控制系統(tǒng)課程設(shè)計(jì)一階倒立擺控制器設(shè)計(jì)

1、harbin institute of technology課程設(shè)計(jì)說明書（論文）課程名稱： 控制系統(tǒng)課程設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì)題目： 一階倒立擺控制器設(shè)計(jì)院 系：航天學(xué)院控制科學(xué)與工程系班 級(jí)： 設(shè) 計(jì) 者： 學(xué) 號(hào)： 指導(dǎo)教師： 設(shè)計(jì)時(shí)間：2011年8月21日至2011年9月9日 哈爾濱工業(yè)大學(xué)教務(wù)處哈爾濱工業(yè)大學(xué)課程設(shè)計(jì)任務(wù)書 姓 名：王 院 （系）： 專 業(yè)： 班 號(hào)： 任務(wù)起至日期： 2011年 8月21 日至2011年9月9 日 課程設(shè)計(jì)題目：一階倒立擺控制器設(shè)計(jì) 已知技術(shù)參數(shù)和設(shè)計(jì)要求：本課程設(shè)計(jì)的被控對(duì)象采用固高公司的一階倒立擺系統(tǒng)gip-100-l。系統(tǒng)內(nèi)部各相關(guān)參數(shù)為：小車質(zhì)量 0.5

2、 kg ；擺桿質(zhì)量0.2 kg ；小車摩擦系數(shù)0.1 n/m/sec ； 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度0.3 m ；擺桿慣量0.006 kg*m*m ；采樣時(shí)間0.005秒。設(shè)計(jì)要求：1推導(dǎo)出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間方程。用matlab進(jìn)行脈沖輸入仿真，驗(yàn)證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2設(shè)計(jì)pid控制器，使得當(dāng)在小車上施加1n的脈沖信號(hào)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為：（1）穩(wěn)定時(shí)間小于5秒（2）穩(wěn)態(tài)時(shí)擺桿與垂直方向的夾角變化小于0.1 弧度 工作量：1. 建立一階倒立擺的線性化數(shù)學(xué)模型；2. 倒立擺系統(tǒng)的pid控制器設(shè)計(jì)、matlab仿真及實(shí)物調(diào)試；3. 倒立擺系統(tǒng)的極點(diǎn)配置控制器設(shè)計(jì)、matlab仿真及實(shí)物仿真調(diào)

3、試。 工作計(jì)劃安排：第17周：建模研究和確定控制系統(tǒng)方案；第18周：控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和試驗(yàn)調(diào)試； 第17周：撰寫論文、答辯。 同組設(shè)計(jì)者及分工： 獨(dú)立完成。 指導(dǎo)教師簽字_ 年 月 日 教研室主任意見： 教研室主任簽字_ 年 月 日一、一階倒立擺動(dòng)力學(xué)建模倒立擺系統(tǒng)其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)建模存在著一定的困難。在忽略掉一些次要的因素之后，倒立擺系統(tǒng)就是一個(gè)典型的運(yùn)動(dòng)的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標(biāo)系中應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。下面采用牛頓-歐拉方法建立直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。在忽略了空氣阻力和各種摩擦力之后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖1所示：圖1：直線

4、一級(jí)倒立擺模型系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)定義如下：m 小車質(zhì)量m 擺桿質(zhì)量b 小車摩擦系數(shù)l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度i 擺桿質(zhì)量f 加在小車上的力x 小車位置 擺桿與垂直方向上方向的夾角 擺桿與垂直方向下方向的夾角（擺桿的初始位置為豎直向下）圖2為小車和擺桿的受力分析圖。其中，n和p為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。 圖2：小車和擺桿受力分析圖應(yīng)用牛頓方法來建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程過程如下：分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下的方程：由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面的等式：將此等式代入上述等式中，可以得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直方向上的合力

5、進(jìn)行分析，可以得到下面的方程：力矩平衡方程如下：因?yàn)榇朔匠讨辛氐姆较?，由于故等式前面有?fù)號(hào)。合并這兩個(gè)方程，約去p和n，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：微分方程模型設(shè)=+，當(dāng)擺桿與垂直向上方向之間的夾角與1（單位是弧度）相比很小時(shí)，即1時(shí)，則可以進(jìn)行如下近似處理：線性化后得到該系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的微分方程表達(dá)式：傳遞函數(shù)模型對(duì)上述方程組進(jìn)行拉氏變換后得到：解上述方程可得輸入量為加速度，輸出量為擺桿擺角的傳遞函數(shù)：其中。輸入量為力，輸出量為擺角的傳遞函數(shù)：其中狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可寫成如下形式：解代數(shù)方程可得如下解：整理后可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程：對(duì)于質(zhì)量均勻分布的擺桿，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：代入微分方

6、程模型中得：化簡(jiǎn)后可得：設(shè)則有：實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)如下：m 小車質(zhì)量，0.5kg;m 擺桿質(zhì)量，0.2kg;b 小車摩擦系數(shù)，0.1n/m/sec；l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度，0.3m;i 擺桿質(zhì)量，0.006kgmm；t 采樣時(shí)間，0.005s。將上述系統(tǒng)參數(shù)代入可得系統(tǒng)實(shí)際模型。擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)：擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)：擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)：以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：在固高科技提供的控制器設(shè)計(jì)和程序中，采用的是以小車的加速度作為系統(tǒng)的輸入，如果采用力矩控制的方法，可以參考以上把外界作用力作為輸入的格式。二

7、、一階倒立擺控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和數(shù)字仿真2.1階躍響應(yīng)分析由上面得到的系統(tǒng)狀態(tài)方程，對(duì)其進(jìn)行階躍響應(yīng)分析。得到如下的階躍響應(yīng)結(jié)果：圖3：直線一級(jí)倒立擺單位階躍響應(yīng)仿真由階躍響應(yīng)曲線可以看出在單位階躍響應(yīng)作用下，小車位置和擺桿角度都是發(fā)散的。2.2直線一級(jí)倒立擺pid控制器設(shè)計(jì)pid控制器是一種線性控制器，它根據(jù)給定值與實(shí)際輸出值構(gòu)成偏差值。將偏差的比例、積分、微分通過線性組合構(gòu)成控制量，對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行控制，故稱為pid控制器。其控制律為：kp 比例系數(shù)；ki 積分系數(shù)；td 微分時(shí)間常數(shù)。pid控制器設(shè)計(jì)要求：設(shè)計(jì)pid控制器，使得當(dāng)在小車上施加0.1n的階躍信號(hào)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為：（1）穩(wěn)定

8、時(shí)間小于5秒；（2）穩(wěn)態(tài)時(shí)擺桿與垂直方向的夾角變化小于0.1弧度。圖4：直線一級(jí)倒立擺pid控制matlab仿真模型通過不斷地調(diào)整pid控制器的參數(shù)可得，當(dāng)kp=100，ki=100，kd=15時(shí)，系統(tǒng)的指標(biāo)如下：系統(tǒng)的飛升時(shí)間tp=0.07s；系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間ts=0.92s(=5%)；系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間ts=1.5s(=2%)；系統(tǒng)的超調(diào)量=19%。圖5：直線一級(jí)倒立擺pid控制仿真結(jié)果圖（kp=100，ki=100，kd=15）如圖5所示為擺桿角度響應(yīng)曲線，在0.07s時(shí)其超調(diào)量=19%；當(dāng)=5%時(shí)，其調(diào)整時(shí)間ts=0.92s；當(dāng)=2%時(shí)，其調(diào)整時(shí)間ts=1.5s。由以上系統(tǒng)指標(biāo)分析可知，當(dāng)k

9、p=100，ki=100，kd=15時(shí)系統(tǒng)可以較好地穩(wěn)定，其調(diào)整時(shí)間在5s以內(nèi)，10s之后在系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)擺桿與垂直方向的夾角變化在0.1rad附近，其穩(wěn)態(tài)誤差較小。由以上可以看出，整個(gè)系統(tǒng)性能基本上滿足設(shè)計(jì)要求。圖6：直線一級(jí)倒立擺pid控制仿真小車位置曲線由圖6可以看出，由于pid控制器為單輸入單輸出系統(tǒng)，所以只能控制擺桿的角度，并不能控制小車的位置，所以小車會(huì)朝一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)代控制理論中的多輸入多輸出系統(tǒng)可以在控制擺桿角度的同時(shí)控制小車的位置。2.3直線一級(jí)倒立擺狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制器設(shè)計(jì)現(xiàn)代控制理論主要是依據(jù)現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具，將經(jīng)典控制理論的概念擴(kuò)展到多輸入多輸出系統(tǒng)。極點(diǎn)配置法通過設(shè)計(jì)狀態(tài)

10、反饋控制器將多變量系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置在期望的位置上，從而使系統(tǒng)滿足瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)。設(shè)計(jì)要求：用極點(diǎn)配置方法設(shè)計(jì)控制器，使得在小車上施加0.1n的階躍信號(hào)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為：（1）要求系統(tǒng)調(diào)整時(shí)間小于3s（2）穩(wěn)態(tài)時(shí)擺桿與垂直方向的夾角變化小于0.1弧度狀態(tài)方程為：選擇控制信號(hào)：可解得：直接利用matlab極點(diǎn)配置函數(shù)k，prec，message=place(a，b，p)來計(jì)算。選取調(diào)整時(shí)間ts=2.0s，阻尼比為=0.5，可得期望的閉環(huán)極點(diǎn)：u3，u4為一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)，u1，u2距離閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)5倍，所以可忽略其對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)的影響。圖7：倒立擺極點(diǎn)配置仿真框圖由place（a，b，p

11、）函數(shù)計(jì)算出的反饋矩陣：圖8可以看出，在干擾的情況下，系統(tǒng)在3s之內(nèi)基本上可以恢復(fù)到新的平衡位置。圖8：直線一級(jí)倒立擺狀態(tài)空間極點(diǎn)配置 simulink仿真結(jié)果圖三、一階倒立擺試驗(yàn)調(diào)試3.1直線一級(jí)倒立擺pid控制實(shí)驗(yàn)采用固高科技的一級(jí)倒立擺模型進(jìn)行pid控制器實(shí)物調(diào)試，系統(tǒng)框圖如圖9所示：圖9：直線一級(jí)倒立擺matlab-pid實(shí)時(shí)控制界面由實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖10所示可看出系統(tǒng)較穩(wěn)定，調(diào)節(jié)過程比較平穩(wěn)，干擾作用下，系統(tǒng)能很快回到平衡位置，說明這組pid參數(shù)具有較好的控制效果,滿足設(shè)計(jì)要求。圖10：直線一級(jí)倒立擺pid控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果3.2直線一級(jí)倒立擺極點(diǎn)配置控制實(shí)驗(yàn)采用固高科技的一級(jí)倒立擺模型進(jìn)行pi

12、d控制器實(shí)物調(diào)試，系統(tǒng)框圖如圖11所示：圖11：直線一級(jí)倒立擺matlab-極點(diǎn)配置實(shí)時(shí)控制界面圖12：直線一級(jí)倒立擺狀態(tài)空間極點(diǎn)配置實(shí)時(shí)控制結(jié)果在給倒立擺施加干擾后，系統(tǒng)的響應(yīng)如圖12所示，系統(tǒng)的穩(wěn)定時(shí)間在3s之內(nèi)，達(dá)到設(shè)計(jì)要求。四、結(jié)論本次課程設(shè)計(jì)運(yùn)用pid控制理論和現(xiàn)代控制理論的極點(diǎn)配置方法對(duì)直線一級(jí)倒立擺控制進(jìn)行了分析，并用simulink進(jìn)行了倒立擺的系統(tǒng)仿真和實(shí)物仿真。通過實(shí)驗(yàn)，得到如下結(jié)論：(1) 對(duì)于具有非線性、多變量等特點(diǎn)的倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行系統(tǒng)分析，分析其非線性因素，在誤差允許的范圍內(nèi)忽略某些次要因素將其線性化。(2) pid控制方法可以實(shí)現(xiàn)倒立擺的良好控制，但是pid控制的不足在于單變量控制，不能同時(shí)控制小車的位移和擺角。而