相似三角形等積式比例式

1、專題：相似三角形的判定相似三角形的知識與圓有著密切的聯(lián)系， 所以我們一定要把這部分知識學好， 為學習圓這部分知識打下 良好基礎。我們本講重點研究兩個問題：一、比例式，等積式的證明；二、雙垂直條件下的證明與計算。 一、等積式、比例式的證明：等積式、比例式的證明是相似形一章中常見題型。因為這種問題變化很多，同學們常常感到困難。但是，如果我們掌握了解決這類問題的基本規(guī)律，就能找到解題的思路。（一）遇到等積式（或比例式）時，先看是否能找到相似三角形。等積式可根據(jù)比例的基本性質(zhì)改寫成比例式，在比例式各邊的四個字母中如有三個不重復的字母，就 可找出相似三角形。例 1、 已知：如圖， ABC中， ACB=9

2、00， AB的垂直平分線交 AB于 D， 交 BC延長線于 F。求證： CD2=DE DF。分 析：我們將此等積式變形改寫成比例式得： ，由等式左邊得到CDF，由等式右邊得到 EDC，這樣只要證明這兩個三角形相似就可以得到要證的等積式了。因為 CDE是公共角，只需證明 DCE=F 就可證明兩個三角形相似。證明略（請同學們證明）提示 :D 為直角三角形斜邊 AB的中點 , 所以 AD=DC, 則 DCE= A.（二）若由求證的等積式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，則需要進行等線段代換或 等比代換。有時還需添加適當?shù)妮o助線，構造平行線或相似三角形。例 2如圖，已知 ABC中， AB=A

3、C，AD是 BC邊上的中線， CF BA， BF交 AD于 P點，交 AC于 E點。 求證： BP2=PE PF。分析：因為 BP、PE、PF 三條線段共線，找不到兩個三角形，所以必須考慮等線段代換等其他方法，因 為 AB=AC，D 是 BC中點，由等腰三角形的性質(zhì)知 AD是 BC的垂直平分線，如果我們連結 PC，由線段垂直平 分線的性質(zhì)知 PB=PC，只需證明 PEC PCF，問題就能解決了。證 明：例 3如圖，已知：在 ABC中， BAC=900， AD BC，E是 AC的中點， ED交 AB的延長線于 F。分 析：比例式左邊 AB，AC在 ABC中，求證：右邊 DF、AF在 ADF中，這

4、兩個三角形不相似，因此本題需經(jīng)過中間比進行代換。通過證明兩套三角形分別相似證得結論。證明： BAC=90， ADBC， ADB=ADC= BAC=900， 1+2=900， 2+C=900， 1=C， ABD CAD， ， 又E是 AC中點， DE=EC， 3= C，又 3=4， 1=C， 1= 4，又有 F=F， FBD FDA， ， (等比代換)、雙垂直條件下的計算與證明問題：雙垂直”指：“ RtABC中， BCA=900， CDAB于 D”，（如圖）在這樣的條件下有下列結論：1) ADC CDB ACB（3）（4）（5）（6） 我們 例（2）由 ADC CDB得 CDAC= ，AD=2；

5、 AD=5， DB=； BD=4， AB=29。分 析：運用雙垂直條件下的乘積式及勾股定理，已知兩條線段的長就可求出其他四條線段的長。解： RtABC中， ACB=90， CDAB于 D，=AD BD 由 ADC ACB得 AC2=AD AB 由 CDB ACB得 BC2=BD AB 由面積得 AC BC=AB CD 勾股定理 應熟記這些結論，并能靈活運用。4 如圖，已知 RtABC中， ACB=900， CDAB于 D，根據(jù)下列各條件分別求出未知所有線段的長：1) AC=3， BC=4；1) AC=3， BC=4，由勾股定理得 AB=5，AC2=ADAB， AD= ， BD=AB-AD=5-

6、 = ，CDAB=ACBC， CD=（或利用 CD2=AD BD來求）（2） AC= ，AD=2，AC2=ADAB，CD=，BD=AB-AD， BD= -2= ， BC2=BD AB，且 BC0，3） AD=5，DB=，且 CD2=AD BD， CD=12AB=AD+BD=AC2=ADAB， AC=13BC2=BDAB，BC=（4） BD=4，AB=29，BC2=BDAB， BC=2 AD=AB-BD=29-4=25，AC2=ADAB， AC=5 ，CD2=ADBD， CD=10例 5已知：如圖，矩形 ABCD中， AB： BC=5：6，點 E在BC上，點 F在 CD上， EC= BC， FC

7、= CD， FG AE于 G。求證： AG=4GE。分析：圖中有直角角形，充分利用直角三角形的知識，設AB=5k， BC=6k(k0) ，則 EC= BC=k,FC= CD= AB=3k，得 DF=2k，由勾股定理可得AE2=AB2+BE2=50k2， EF2=EC2+FC2=10k2，AF2=AD2+DF2=40k2，所以 AE2=EF2+AF2由勾股定理逆定理得 Rt AFE，又 因為 FG AE，具備雙垂直條件，問題的解決就有了眉目。證 明： AB：BC=5： 6，設 AB=5k, BC=6k (k0),在矩形 ABCD中，有CD=AB=5k, BC=AD=6k, B= C=D=900,

8、EC= BC, EC= 6k=k, BE=5k,FC= CD, FC= 5k=3k,DF=CD-FC=2k，在 Rt ADF中，由勾股定理得AF2=AD2+DF2=36k2+4k2=40k2，同理可得 AE2=50k2, EF 2=10k2，2 2 2 2 2 2 AF2+EF2=40k2+10k2=50k2=AE2, AEF是 Rt (勾股定理逆定理)， FGAE， AFE FGE，EF2=GEAE， AE=5 k GE=k, 4GE=4 k, AG=AE-GE=5 k-k=4 k,AG=4GE.例 6已知：如圖， RtABC中, ACB=900，CDAB于 D，DEAC于 E， DFBC于

9、 F。 求證： AE BFAB=CD3。證 明： RtABC中, ACB=90， CDAB，CD2=ADBD，CD4=AD2BD2， 又 RtADC中，DEAC，RtBDC中， DF BC，22AD2=AEAC，BD2=BFBC， CD4=AEBFACBC， 又 AC BC=AB CD， CD4=AEBFABCD， AEBFAB=CD3 說明： 本題幾次用到直角三角形中的重要等積式。請同學們熟記這些重要的等積式，并能運用它們解 決問題。測試選擇題1如圖所示，在矩形 ABCD中， AEBD于 E，S矩形 40cm2， SABESDBA15，則 AE的長為（）A. 4 cm B. 5 cm C.

10、6 cmD. 7 cmAE 交 BD于點 F，已知 BE EC3 1， SFBE 18，則 SFDA2如 圖，在 ABCD中， E 是 BC上的一點， 的大小為（ ）。A. 24 B. 30BC于 F，則 AEG的面積與四邊形BEGF的面積比為（）A. 1 2B. 14C. 4 9D. 23C. 32 D. 123如圖，在正方形 ABCD中，點 E 在 AB邊上，且 AEEB21，AFDE于 G，交4如圖， ABC的底 邊 BC a，高 ADh， 矩形 EFGH內(nèi)接于 ABC，其中 E、 F分別在邊 AC、AB上， G、 H 都在 BC上，且 EF2FG。則矩形 EFGH的周長是（ ）。B.A

11、.C.D.5如 圖，在 ABC中，m3。那么B ADE CAD，設 EBD、 ADC、ABC的周長依次為、m2、A. 2B. 4的值是 （ ） 。C.D.答案與解析答案： 解析： 1解 ABE DBA。1、A 2 、C 3 、 BAD 90，4 、B 5、DAEBD， S ABE SDBAAB DB。 S ABE S DBA 1 5， AB2DB21 5， AB DB 1 。設 AB k，DBk，則 AD。2 S 矩形 40cm2， k 2k 40。 BD AD4SABD BDAE 20， 10AE 20 AE 4（ cm）。故選 A。2C。3分析 易證 ABF DAE。故知 BF AE。因

12、AEEB21，故可設 AE2x， EBx，則 AB 3x，BF2x。由勾股定理得 AF 。易證 AGE ABF。可得 SAGE SABF AE2 AF2（ 2x）2（）2 413。FG與高 AD h 的關系。EF可得 SAGE S四邊形 BEGF 49。 故選 C。4分析：由題目條件中的 EF 2FG得，要想求出矩形的周長，必須求出BC 得 AFE ABC，則 EF與高 h 即可聯(lián)系上。解：設 FG x，則 EF 2FG， EF2x。 EF BC， AFE ABC。又 ADBC，設 AD交 EF于 M，則 AM EF。 即。解之，得 x 矩形 EFGH的周長為 6x 。評注：此題還可以進一步求

13、出矩形的面積。 若對題目再加一個條件： AB AC，那么還可證出 FG 方法一 ：過點 A作 AMBC，垂足為點 M. ABC FCD， BC=2CD， ， 又 SFCD=5， S ABC=20. SABC= BC AM， BC=10， 20= 10 AM， AM=4.又 DE AM，. DM= DC= ， BM=BD+D，MBD= BC=5， BGCH。 通過這些聯(lián)想，就會對題目的內(nèi)在的聯(lián)系有更深的理解，也會提高自己的數(shù)學解題能力。5解析： 由 CAD ADE，得 ACDE， ABC EBD，又 B CAD，C C， ABC DAC。 ABC EBD DAC。即 EBD DAC ABC。再利

14、用相似三角形的周長比等于相似比即可得出。中考解析例 1 （ 重慶市）如圖，在 ABC中， BAC90， D是 BC中點， AEAD交 CB延長線于點 E，則結 論正確的是（ ）（A） AED ACB （B） AEB ACD （ C） BAE ACE （ D） AEC DAC 考點：相似三角形的判定評析：思路：根據(jù)相似三角形的判定方法，用排除法結合條件易選出正確選項。答案為 C. 例2（河北?。┮阎喝鐖D，在 ABC中，D是BC邊上的中點，且 AD=AC，DEBC，DE與 AB相交于 點 E， EC 與 AD 相交于點 F。（1）求證： ABC FCD；（2）若 SFCD=5，BC 10，求 D

15、E的長。 考點：相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì) 評析：思路：第 1問因 AD=AC， ACB=CDF，又 D是 BC中點， EDBC， B= ECD， ABCFCD。第 2問利用相似三角形的性質(zhì)，作AMBC于 M，易知 SABC=4SFCD。SABC=20，AM=4，又 AM ED，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，及中點，可以求出DE。證明：（ 1） DEBC，D 是 BC中點，EB=EC， B= 1. 又 AD=AC， 2= ACB， ABC FCD. DE= .說明：本題也可運用 ABC FCD，由相似比為 形等底、等高，則面積相等”，求出SABC=20. 方 法二 ：作 FH BC，垂足為點 H. SFCD= DC FH，又 SFCD=5，DC= BC=5，2，證出 F是 AD的中點，通過“兩三角5= 5 FH， FH=2.過點 A作 AM BC，垂足為點 M， ABC FCD， ， AM=4.又 FH AM， ，點 H 是 DM的中點 .又 FH DE，.HC=HM+MC= ， DE= .例 3（河南?。┤鐖D，點 C、D 在線段 AB上， PCD是等邊三角形。（1）當 AC、 CD、 DB滿足怎樣的關系時， ACP PDB？（2）當 ACP PDB時，求 APB的度數(shù)。 考點：相似三角形的判定及性質(zhì)。評析：本題