1)kk 所以當(dāng)所以當(dāng) n 整數(shù)時，上述的級數(shù)實際上是從整數(shù)時，上述的級數(shù)實際上是從kn 的項開始，即的項開始，即 2 0 1 J ( )( 1)( ), (0) !()! 2 knk n k x xn k nk (20.2.2) 而而 2 2 0 1 J( )( 1)( ) ! (1) 2 1 ( 1)( 1)( ), () ! (1) 2 knk n k n nlnl l x x knk x lkn lnl (20.2.3) 所以所以 J()(1) J () n nn xx （20.2.4） 同理可證同理可證 J(

9、 )J () nn xx （20.2.5） 因此有因此有重要關(guān)系重要關(guān)系 J ( )( 1) J ( ) n nn xx （20.2.6） 可得幾個典型的可得幾個典型的貝塞爾函數(shù)表示式貝塞爾函數(shù)表示式 246 0 22 35 1 11 J ( )1()()() 2(2!)2(3!)2 11 J ( )()() 22! 22!3! 2 xxx x xxx x 當(dāng)當(dāng)x很小時很小時(0)x ，保留級數(shù)中保留級數(shù)中前幾項前幾項，可得，可得 1 J ( )( ), (1, 2, 3,) 2(1) x x （20.2.7） 特別是特別是 0 J (0)1,J (0)0 ( =1,2,3,) n n (20

10、.2.8) 當(dāng)當(dāng)x很大時很大時 3 2 2 J ( )cos()() 42 xxo x x （20.2.9） 例例20.2.1 試證半奇階貝塞爾函數(shù)試證半奇階貝塞爾函數(shù) 1 2 2 J()sin xx x 證明：由公式證明：由公式(20.2.1)有有 而而 1 31 3 5(21) () 22k k k 故故 1 2 21 0 2( 1) J ( ) (21)! k k k xx xk 2 sin x x 同理可證同理可證 1 2 2 J( )cos xx x 1 21 2 1 2 2 2 0 J ( )( 1) 1 2! (1) 2 k k k k x x kk 20.3 貝塞爾函數(shù)的基本性

11、質(zhì)貝塞爾函數(shù)的基本性質(zhì) 20.3.1 貝塞爾函數(shù)的遞推公式貝塞爾函數(shù)的遞推公式 由貝塞爾函數(shù)的級數(shù)表達式（由貝塞爾函數(shù)的級數(shù)表達式（20.2.1）容易推出）容易推出 1 J ( )J( )d d v v xx xxx (20.3.1) 1 d J ( )J( ) d vv vv xxxx x (20.3.2) 以上兩式都是貝塞爾函數(shù)的以上兩式都是貝塞爾函數(shù)的線性關(guān)系式線性關(guān)系式. 諾伊曼函數(shù)諾伊曼函數(shù)N( ) v x 和漢克爾函數(shù)漢克爾函數(shù)也應(yīng)該滿足上述遞推關(guān)系也應(yīng)該滿足上述遞推關(guān)系 若用若用( ) v Zx代表代表 v 階的階的第一或第二或第三類函數(shù)第一或第二或第三類函數(shù),總是有總是有 1

12、d ( )( ) d vv vv x Zxx Zx x (20.3.3) 1 d ( )( ) d vv vv x Zxx Zx x (20.3.4) 把把兩式左端展開兩式左端展開, 又可改寫為又可改寫為 1 ()()() vv v ZxZxZx x (20.3.5) 1 ( )( ) vv v ZZxZx x (20.3.6) 從從(20.3.5)和和(20.3.6)消去消去Z或消去或消去Z 可得可得 11 ( )( )2( ) vvv ZxZxZx 11 2 ( )( )( ) vvv v ZxZxZx x 即為從即為從)( 1 xZ v 和和)(xZ v 推算推算)( 1 xZv 的的遞

13、推公式遞推公式. 上式也可以寫成為上式也可以寫成為 11 ( )( )2( ) vvv v ZxZxZ x x （20.3.7） 11 ( )( )2( ) vv ZxZxZ x （20.3.8） 任一滿足一組遞推關(guān)系的函數(shù)任一滿足一組遞推關(guān)系的函數(shù))(xZv統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為柱函數(shù)柱函數(shù) 例例20.3.1 證明柱函數(shù)滿足貝塞爾方程證明柱函數(shù)滿足貝塞爾方程 【證明】【證明】 以滿足以滿足 （20.3.7）和）和 （20.3.8）這一組）這一組遞推公式遞推公式來進行證明來進行證明： 將將 (20.3.7)與（與（20.3.8）相加或相減相加或相減消去消去 1 Z 或或 1 Z 分別得到分別得到 1 (

14、 )( )( )ZxZxZx x (20.3.9) 1( ) ( )( )ZxZxZx x （20.3.10） 將將(20.3.9) 式中的式中的換成換成 1 ，得到得到 11 1 ( )( )( )ZxZxZx x （20.3.11） 將將 （20.3.10）代入上式，立即得到）代入上式，立即得到 ( )Zx 滿足滿足階階貝塞爾方程貝塞爾方程 例例 20.3.2 求求 2 J ( )dxxx 【解【解】 根據(jù)公式根據(jù)公式 (20.3.8)(20.3.8) 11 ( )( )2( ) vv ZxZxZx 有有 201 J ( )J ( ) 2J ( )xxx 201111 11010 J (

15、)dJ ( )d2 J ( )dJ ( ) 2 J ( )J ( )d J ( ) 2 J ( )J ( )d J ( ) 2J ( ) xx xxx xxx x xxxxx x xxxxx xxxxc 例例 20.3.3 證明下式成立證明下式成立 11 1 0 J ( )dJ( ) x mm mm xx xxx (20.3.17) 特別是特別是 22 12 0 J ( )dJ ( ) x xx xxx (20.3.18) 【證明證明】利用遞推公式遞推公式(20.3.2) 即 1 d J ( )J( ) d vv vv xxxx x ，令令1m 則則 兩邊積分兩邊積分，故得到，故得到 11 1

16、 d J( )J ( ) d mm mm xxxx x 11 1 0 J( )J( )d x mm mm xxxxx 1m其中取其中取 ，即為（即為（22.3.18）式）式。 20.3.2 貝塞爾函數(shù)與本征問題貝塞爾函數(shù)與本征問題 拉普拉斯方程在拉普拉斯方程在柱坐標(biāo)柱坐標(biāo)系下的系下的分離變量分離變量，得到了方程，得到了方程(14.6.7) 即即 22 22 d1 d ()0 dd RR R （20.3.19） 在自然周期邊界條件下在自然周期邊界條件下，m 取整數(shù)，取整數(shù)，其它情況下其它情況下 可取可取任意復(fù)數(shù)任意復(fù)數(shù) 對另一本征值對另一本征值分三種情況分三種情況： 0 ， 0 和和0 進行討論

17、進行討論： （）（）0 方程（方程（20.3.19）是）是歐拉方程歐拉方程； （）（） 0 作代換作代換 x ，則得到，則得到 2 222 2 dd 0 () dd RR xxxRx xx （20.3.21） 即為即為 階階貝塞爾貝塞爾(Bessel)方程方程 （）（）0記記 2 0k ，以以 2 k 代入，并作代換代入，并作代換 xk 則方程化為則方程化為 2 222 2 dd 0 dd RR xxxR xx (20.3.22) 這叫作這叫作虛宗量貝塞爾方程虛宗量貝塞爾方程如把貝塞爾方程（如把貝塞爾方程（20.3.22）的）的宗量宗量 x 改成虛數(shù)改成虛數(shù)ix，就就 成了方程成了方程（20.

18、3.21） 貝塞爾方程本征值問題貝塞爾方程本征值問題（即本征值（即本征值0的情況）：的情況）： 1. 第一類邊界條件的貝塞爾方程本征值問題第一類邊界條件的貝塞爾方程本征值問題 2 2 0 2 0 1 dd () ( )0 (0) dd ()0 |(0)| R kR RRM (20.3.23) 根據(jù)圓柱的根據(jù)圓柱的周期性邊界條件周期性邊界條件()(2+) ，則方程（，則方程（20.3.23）中的）中的0,1,2,3,m 上述方程上述方程(20.3.23)可進一步化為施可進一步化為施劉型本征值問題的形式劉型本征值問題的形式 2 2 0 0 dd ()( )0 (0) dd ()0 | (0)| R

19、m R kR RRM (20.3.24) 相應(yīng)于相應(yīng)于施劉型方程施劉型方程中的中的 2 2 ( ), ( ), ( ), m k xxq xxxk x 故施劉型本征值問題的結(jié)論對于故施劉型本征值問題的結(jié)論對于貝塞爾方程的本征值問題貝塞爾方程的本征值問題也也 成立成立 貝塞爾方程貝塞爾方程(20.3.24)的通解的通解為為 ( )J ()N () mm RAB (20.3.25) 若用若用 ()m n x表征表征 J ( )0 m x 的第的第n個正根，于是個正根，于是本征值本征值 () ()()() 22 0 (1,2,3,) m mmm n nnn x kn (20.3.26) 代入邊界條件

20、決定本征值及本征函數(shù)代入邊界條件決定本征值及本征函數(shù)因為因為 (0)RM 故故 0B 又又 0 ()0R ，要，要0A ，則，則必須必須 0 J()0 m k 則則 J()0 m x 就是就是決定本征值的方程決定本征值的方程. 施劉型本征值問題的結(jié)論施劉型本征值問題的結(jié)論 (1) 本征值本征值存在，且都是非負的實數(shù)存在，且都是非負的實數(shù)； 12n (2) 本征值可編成本征值可編成單調(diào)遞增單調(diào)遞增的序列的序列 本征值本征值 即即 ()()() 222 12 000 ()()() mmm n xxx (20.3.27) 本征函數(shù)本征函數(shù) ()()() 12 000 J (),J (),J (),

21、mmm n mmm xxx (20.3.28) ()()2 mm nn k () J() m mn k 且本征函數(shù)且本征函數(shù) () J() m mn k 在在 0 0, 區(qū)間上有區(qū)間上有 (1)n個個零點零點 即即 ()()() 112 000 ()()() , mmm n mmm nnn xxx xxx 0 ,，則則貝塞爾函數(shù)有無窮個零點貝塞爾函數(shù)有無窮個零點 J ( ) m x的的零點零點與與 的的零點零點是彼此相間分布的，即是彼此相間分布的，即 1 J( ) m x J ( ) m x 的任意兩個的任意兩個相鄰零點相鄰零點之間必有且僅有一個之間必有且僅有一個 1 J( ) m x 1 J

22、( ) m x 的的零點零點 ()m n x表示表示 J ( ) m x 的第的第n個正零點，則個正零點，則 ()() 1 lim mm nn n xx ，即即 J ( ) m x幾乎是以幾乎是以2 為周期的為周期的周期函數(shù)周期函數(shù) () 246 12 (1) 83(4 )15(4 )105(4 ) m n BCDE xA AAAA 22 1 (2 ) ,4 ,731 ,839823779 22 AmnBm CBDBB 32 694915385515857436277237EBBB 0 ()0R 這個條件就是這個條件就是 0 0 d J ()J ()0 d mm kkk （20.3.30） 0

23、k ，則，則本征值本征值 ()()2 0 (/) mm nn x (20.3.31) 其中其中 ()m n x是是 J ( ) m x 的第的第n個零點個零點. J ( ) m x的零點在一般的數(shù)學(xué)用表中并未列出的零點在一般的數(shù)學(xué)用表中并未列出. 0m 的的特例特例還是容易得到的：還是容易得到的： 由公式由公式(20.3.12)得到得到 01 J()J ()xx 0 J ( ) x 的的零點零點不過就是不過就是 1 J ( ) x 的的零點零點，可從許多數(shù)學(xué)用表中查出，可從許多數(shù)學(xué)用表中查出 0m 的情況的情況, J ( ) m x的零點的零點 ()m n x 可以利用可以利用遞推公式遞推公式

24、(20.3.8) 11 1 J()J()J() 2 mmm xxx 這樣這樣 J ( ) m x的零點可從曲線的零點可從曲線 1 J( ) m x 和和 1 J( ) m x 的交點得出的交點得出 0m J ( ) m x的情況的情況, 的零點的零點 ()m n x 還可以用還可以用下面的公式計算下面的公式計算： ()m n x 35 3 86(4 )15(4 ) BCD A AAA 22 32 1 (2 ),4,7829 22 83207530393537 AmnBm CBB DBBB .0)()( 00 RHR ()()() 00 J ()J ()0 mmm mnnmn kHkk 記記 (

25、) 000 , /, m n xkhH 并引用（并引用（20.3.5）可將上式改寫為）可將上式改寫為 0 010 J()J() mm x xx hm 所以本征值所以本征值 ()()2 0 (/) mm nn x ()m n x 20.3.3貝塞爾函數(shù)正交性和模貝塞爾函數(shù)正交性和模 1正交性正交性 對應(yīng)不同本征值的本征函數(shù)分別滿足對應(yīng)不同本征值的本征函數(shù)分別滿足 2 () 2() 2 dJd J ()0 dd mm m imi m kk (20.3.34) 2 ()2() 2 dJd J ()0 dd mm m jmj m kk （20.3.33） () J () m mj k () J ()

26、m mj k () J () m mi k () J () m mi k 兩式相減，再積分，利用分部積分法得到兩式相減，再積分，利用分部積分法得到 0 0 ( ) 2( ) 2( )( ) 0 ( )( )( )( ) 0 J ()J () d dd J ()J ()J ()J ()|0 dd mmmm ijmimj mmmm mimjmjmi kkkk kkkk ()()mm ij kk 0 ()() 0 J ()J () d0 mm mimj kk (20.3.36) ()m n N 為了用為了用貝塞爾函數(shù)作基貝塞爾函數(shù)作基進行廣義傅立葉級數(shù)展開，需要先進行廣義傅立葉級數(shù)展開，需要先 (

27、) J () m mn k 計算貝塞爾函數(shù)計算貝塞爾函數(shù) 的模的模 ()m n N 0 ()2()2 0 J ()d mm nmn Nk (20.3.37) () ()()22 0 m mm n nn x k () 0 m n x () 0 m n x 把把 ()m n k記為記為 x () 0 m n k 記作記作 0 x 00 () 2222 00 11 J ( )dJ ( ) d() 2 xx m nmm nn Nxx xxx 0 0 222 0 0 11 J ( )J ( )J ( )d 2 x x mmm nn xxxxxx 0 0 ( ) 22 222 0 0 11 J ( ) J

28、 ( )J ( )J ( )J ( )d 2 x xm nmmmmm nn Nxxxxxx mxx x 00 0 2 2 222 0 00 dJ ( )11 J ( ) J ( )(J ) dJ dJ 2d xx x m mmmmm nnn xm xxxxxx x 0 00 2 22222 00 0 11 J ( )dJ ( )J ( ) 222 x xx mmm nnn m xxxxx 00 22222 00 11 ()J ( )J ( ) 22 xx mm nn xmxxx 2 2()22()2 0000 11 ()J ()J () . 22 mm mnmn n m kk () 0 J()

29、0 , m mn k () 22()2 00 1 J () 2 mm nmn Nk (20.3.39) 以（以（20.3.5）代入上式，并且考慮到）代入上式，并且考慮到第一類齊次邊界條件第一類齊次邊界條件 () 0 J ()0, m mn k故得故得 () 22()2 010 1 J() 2 mm nmn Nk （20.3.40） () 0 J()0 , m mn k 2 ()22()2 00 1 ()J () 2 mm nmn n m Nk （20.3.41） 第三類齊次邊界條件第三類齊次邊界條件 () J J m m m n kH (20.3.38)成為成為 22 ()22()20 00

30、1 ()J () 2 mm nmn nn m Nk H （20.3.42） () J () m mn k是是完備的完備的，可作為，可作為廣義傅立葉級數(shù)展開的基廣義傅立葉級數(shù)展開的基 定義在區(qū)間定義在區(qū)間 , 0 0 上的函數(shù)上的函數(shù) )(f 可以展開為廣義的可以展開為廣義的 傅立葉貝塞爾級數(shù)傅立葉貝塞爾級數(shù) () 1 ()J() m nmn n ffk （20.3.43） 其中其中廣義傅氏系數(shù)廣義傅氏系數(shù) 0 () () 2 0 1 ( )J () d m nmn m n ffk N (20.3.44) 0 0,上，以上，以 (0) 0 J () n k為基，把函數(shù)為基，把函數(shù) 0 ()fu（

31、常數(shù)）展開為傅里葉貝塞爾級數(shù)（常數(shù)）展開為傅里葉貝塞爾級數(shù). 說明：說明： 其中其中 (0)(0) 2 nn k 是本征函數(shù)是本征函數(shù) (0) 0 J () n k 對應(yīng)的本征值對應(yīng)的本征值. 【解】根據(jù)【解】根據(jù)(20.3.43)和和(20.3.44) 則則 (0) 00 1 J () nn n ufk 0 ( 0 ) 00 ( 0 )2 0 1 J ()d nn n fuk N (0) n N 由由第一類邊界條件所對應(yīng)的模公式第一類邊界條件所對應(yīng)的模公式(20.3.40) 給出給出 本征值本征值 ( 0 ) ( 0 )( 0 )22 0 n nn x k 而而 (0) n x 是是0階貝塞

32、爾函數(shù)階貝塞爾函數(shù) 0 J ( ) x的第的第 n個零點，個零點， 可由可由貝塞爾函數(shù)表貝塞爾函數(shù)表查出查出 0 (0) 0 0 2(0)2 0 010 2 J () d J () n n n ux f x (0) 0 n x x ，則則 (0) (0) 000 010 (0)(0)2(0)(0)2(0)(0) 0 111 222 J ( )d J ( ) J ()J ()J () n n x x n nnnnnn uuu fxxxxx xxxxxx 故故 (0) 0 00 (0)(0) 1 10 2 J () J () n n nn ux u xx 考慮解析函數(shù)考慮解析函數(shù) ) 1 ( 2

33、),( z z x ezxG 在 z0內(nèi)的羅朗展式內(nèi)的羅朗展式. 注意注意 此處的此處的 x 為為參變數(shù)參變數(shù)，不是復(fù)變數(shù)，不是復(fù)變數(shù) z的的實部實部. 0 2 ! ) 2 ( k k k z x z k x e 0 2 )( ! ) 2 ( 1 l l l z x z l x e ， 00 ) 1 ( 2 )( ! ) 2 ( ! ) 2 ( kl l l k k z z x z l x z k x e z z0 ，以上兩級數(shù)在，以上兩級數(shù)在 內(nèi)是可以相乘的，且可按任意方式并項內(nèi)是可以相乘的，且可按任意方式并項 , 2, 1, 0,nnlk 1 () 2 2 000 ( 1)( 1) ( ,

34、 )( )( ) ! ! 2()! ! 2 xll z k lk ll nn z klnl xx G x zezz k ln l l ( , )J ( ) n n n G x zx z (20.3.45) ) 1 ( 2z z x e 為為貝塞爾函數(shù)的母函數(shù)貝塞爾函數(shù)的母函數(shù)（或生成函數(shù)）（或生成函數(shù)） i i,zexkr 式（式（20.3.45） icosiii 0 1 J ()iJ ()J ()iJ()i krnnnnnn nnn nn ekrekrkrekre icos 0 1 J ()2i J ()cos krn n n ekrkrn （20.3.46） icoskr e xkr 為為

35、實數(shù)實數(shù)時，時， 在物理意義上在物理意義上, 02 1 21 0 cos(cos )J ()2( 1) J ()cos2 sin(cos )2( 1) J()cos(21) m m m m m m krkrkrm krkrm (22.3.47) (22.3.48) ( , )J ( ) n n n G x zx z 1 () 2 11 ()() 22 (, )J () ( , ) ( , )J ( )J ( ) x y z m z m n xy zz kn zz kn kn Gx y zex y z eeGx zG y zx zy z m z 項的系數(shù)，即得項的系數(shù)，即得加法公式加法公式 J

36、()J ( )J( ) mkm k k xyxy (20.3.49) 利用利用母函數(shù)公式母函數(shù)公式(20.3.30)和羅朗展式的系數(shù)表達式和羅朗展式的系數(shù)表達式，得到，得到 1 () 2 1 1 J ( )d (0, 1, 2,) 2i x z z m m C e xzm z C0z是圍繞是圍繞 點的任意一條閉曲線點的任意一條閉曲線 C 為單位圓，為單位圓， 則在則在 C上，有上，有 i ze 22 i sini1ii( sin) 00 11 J ( )()(i)dd 2i2 xmxm m xeeee 2 0 1 J ( )cos( sin)d , (0, 1, 2,) 2 m xxmm （2

37、0.3.50） 其中積分式中的其中積分式中的 sin( sin)xm的項已的項已被省去被省去. 0,2上其積分為零上其積分為零 式式(20.3.35)就是就是整數(shù)階貝塞爾函數(shù)的積分表達式整數(shù)階貝塞爾函數(shù)的積分表達式 0m 時，有時，有 0 0 1 J ( )cos( sin )d xx 20.4.1 虛宗量貝塞爾方程的解虛宗量貝塞爾方程的解 分離變量方程，在分離變量方程，在 0的情況下，的情況下， )(R應(yīng)滿足應(yīng)滿足 虛宗量貝塞爾方程虛宗量貝塞爾方程即為（即為（20.3.22）式）式 2 222 2 dd 0 dd RR xxxR xx (20.4.1) 若令若令 i , ( )( )x yR

38、 x ，代入上方程，代入上方程 222 0yyy (20.4.2) ix 即可得到即可得到虛宗量貝塞爾方程虛宗量貝塞爾方程(20.4.1)的解的解. 定義虛宗量貝塞爾方程的解具有下列形式定義虛宗量貝塞爾方程的解具有下列形式 1 I ( )J ()(i) J (i ) i xx 式中式中 ( i) 的引入是為了確保的引入是為了確保 I ( ) x 是實函數(shù)是實函數(shù). 利用利用 ( )Jx 的級數(shù)形式的級數(shù)形式(20.2.1) 2 0 1 J ( )( 1)() !(1)2 kk k x x kk 222 00 1i1 I ( ) ( i)( 1)( )( i) ii ( 1)( ) ! (1)

39、2! (1) 2 kkkkk kk xx x kkkk 2 0 1 I ( )() !(1)2 k k x x kk (20.4.4) I ( ) x 階階第一類虛宗量貝塞爾函數(shù)第一類虛宗量貝塞爾函數(shù). 也稱為也稱為第一類修正貝塞爾函數(shù)第一類修正貝塞爾函數(shù) (1)當(dāng)當(dāng) 整數(shù)時，方程整數(shù)時，方程(20.4.1)的通解為的通解為 ( )I ( )I( )y xCxDx (20.4.5) ,C D 為任意常數(shù)為任意常數(shù). (2)當(dāng)當(dāng) 取任意值時：取任意值時： 由于任意值中可能包含由于任意值中可能包含 m 整數(shù)整數(shù). I( )i J(i )i ( i) J (i )( i) J (i )I ( ) m

40、mmm mmmmm xxxxx I ( ),I( ) mm xx 因此要求方程因此要求方程 (20.4.1)的的通解通解，必須先求出與，必須先求出與 I ( ) m x 線性無關(guān)的線性無關(guān)的另一特解另一特解. 為此我們定義為此我們定義 I( )I ( ) K ( ) 2sin xx x (20.4.6) 又稱為又稱為麥克唐納麥克唐納(Macdonale)函數(shù)函數(shù)， 或或第二類修正貝塞爾函數(shù)第二類修正貝塞爾函數(shù) 這樣定義后，不管這樣定義后，不管 是否為整數(shù)，是否為整數(shù)， K ( )x 和和 I ( ) x 一起總能構(gòu)成虛宗量貝塞爾方程一起總能構(gòu)成虛宗量貝塞爾方程(20.4.1)的兩個線性無關(guān)的通

41、解的兩個線性無關(guān)的通解 故得到當(dāng)故得到當(dāng) 取任意值時球貝塞爾方程的取任意值時球貝塞爾方程的通解通解為為 ( )I ( )K ( )y xCxDx （ 任意值） ,C D其中其中 是兩任意常數(shù)是兩任意常數(shù) 階階第二類虛宗量貝塞爾函數(shù)第二類虛宗量貝塞爾函數(shù)， I ()( 1) I ( ) m mm xx m 奇數(shù)奇數(shù)I ( ) m x 為奇函數(shù)為奇函數(shù) m偶數(shù)偶數(shù) I ( ) m x 為偶函數(shù)為偶函數(shù) 0m 246 0 24262 I ( )1 22 (2!)2 (3!) xxx x (20.4.8) 0 I (0)1, I (0)0 (0) m m （2）由級數(shù)表達式知，當(dāng)）由級數(shù)表達式知，當(dāng)x

42、是大于零的實數(shù)時，是大于零的實數(shù)時， I ( ) x 沒有實零點沒有實零點; ( 3 ) 遞推公式遞推公式 1111 11 2 I( ) I( )I ( ), I( )I( )2I ( ) I ( )I ( ) = I( ), I ( )I ( )= I( ) mmmmmm mmmmmm m xxxxxx x mm xxxxxx xx (20.4.9) 根據(jù)定義式根據(jù)定義式(20.4.5)，給出當(dāng)，給出當(dāng) m 1 12 0 2 0 1(1)! K ( )( 1)lnI ( )( 1)( ) 22!2 ( 1)1 ()( )( ) 2!()!2 m mkmk mm k m mk k xmkx x

43、x k x mkk k mk (20.4.10) 0.577216 是是歐拉常數(shù)歐拉常數(shù). 1 1 ( ) k n k n 1111 11 2 K ( ) K ( )K ( ), K ( ) K ( )2K ( ) K ( )K ( )K ( ), K ( )K ( )K ( ) mmmmmm mmmmmm m xxxxxx x mm xxxxxx xx 用球坐標(biāo)系對亥姆霍茲方程進行分離變量，得用球坐標(biāo)系對亥姆霍茲方程進行分離變量，得 球貝塞爾方程球貝塞爾方程(14.4.25)即即 2 222 2 dd 2(1)0 dd RR rrk rl lR rr (20.5.1) 稱為稱為 l 階階球貝

44、塞爾方程球貝塞爾方程 0kr)(rR x )(xy 和函數(shù)和函數(shù)分別換作分別換作 和和，令令 krx ( )( ) 2 R ry x x 則則 2 2 22 2 dd1 0 dd2 yy xxxly xx (20.5.2) 即為（即為（ 2 1 l）階貝塞爾方程階貝塞爾方程 而對于而對于 0k，方程，方程(20.5.1)即為即為 歐拉型方程歐拉型方程,解為解為 1 )( l l r D CrrR 1 2 J( ) l x 1 2 N( ) l x 或或 1 2 (1) H( ) l x 1 2 (2) H( ) l x 再將它們每一個乘以再將它們每一個乘以 2x 即得到下列定義：即得到下列定義

45、： 1 2 j ( )J( ) 2 l l xx x 11 22 1 () n ( )N( )( 1)J( ) 22 l l ll xxx xx (20.5.3) j ( ) l x為第一類球貝塞爾函數(shù)第一類球貝塞爾函數(shù)， n ( ) l x 為第二類球貝塞爾函數(shù)第二類球貝塞爾函數(shù)或球諾依曼函數(shù)球諾依曼函數(shù) 1 2 1 2 (1)(1) (2)(2) h ( )H( )j ( )i n ( ) 2 h( )H( )j ( ) i n ( ) 2 lll l lll l xxxx x xxxx x (20.5.4) ( )j ( )n ( ) ll y xCxDx (1)(2) ( )h( )h( ) ll y xCxDx (20.5.5) (20.5.6) 其中其中 ,C D 為兩個任意實數(shù)為兩個任意實數(shù) 20.5.3 球貝塞爾函數(shù)的級數(shù)表示球貝塞爾函數(shù)的級數(shù)表示 根據(jù)球貝塞爾函數(shù)的定義式和貝塞爾函數(shù)的級數(shù)表示得到根據(jù)球貝塞爾函數(shù)的定義式和貝塞爾函數(shù)的級數(shù)表示得到 2 0 ()! j ( )2( 1) !(21)! llkk l k kl xxx kkl (20.5.7) 1 2