第7章 薄板彎曲問題的有限元法

1、1 第第7章章 薄板彎曲問題的有限元法薄板彎曲問題的有限元法 2 1.1.定義：工程定義：工程力學(xué)理論研究中，概念定義的板是指厚度尺寸相對(duì)長(zhǎng)寬尺寸小 很多的平板，且能承受橫向或垂直于板面的載荷。如板不是平板而為曲的 (指一個(gè)單元)，則稱為殼問題。如作用于板上的載荷僅為平行于板面的縱向 載荷，則稱為平面應(yīng)力問題；如作用于板上的載荷為垂直于板面的橫向載荷， 則稱為板的彎扭問題，常簡(jiǎn)稱板的彎曲問題。 11 80100b 1111 8010058b 11 58b 薄膜 厚度 薄板 厚板 b板長(zhǎng)寬最小值 一一. .定義及假設(shè)定義及假設(shè) 3 2 2、基本假設(shè)（克希霍夫假設(shè)）、基本假設(shè)（克?；舴蚣僭O(shè)） 1）

2、直線假設(shè)：即變形前垂直于板中面的直線，在彎曲變形后仍為直線， 且垂直于彎曲后的中面。說明在平行于中面的面上沒有剪應(yīng)變，即 0 0 zxzy 4 2）厚度不變假設(shè)：即忽略板厚變化。即 。由于板內(nèi)各點(diǎn)的撓度與 z 坐標(biāo)無關(guān)，只是x，y的函數(shù)，即 0 z ( , )ww x y 3）中面上正應(yīng)力遠(yuǎn)小于其它應(yīng)力分量假設(shè)：平行于中面的各層相互不擠壓， 不拉伸，沿z向的正應(yīng)力可忽略，即0 z 4）中面無伸縮假設(shè)：彎曲過程中，中面無伸縮，（薄板中面內(nèi)的各點(diǎn)都薄板中面內(nèi)的各點(diǎn)都 沒有平行中面的位移）沒有平行中面的位移）即 00 0 0 zz uv 縱向荷載：可以認(rèn)為他們沿薄板厚度均勻分布，因而他們所引起的應(yīng)力

3、、 形變和位移可以按平面應(yīng)力問題進(jìn)行計(jì)算。 橫向荷載：將使薄板彎曲，他們所引起的應(yīng)力、形變和位移，可以按薄 板彎曲問題進(jìn)行計(jì)算。 y u x v y v x u xyyx ,因?yàn)椋?0)(, 0)(, 0)( 000 zxyzyzx 5 二、基本方程二、基本方程 1）幾何方程 0 0 zx zy uw zx vw zy 1 2 ( , ) ( , ) w uzf x y x w vzfx y y 積分可得 0 0 0 0 z z u v w uz x w vz y 繞x軸轉(zhuǎn)角 繞y軸轉(zhuǎn)角 2 2 2 2 2 2 w u x x vw zz yy uv w yx xy 分別表示薄板彎 曲曲面在x

4、，y方 向的曲率 表示薄板彎曲曲 面在x，y方向的 扭率 2 2 2 2 2 x y xy w x w y w x y 變形變形 前的前的 直線直線 變形變形 后的后的 直線直線 z x y w x y uz z 6 2）物理方程（廣義胡克定律） 0 0 0 z zx zy 2 2 () 1 () 1 2(1) xxy yyx xyxy E E E 22 222 22 222 2 () 1 () 1 1 x y xy Eww z xy Eww z yx Ew z xy 寫為矩陣形式： 2 2 2 22 2 10 =10 1 1 00 2 2 x y xy w x Ezw y w xy 7 3）

5、內(nèi)力矩公式及平衡方程 單位寬度上垂直x，y軸的橫截面上彎矩、扭矩 y x y z yx x xy 322 2 222 2 322 2 222 2 32 2 2 2 12(1) 12(1) (1) 12(1) xx yy xyyxxy Eww Mzdz xy Eww Mzdz yx Ew MMzdz xy 3 2 12(1) E D 稱為薄板的彎曲剛度 2 2 32 22 2 10 =10 12(1) 1 00 2 x y xy w x M Ew M y M w x y 3 2 10 10 12(1) 1 00 2 E D 稱為彎曲板的彈性矩陣 8 333 232 333 223 12(1) 1

6、2(1) Sx Sy Eww F xxy Eww F xyy 等效剪力 圖中力矩雙箭頭方向表示是力 矩的法線方向，列平衡方程： 2222 2222 22 222 22 0 0 0 ,= xyy Sy xy x Sx Sy Sx MM F xy M M F yx F Fww qDq xyxyxy Dwq xy 或者式中，表示拉普拉斯算子。 由應(yīng)力的正負(fù)方向的規(guī)定得出：由應(yīng)力的正負(fù)方向的規(guī)定得出： 正的應(yīng)力合成的主矢量為正，正的應(yīng)力合成的主矢量為正， 正的應(yīng)力乘以正的矩臂合成的正的應(yīng)力乘以正的矩臂合成的 主矩為正；反之為負(fù)。主矩為正；反之為負(fù)。 ()()0 Sy Sx SySySxSx F F F

7、 dxFdy dxF dyFdx dyqdxdy yx 0 0)( 0)( z x y F M M 9 yx wEz x w y wEz y w x wEz xy y x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 )1 ( )( 1 )( 1 w y z Ez w x z E zy zx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 4 ( )1 (2 ) 4 ( )1 (2 w zzE z 4 2 2 3 1 2 1 )1 (6 w y E F w x E F M yx wE M x w y wE M y w x wE M Sy Sx xyyx y x 2 2 2 2 2 2 23 2 2 2

8、2 2 3 2 2 2 2 2 3 )1 (12 )1 (12 )1 (12 )( )1 (12 )( )1 (12 應(yīng)力分量表達(dá)式應(yīng)力分量表達(dá)式 10 三、矩形薄板單元分析三、矩形薄板單元分析 用有限元法求解薄板彎曲問題，常在板中面進(jìn)行離散，常用的單元有 三角形和矩形。為了使相鄰單元間同時(shí)可傳遞力和力矩，節(jié)點(diǎn)當(dāng)作剛性節(jié) 點(diǎn)，即節(jié)點(diǎn)處同時(shí)有節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)力矩作用。每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)自由度，即 一個(gè)擾度和分別繞x，y軸的轉(zhuǎn)角。 1.設(shè)位移函數(shù) xi m j i l yi i w xj yj j w xm ym m w xl yl l w T e ixiyilxlyl T e zixiyizlzlyl

9、qww FFMMFMM 節(jié)點(diǎn)位移分量和節(jié)點(diǎn)力分量 11 薄板彎曲時(shí)，只有w(x,y)是薄板變形的未知基本函數(shù)，而其它量，如 u,v等都是w(x,y)的函數(shù)，故薄板矩形單元的位移函數(shù)的選擇實(shí)際就是 w(x,y)的選取。注意單元有12個(gè)自由度，則 22 123456 322333 789101112 ( , ) w x yxyxxyy xx yxyyx yxy 2232 35689101112 2223 2457891112 2233 (2323) x y w xyxxyyxxy y w xyxxyyx yy x 另兩個(gè)轉(zhuǎn)角為： 12 待定系數(shù)：利用12個(gè)節(jié)點(diǎn)位移值可待定12個(gè)系數(shù)，整理w(x,y

10、)為插值函 數(shù)形式： ( , ) iixixiyiyillxlxlylyl e w x yN wNNN wNN Nq 2 2 1 (1)(1)2(1)(1) 8 1 (1)(1) (1) 8 1 (1) (1)(1) 8 , , r rrrrrr xrr rrr yrr rrr xyxxyy N xyxxyy xyy Ny xyy xyx Nx xyx ri j m l 其中，形函數(shù)： 13 2.單元收斂性分析： 1）位移函數(shù) 中包含有常量項(xiàng)，反映了剛體位移 ，如 為擾度常量， 為轉(zhuǎn)角常量。 2）位移函數(shù)中包含了常量應(yīng)變項(xiàng)， 如形變分量為： 表明薄板處于均勻彎扭變形狀態(tài)，即常應(yīng)變狀態(tài)。這里的常

11、應(yīng)變?yōu)閿_度 的二次函數(shù)，而在平面單元中為位移的一次式，這是因?yàn)榘逵泻穸龋?形變是指不同厚度上的。 1 23 , 222 2 465 2 222 T T www xyxy ( , ),( , ),( , ) xy w x yx yx y 14 3）相鄰單元在公共邊界上擾度是連續(xù)的但轉(zhuǎn)角不一定連續(xù)。 設(shè)邊界ij邊 y=-b 則 有位移 四個(gè)系數(shù)剛好通過i，j兩個(gè)端點(diǎn)的擾度值和繞y軸的兩個(gè)轉(zhuǎn)角值唯一確定 ；同時(shí)，相鄰單元在此邊界上也能通過i，j的值唯一確定，故連續(xù)。 如對(duì)于繞x軸的轉(zhuǎn)角： 四個(gè)系數(shù)不能通過i，j的兩個(gè)已知轉(zhuǎn)角值唯一待定；同理，相鄰單元在 此邊界上也不能唯一確定四個(gè)系數(shù)。故轉(zhuǎn)角不連續(xù)

12、。 所以，薄板矩形單元是非協(xié)調(diào)單元。但實(shí)踐表明，當(dāng)單元細(xì)分，其解完 全能收斂真實(shí)解。 23 1234 ( , )w x ycc xc xc x 23 1234 ( , ) x x ydd xd xd x 15 3.單元?jiǎng)偠染仃?1）應(yīng)變矩陣 2 2 2 2 2 2 e ijml w u x x vw z yy uv w yx xy zBBBBq 2 22 222 2 22 222 2 22 , , 222 yr xrr yr xrr r yr xrr N NN xxx N NN Bri j m l yyy N NN xyxyxy 其中：B為x，y的 函數(shù)，與z無關(guān) 16 2）單元?jiǎng)傟?eT i

13、iijimil jjjmjl mmml ll KBDB dV KKKK KKK KK K 對(duì) 稱 2 2 2 2 3 12 T e rsrs T ab rs ab T ab rs ab KzBDB dV zBDB dxdydz BDB dxdy 17 4.總剛集成 5.載荷移置 6.邊界條件出來 7.求解線性方程組 18 四.三角形薄板單元 1.面積坐標(biāo) 三角形單元的面積坐標(biāo)定義:如圖示三角形單元中，任意一點(diǎn)P的位置可 以用下面3個(gè)比例確定 。 i i A L A j j A L A m m A L A 其中A為ijm的面積，Ai，Aj，Am分別為Pjm， Pim，Pij的面積。比值Li，Lj

14、，Lm就稱為P點(diǎn) 的面積坐標(biāo)。 ijm AAAA 1 j im ijm A AA LLL AAA 1 11 31 =() , ,) 22 1 ijjiii mm xy Axyab xc yi j m xy 個(gè)三角形面積計(jì)算式：（ i j m p i A m A j A 19 實(shí)際為三角形 的高與 高的比，即平行jm線的直線上的所有點(diǎn)有相同 的 。同時(shí)，易得 i L i AA i L 1 , 0 1 , 0 1 , 0 ijm jim mji iLLL LLL LLL 點(diǎn) j點(diǎn) m點(diǎn) 1 () ( , ,) 2 iiii Lab xc yi j m A 1 1 2 iiii jjjj mmmm

15、Labc Labcx A Labcy 即，三角形內(nèi)與任一條邊平行的直線上的所有點(diǎn)有相同的面積坐標(biāo)。 比較面積坐標(biāo)與平面三角形單元形函數(shù)可知，面積坐標(biāo)正是平面三節(jié)點(diǎn)三角 形單元的三個(gè)形函數(shù)。 1 , 2 1 , 2 1 , 2 iiii jjjj mmmm Nx yab xc y A Nx yab xc y A Nx yab xc y A 面積坐標(biāo)與整體坐標(biāo)之間的變換。 20 2、位移函數(shù) 三角形單元能較好地適應(yīng)斜邊界，實(shí)際中廣泛應(yīng)用。單元的 節(jié)點(diǎn)位移仍然為節(jié)點(diǎn)處的撓度wi和繞x，y軸的轉(zhuǎn)角xi、yi，獨(dú)立 變量為wi。三角形單元位移模式應(yīng)包含9個(gè)參數(shù)。若考慮完全三次 多項(xiàng)式，則有10個(gè)參數(shù)：

16、223223 12345678910 xyxxyyxx yxyy 若以此為基礎(chǔ)構(gòu)造位移函數(shù)，則必須去掉一項(xiàng)，則無法保證對(duì)稱。 經(jīng)過多種選擇，采用面積坐標(biāo)比較合理可行。 對(duì)于三角形單元，面積坐標(biāo)的一、二、三次齊次分別有以下項(xiàng)： mji LLL,一次項(xiàng)： immjjimji LLLLLLLLL, 222 二次項(xiàng)： mjiimmjjiimmjjimji LLLLLLLLLLLLLLLLLL, 222222333 三次項(xiàng)： A A L LLL i i mji 1 21 將三個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移和面積坐標(biāo)代入上式，可得：1=wi ， 2=wj， 3=wm。代入上式對(duì)Li，Lj求導(dǎo)，注意Lm=1-Li-Lj，可得

17、 2 4567 222 89 ()(2) (4)(2) imjmijjjm i imimjij w wwLLLLLL L L L LLLLL L 22 4567 22 89 ()(4) (2)(2) jmmjiijmjm j imiiji w wwLLLLLLL L L L LLL LL 將節(jié)點(diǎn)的面積坐標(biāo)代入上述兩式，可得6個(gè)關(guān)于 4 9的方程，求解后 可得 4 9： 22 45 6 7 8 9 11 (,),(,), 22 1 (,), 2 1 ( ,) 2 1 ( ,) 2 1 ( ,) 2 LjjLjmLiiLim LiiLijLjiLjj jmLjjLjm imLiiLim ijLii

18、LijLjiLjj wwaww wwww wwww wwww wwwwww 點(diǎn)的值。偏導(dǎo)數(shù)在 的對(duì)表示 j Liww Lij , 23 最后，待定常數(shù) 1 9代入位移模式，整理后得： yixiii j Lj yjxjjj i Li cb y w b x w c L w w cb y w b x w c L w w , , ),( )( 2 1 2 1 )( 2 1 )( 2 1 2 1 2 1 )()( 22 2222 2222 mji LLLLLLN LLLLLLLLLLLLN LLLLLLLLLN jijijiji imimjijiimjiii imimjijiii 將將w,Lii和和w,Lji變換成變換成xi、 yi，從而得到相應(yīng)于，從而得到相應(yīng)于xi、 yi的形函數(shù)的形函數(shù)Nxi、 Nyi 利用：利用： ),( , mjixxc yyb imi mii 24 1 9 9 1 e i e jm wNqNqNN ),( )( 2 1