n階行列式的計(jì)算方法

1、莆 田 學(xué) 院畢 業(yè) 論 文題 目n階行列式的計(jì)算方法 學(xué)生姓名 張文才 學(xué) 號(hào) 510401424 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級(jí) 數(shù)學(xué)054 指導(dǎo)教師 陳梅香 二00九年五月十日目 錄0引言（1）1常見一般階行列式計(jì)算方法（1）1.1定義法（1）1.2利用行列式的性質(zhì)（2）1.3化三角行列式（3）1.4按行列式某行或某列展開（4）1.5升階法（5）1.6遞推方法（6）1.7數(shù)學(xué)歸納法（7）1.8范德蒙行列式（8）1.9拉普拉斯定理（8）1.10輔助行列式法 （9）1.11析因法 （10）2一些計(jì)算階抽象行列式的方法（11）2.1利用行列式性質(zhì)（11）2.2利用正交矩陣的性質(zhì)（12）2.3利

2、用方陣的特征值的性質(zhì)及矩陣相似（12）結(jié)束語（13）致謝（13）參考文獻(xiàn)（13）張文才 n階行列式的計(jì)算方法階行列式的計(jì)算方法張文才（莆田學(xué)院數(shù)學(xué)系 指導(dǎo)教師：陳梅香）摘要：行列式的計(jì)算是大學(xué)高等代數(shù)的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。本文第一部分主要探討常見一般階行列式計(jì)算方法，第二部分討論一類階抽象行列式的計(jì)算方法。關(guān)鍵詞:行列式 矩陣 計(jì)算方法abstract：computing the determinant is an important part of advanced algebra in university, and is also the difficulty in lea

3、rning. in the first part, calculation methods of the n-order determinant were discussed; second is the methods of computing a class of n-order abstract determinant.keywords：determinant matrix calculation method 130 引言一般階行列式的計(jì)算問題是數(shù)學(xué)系高等代數(shù)教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)。能否學(xué)好關(guān)系到以后高等代數(shù)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，還會(huì)影響到學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性。因此，在查閱很

4、多相關(guān)資料的基礎(chǔ)上，嘗試初步綜合一下行列式的計(jì)算方法。其中，包括常見的一般行列式和一些特殊的抽象行列式。大家在計(jì)算常見一般行列式時(shí)要注意，有時(shí)候有些行列式可以用很多種方法計(jì)算，應(yīng)當(dāng)根據(jù)行列式的實(shí)際情況、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)姆椒▉磉M(jìn)行計(jì)算。抽象行列式是在原有一般行列式基礎(chǔ)上，用字母抽象化地表示行列式，并結(jié)合矩陣的相關(guān)知識(shí)來進(jìn)行計(jì)算的，所以要求對高等代數(shù)整體課程的內(nèi)容都要有一個(gè)比較清晰的理解，只有這樣才能牢牢掌握行列式的計(jì)算方法。本文第一部分主要探討常見一般行列式計(jì)算方法，第二部分討論特殊抽象行列式，用矩陣相關(guān)知識(shí)來計(jì)算。1 常見一般階行列式計(jì)算方法1.1 定義法階行列式計(jì)算的定義1：其中，表示對所有

5、級(jí)排列求和。是的一個(gè)排列，當(dāng)是偶排列時(shí)，是正號(hào)；當(dāng)是奇排列時(shí)，是負(fù)的。是中取自不同行不同列的個(gè)元素的乘積。例11計(jì)算行列式 分析：這是一個(gè)四階行列式，展開式共有項(xiàng)，除對角線上元素乘積的項(xiàng)與次對角線上元素乘積的項(xiàng)值不為零外，其余項(xiàng)都為零，而且、，所以 在用定義法計(jì)算行列式時(shí)要注意：在對2階行列式和3階行列式時(shí)，可以采用對角線法則來進(jìn)行計(jì)算。特別要注意3階以上的行列式不能適合采用對角線法則2。1.2 利用行列式的性質(zhì)總結(jié)行列式的性質(zhì)，可分為以下四類2：（1）使行列式的值不變的有兩條性質(zhì)：行列式的行與列互換； 某行（列）的倍數(shù)加到另一行（列）上。（2）使行列式的值為零的也有兩條性質(zhì)：兩行（列）對應(yīng)的

6、元素相同； 兩行（列）對應(yīng)的元素成比例。（3）使行列式的值變號(hào)的有一條性質(zhì)：交換兩行（列）的位置。（4）還有其他兩條性質(zhì)：某行（列）的公因子可以提到行列式符號(hào)外； 如果某行（列）的所有元素都可以寫成兩項(xiàng)的和，則該行列式可以寫成兩個(gè)行列式的和，這兩個(gè)行列式的這一行（列）的元素分別為對應(yīng)的兩個(gè)加數(shù)之一，其余各行（列）元素與原行列式相同 。這些性質(zhì)和行列式計(jì)算的定義構(gòu)成了行列式計(jì)算的基本框架。下面來看例2關(guān)于一個(gè)階行列式的計(jì)算，當(dāng)階行列式的或者（即階數(shù)小于或等于2）用定義法計(jì)算，當(dāng)時(shí)，運(yùn)用行列式的性質(zhì)計(jì)算是比較方便的。 例23 計(jì)算下面階行列式的值 解：當(dāng)時(shí)，。 當(dāng)時(shí)，。 當(dāng)時(shí)，1.3化三角行列式

7、化三角行列式 2關(guān)鍵在于如何化行列式為上（下）三角行列式或者次上（下）三角行列式，為此，在課本中引入行階梯形矩陣的定義，有了矩陣這一工具，讓這一關(guān)鍵的操作變得十分方便。值得說明的是，在階行列式的計(jì)算中引入矩陣工具化三角使行列式計(jì)算容易起來，但更多數(shù)情況下是在矩陣計(jì)算中運(yùn)用行列式計(jì)算這一工具的。或者說，矩陣和行列式是相輔相成的，不過，也要注意區(qū)別行列式和矩陣是兩種不同的概念。（1）上（下）三角行列式的值等于其對角線上的元素的乘積。 （2）同理，次三角行列式的值等于添加適當(dāng)?shù)恼?、?fù)號(hào)的次對角線元素的乘積。 例34 計(jì)算下面階行列式的值 解：例44 計(jì)算下面階行列式的值 解： 例3是化主三角行列式計(jì)

8、算的，例4是化次三角行列式計(jì)算。而且例3、例4都是箭形行列式，箭形行列式可以化三角行列式來計(jì)算。1.4 按行列式某行或某列展開按行列式某行或某列展開計(jì)算是運(yùn)用行列式自身所帶有的工具余子式、代數(shù)余子式。下面先介紹余子式、代數(shù)余子式1：在階行列式中，將元素所在的第行第列的元素劃去后剩下的元素按照原位置次序構(gòu)成的階行列式，稱為元素的余子式，記為，即 當(dāng)，稱為元素代數(shù)余子式。有了余子式、代數(shù)余子式，還是不夠的，還要有下面這條關(guān)于行列式的值的定理2：行列式的值等于它的某一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即 例54 計(jì)算下面的4階行列式的值解：依據(jù)行列式的展開定理，我們還可以把有些行列式展開

9、成若干個(gè)低一階的行列式的代數(shù)和，如有必要繼續(xù)再展開下去，直到便于計(jì)算求值，這種方法叫做降級(jí)法4或降階法5。1.5 升階法有些行列式利用本身進(jìn)行計(jì)算往往很難，但是在原行列式的基礎(chǔ)上增加一行（列），并保證在增加的基礎(chǔ)上保持原行列式的值不變，使得行列式計(jì)算變得十分簡便。這種計(jì)算行列式的方法叫做升階法3，也叫升級(jí)法4或加邊法5。它與上面的行列式降階法計(jì)算是相反的操作。例63 證明： 證明：將左邊的行列式添加一行一列，得級(jí)行列式 有時(shí)加邊后的行列式的值不會(huì)就等于原行列式的值，不過與原行列式的值存在一個(gè)關(guān)系。例如原行列式，行列式直接求值不好求，加邊后行列式為，很容易求得的值，兩者關(guān)系比較明確，則可利用這個(gè)

10、關(guān)系能求出行列式的值。這也是適合使用升階法的。1.6 遞推方法遞推方法計(jì)算6行列式是將已知行列式按行（列）展開成較低階的同類型的行列式（注意：同類型行列式是指階數(shù)不同，但結(jié)構(gòu)相同的行列式），找出或（其中的結(jié)構(gòu)一定要相同）之間的遞推關(guān)系，利用這個(gè)遞推公式求出行列式的值。例7 3計(jì)算解：所以：即 當(dāng)時(shí)，1.7 數(shù)學(xué)歸納法一般情況下用第一數(shù)學(xué)歸納法來計(jì)算，但是有時(shí)候用第一數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，僅僅只能歸納假設(shè)“時(shí)命題成立”，還不能證明命題對也能夠成立，所以就要求用更強(qiáng)的歸納假設(shè)“時(shí)命題成立”，即用到了第二數(shù)學(xué)歸納法。也就是說數(shù)學(xué)歸納法計(jì)算行列式時(shí)，要看行列式的具體條件是適用第一數(shù)學(xué)歸納法還是第二數(shù)學(xué)歸納

11、法。先來看一個(gè)用第一數(shù)學(xué)歸納法的例子，如上面的例64。用第一數(shù)學(xué)歸納法證明如下：易于驗(yàn)算當(dāng)時(shí)結(jié)論成立。假設(shè)對結(jié)論也成立，則由歸納假設(shè)，從而下面介紹一個(gè)用第二數(shù)學(xué)歸納法證明行列式的例子，例8 7證明：證明：用第二數(shù)學(xué)歸納法證明，如下：當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立。當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立。假設(shè)的時(shí)，結(jié)論成立，則由假設(shè)代入前一式，得： 即對所有的一切自然數(shù)，結(jié)論成立。1.8 范德蒙行列式范德蒙行列式計(jì)算公式5：例93 計(jì)算解：范德蒙行列式計(jì)算公式計(jì)算行列式很簡單，只要行列式結(jié)構(gòu)符合范德蒙行列式結(jié)構(gòu)就可以了，但平常計(jì)算行列式時(shí)還是要注意，有些行列式結(jié)構(gòu)上只是形似于范德蒙行列式結(jié)構(gòu)，并不符合范德蒙行列式結(jié)構(gòu)的。這往往會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)

12、誤地計(jì)算行列式。有時(shí)有些行列式形式上看不像是范德蒙行列式，但經(jīng)過一定的變形之后是范德蒙行列式，所以在計(jì)算時(shí)要十分小心。1.9 拉普拉斯定理拉普拉斯定理1：任意取定級(jí)行列式的某行（列）（），由這行（列）元素所組成的一切級(jí)子式（共有個(gè)）與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式的值。從拉普拉斯定理可以看出，對行列式進(jìn)行計(jì)算，有時(shí)還是可以把行列式進(jìn)行分塊處理的，然后把分成的行列式塊進(jìn)行乘法計(jì)算，這樣也是可以求解行列式的值。這種方法也叫分塊法。對此還可以進(jìn)行延伸，對矩陣也是可以分塊的。再進(jìn)一步推廣就是矩陣分塊法計(jì)算行列式了。例104 計(jì)算 解：將第n行依次與第n-1行，第n-2行，第2行交換位置，經(jīng)過n-

13、2次行的對換成為第2行，再將第n列依次與第n-1列，第n-2列，第2列交換位置成為第2列，于是取第1，2行按拉普拉斯定理展開。 1.10 輔助行列式法輔助行列式法4是指在行列式的各元素中加上一個(gè)數(shù)，使得新行列式除主對角線外，其余的元素均為零，然后計(jì)算的主對角線各元素的代數(shù)余子式，由此可得。例11 4計(jì)算解：在的各元素上加上（）后，得： 輔助行列式法也叫做元素變形法8，我們還可以進(jìn)一步進(jìn)行推廣，可以把一些行列式進(jìn)行元素變形，使得原本不容易計(jì)算的變得計(jì)算十分方便，再利用計(jì)算出來的行列式的值與原行列式之間的關(guān)系求出原行列式。例如行列式，經(jīng)過元素變形為行列式，很容易求得的值，而且存在的與的關(guān)系，可以推

14、導(dǎo)出的值。1.11 析因法利用多項(xiàng)式函數(shù)、多項(xiàng)式根的性質(zhì)、定理等來計(jì)算行列式，這種方法稱為析因法4，它是把行列式看成含有其中的一個(gè)字母或多個(gè)字母的多項(xiàng)式，經(jīng)過變換后，發(fā)現(xiàn)它可被一些線性因子整除，也就是說可以被這些因子的乘積所整除，利用這一特性可求出行列式的值。例114，用析因法求解如下：解：令顯然，（各列之和為0），故，是的一次因式。又同理可得：因此，而。即是的重根，又因是的次多項(xiàng)式，從而，其中是待定系數(shù)，由行列式可以看出的系數(shù)為1，故。析因法有時(shí)也叫線性因子分離法8。以上是常見的一般行列式的若干計(jì)算方法，除上述的方法外，計(jì)算行列式還有很多的方法，下面只對一些特殊的抽象行列式（用字母來表示的行

15、列式）計(jì)算方法做討論，由于在一般的教科書上對抽象行列式的計(jì)算問題討論的很少，但是抽象行列式的計(jì)算方法卻又是很重要的內(nèi)容。所以有必要對運(yùn)用矩陣知識(shí)來求解抽象行列式問題作一些討論。2 一些計(jì)算階抽象行列式的方法2.1 利用行列式性質(zhì)行列式的一些性質(zhì)9：（1）若是階矩陣，則。（2）若均為階矩陣。則。（3）若是階可逆矩陣，則。例122 設(shè)均為階矩陣：且，求 1）；2）；3）。解：1） 2） 3）2.2 利用正交矩陣的性質(zhì)如果為級(jí)實(shí)矩陣且滿足，或，則稱為正交矩陣9。例134設(shè)， 且滿足，求。解：由得，而 可逆，所以 即。2.3 利用方陣的特征值的性質(zhì)及矩陣相似存在級(jí)矩陣，使，稱為的特征值1。存在級(jí)可逆矩

16、陣，使，其中為對角矩陣。則級(jí)矩陣可像相似于對角矩陣1。例1410 設(shè)為階正定矩陣，證明的行列式的值大于 解：因?yàn)闉殡A正定矩陣，即為實(shí)對稱矩陣，存在正交陣，使，其中為的特征值。由于為正定陣，所以，且，將上式兩邊同時(shí)取行列式，可得的行列式的值大于。結(jié)束語：以上是一些常用的計(jì)算階行列式的方法。對于不同類型的階行列式所采用的求法也是不同的。因此，在找到解決問題的方法之前，要正確判斷階行列式的類型，看看適合采用那種方法進(jìn)行計(jì)算。另外，階行列式計(jì)算雖有一定的規(guī)律，但不能死搬硬套。有些題目可能有多種求法，但難易有別，解題過程中應(yīng)該采用最簡單的方法。而且每種求法并不都適用于多種類型的階行列式，許多求法都有自己

17、的適用條件和范圍.只有在解決問題的過程中不斷分析、總結(jié)、歸納，才能更好地掌握、運(yùn)用階行列式的計(jì)算方法。致謝：這次畢業(yè)論文能順利完稿，多虧了指導(dǎo)老師的悉心指導(dǎo)和幫助，不僅提供了相關(guān)參考資料,還給我們提很多非常有用的參考建議。在此，我對指導(dǎo)老師以及數(shù)學(xué)系的其他所有老師表示由衷的感謝！參考文獻(xiàn)：1 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編.高等代數(shù)（第二版）m.北京：高等教育出版社，1988：51-103.2 徐仲，陸全主編.高等代數(shù)導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考（北大第三版）m.西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2006：1-67.3 苑文法.階行列式的計(jì)算n.湖北三峽學(xué)院學(xué)報(bào)，1999（21）.4 李師正主編.高等代數(shù)解題方法與技巧m.北京：高等教育出版社，2004：26-83.5