2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)選擇性第一冊(cè)教案：第1章章末綜合提升含解析

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)新教材人教a版選擇性必修第一冊(cè)教案：第1章 章末綜合提升含解析鞏固層知識(shí)整合 提升層題型探究(教師獨(dú)具)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算和數(shù)量積【例1】(1)如圖,已知空間四邊形abcd，e，h分別是邊ab，ad的中點(diǎn),f，g分別是邊cb，cd上的點(diǎn)，且，。求證：四邊形efgh是梯形(2)已知正四面體oabc的棱長(zhǎng)為1，如圖求：；(）（)；|.思路探究(1)利用向量共線(xiàn)定理證明（2)利用數(shù)量積的定義及運(yùn)算法則進(jìn)行解（1）證明：e,h分別是邊ab，ad的中點(diǎn)，.則（）。（)，且|.又f不在eh上，故四邊形efgh是梯形（2）在正四面體oabc中，|1.,60

2、。|cosaob11cos 60。（）()（）()（）（2)2222o12211cos 60211cos 6012211cos 60111111。.1空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算包括加、減及數(shù)乘運(yùn)算，選定空間不共面的三個(gè)向量作為基向量,并用它們表示出目標(biāo)向量，這是用向量法解決立體幾何問(wèn)題的基本要求,解題時(shí)可結(jié)合已知和所求，根據(jù)圖形，利用向量運(yùn)算法則表示所需向量2空間向量的數(shù)量積(1）空間向量的數(shù)量積的定義表達(dá)式aba|bcos(a，n為銳角)或a，n（a,n為鈍角)應(yīng)注意到線(xiàn)面角為銳角或直角2平面與平面的夾角一定是銳角嗎？提示不一定，可以是銳角，也可以是直角【例5】長(zhǎng)方體abcd。a1b1c1d1中，a

3、b4，ad6，aa14，m是a1c1的中點(diǎn)，p在線(xiàn)段bc上，且cp2，q是dd1的中點(diǎn)，求：（1）m到直線(xiàn)pq的距離;(2)m到平面ab1p的距離解如圖，建立空間直角坐標(biāo)系b.xyz,則a(4，0,0)，m(2,3，4）,p（0，4，0），q(4,6,2)（1）（2，3,2)，（4，2，2）,在上的射影的模。故m到pq的距離為.（2)設(shè)n(x，y,z）是平面ab1p的某一法向量,則n,n，(4,0，4)，(4，4，0)，因此可取n(1,1,1),由于（2，3，4)，那么點(diǎn)m到平面ab1p的距離為d，故m到平面ab1p的距離為.1本例中，把條件“bad120”改為“bad90，且pa1，其它條件

4、不變,求點(diǎn)a到平面pcb的距離解如圖，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則a(0,0，0),p(0，0，1）,c(1，1,0），b（0,2,0)，(0，0,1)，（0，2，1）,（1，1，0)設(shè)平面pbc的法向量為n(x，y，z)，則即。令y1,則x1,z2。n（1,1,2)，a點(diǎn)到平面pcb的距離為d.2在本例條件中加上“pa1”，求直線(xiàn)pa與平面pcb所成角解根據(jù)題目所建立的平面直角坐標(biāo)系可知a（0,0，0),p(0，0,1),c,b(0，2,0),(0,0,1），（0，2,1)，設(shè)平面pbc的法向量為m（x,y，z)，令y1，則m（，1，2)，設(shè)pa與平面pcb的夾角為,則sin |cosm

5、，45.故直線(xiàn)pa與平面pbc所成的角為45。用向量法求空間角的注意點(diǎn)(1）異面直線(xiàn)所成角：兩異面直線(xiàn)所成角的范圍為090，需找到兩異面直線(xiàn)的方向向量，借助方向向量所成角求解（2）直線(xiàn)與平面所成的角：要求直線(xiàn)a與平面所成的角，先求這個(gè)平面的法向量n與直線(xiàn)a的方向向量a夾角的余弦cosn，a，易知n，a或者n，a(3）平面與平面的夾角：如圖，有兩個(gè)平面與,分別作這兩個(gè)平面的法向量n1與n2，則平面與所成的角跟法向量n1與n2所成的角相等或互補(bǔ)培優(yōu)層素養(yǎng)升華【例】如圖，在三棱錐p。abc中，abbc2，papbpcac4，o為ac的中點(diǎn)（1)證明：po平面abc；(2)若點(diǎn)m在棱bc上,且二面角m

6、pa-c為30，求pc與平面pam所成角的正弦值思路探究(1)首先利用等腰三角形的性質(zhì)可得poac，利用勾股定理可證得poob，然后結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理即可證得結(jié)果;（2)根據(jù)（1)中的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)m（含有參數(shù)）的坐標(biāo),根據(jù)已知條件求得此參數(shù)，然后求解即可解（1)證明:因?yàn)閍pcpac4,o為ac的中點(diǎn)，所以opac,且op2.如圖,連接ob.因?yàn)閍bbcac，所以abc為等腰直角三角形，且obac,obac2.由op2ob2pb2知poob.由opob，opac，obaco,知po平面abc。(2)如圖以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，ob，oc,op分別為x，y,z軸建立空間直角坐標(biāo)

7、系oxyz。由已知得o(0，0,0)，b(2,0,0），a（0,2，0），c(0，2，0），p(0,0，2），(0,2,2）取平面pac的一個(gè)法向量（2，0,0)設(shè)m（a，2a,0)(0a2)，則（a，4a，0）設(shè)平面pam的法向量為n（x，y，z）由n0,n0得取ya,則za,x(a4)，可得n(（a4)，a,a）為平面pam的一個(gè)法向量，所以cos,n.由已知可得cos，n，所以，解得a,所以n。又(0，2,2)，所以cos，n。所以pc與平面pam所成角的正弦值為.利用向量方法求空間角問(wèn)題是每年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題,無(wú)論是二面角、直線(xiàn)與平面所成的角，還是異面直線(xiàn)所成的角，最終都利用空間向量的夾

8、角公式來(lái)求解不同的是求二面角時(shí)，所取的兩個(gè)向量為兩個(gè)平面的法向量；求直線(xiàn)與平面所成的角時(shí),所取的向量為直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量;求異面直線(xiàn)所成的角時(shí),則只需取兩條直線(xiàn)的方向向量即可跟進(jìn)訓(xùn)練如圖,長(zhǎng)方體abcd.a1b1c1d1的底面abcd是正方形，點(diǎn)e在棱aa1上，beec1。（1）證明：be平面eb1c1；(2）若aea1e，求二面角b。ecc1的正弦值解（1)證明:由已知得,b1c1平面abb1a1,be平面abb1a1，故b1c1be.又beec1,b1c1ec1c1，所以be平面eb1c1.（2)由（1)知beb190.由題設(shè)知rtaberta1b1e，所以aeb45,故aeab，aa12ab。以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系dxyz，則c（0，1,0）,b（1，1,0），c1（0，1，2），e（1,0,1）,(1，0，0),(1，1,1），（0，0，2）設(shè)平面ebc的法向量為n(x,y，z）,則即所以可取n（0，1，1）設(shè)平面ecc1的法向量為m（x1