正項級數(shù)斂散性的判別方法剖析

1、正項級數(shù)斂散性的判別方法摘要 :正項級數(shù)是級數(shù)內(nèi)容中的一種重要級數(shù)，它的斂散性是其基本性質(zhì)。正項級數(shù)斂散性的判別方法雖然較多， 但是用起來仍有一定的技巧， 歸納總結(jié)正項級數(shù)斂散性判別的一些典 型方法， 比較這些方法的不同特點， 總結(jié)出一些典型判別法的特點及其適用的正項級數(shù)的特 征。根據(jù)不同級數(shù)的特點分析、判斷選擇適宜的方法進行判別，才能事半功倍。關(guān)鍵詞 :正項級數(shù)；收斂；方法；比較；應(yīng)用1 引言數(shù)項級數(shù)是伴隨著無窮級數(shù)的和而產(chǎn)生的一個問題，最初的問題可以追溯到公元前五世紀， 而到了公元前五世紀，而到了公元 17、 18 世紀才有了真正的無窮級數(shù)的理論。英國教學(xué)家 Gregory J（16381

2、675）給出了級數(shù)收斂和發(fā)散兩個術(shù)語從而引發(fā)了數(shù)項級數(shù)斂散性廣泛而 深入的研究， 得到了一系列數(shù)項級數(shù)的判別法。 因而， 判斷級數(shù)的斂散性問題常常被看作級 數(shù)的首要問題。 我們在書上已經(jīng)學(xué)了很多種正項級數(shù)斂散性的判定定理， 但書上沒有做過多 的分析。我們在實際做題目時， 常會有這些感覺： 有時不知該選用哪種方法比較好；有時用 這種或那種方法時，根本做不出來，也就是說，定理它本身存在著一些局限性。因此，我們 便會去想，我們常用的這些定理到底有哪些局限呢？定理與定理之間會有些什么聯(lián)系和區(qū)別 呢？做題目時如何才能更好得去運用這些定理呢？這就是本文所要討論的。2 正項級數(shù)斂散性判別法2.1 判別斂散性

3、的簡單方法由 級數(shù) 收 斂的 基本 判 別定 理 柯西 收斂 準 則:級 數(shù)un 收 斂n10 , N N , n N, p 有N,un 1 un 2un p 。取特殊的 p 1，可得推論：若級數(shù)un 收斂，則 lim un n 1 n2.2 比較判別法定理一（比較判別法的極限形式）設(shè) un 和 vn 為兩個正項級數(shù)，n 1 n 1且有 lim un l ，于是n vn1）若 0 l ，則 un與 vn 同時收斂或同時發(fā)散。 n1 n 12）若 l 0，則當vn收斂時，可得un 收斂。n1 n 1（3）若l，則當 vn發(fā)散時，可得un 發(fā)散。n 1 n 1 正項級數(shù)斂散性的判別法在高等數(shù)學(xué)課本

4、中所涉及的主要有： 比較判別法、 比值判別法 和根植判別法。 由于比值法與根值法的固定模式， 其使用較為方便。 但比較判別法在應(yīng)用時， 由于需要對原有級數(shù)進行適當?shù)姆趴s， 選擇與之比較的對象級數(shù)， 學(xué)生學(xué)習(xí)時都感到難度較 人。2.2.1當所求級數(shù)的通項中出現(xiàn)關(guān)于 n的有理式時，將借助無窮小量 （無窮大量 ）階的概念來分 析比較判別法的使用，進而給出如何選擇比較對象的快捷方法。由于 lim un 0時，級數(shù)un 必發(fā)散。從而，只需考慮 lim un 0時，正項級數(shù)un的斂n n 1 n n n1 n散性判別。 借助“無窮小量階的比較” ，即無窮小量趨丁零速度的比較這一概念，上述的（1）、（2）、

5、（3）可以等價理解為1）當 0 l，即un與vn是同階無窮小量（ n ）時， un與 vn 同斂散。n ）時，必有un 收斂。n1n 1 n 12）當 l 0 且 vn 收斂，即 un 是較 vn 的高階無窮小量（ n1（ 3）若 l且 vn 發(fā)散，即 un 是較 vn 的低階無窮小量（ n ）時，可得un 發(fā)n 1 n 1 散。這表明正項級數(shù)收斂與否最終取決于其通項趨于零的速度，即無窮小量階的大小。 因此可以通過無窮小量 （或者無窮大量 ）階的比較， 簡化 un 的通項 un 或?qū)?un 進行適當放縮， 進 n1而利用已知級數(shù)的斂散性來判別 un 的斂散。 n1例 1、判別級數(shù)ln2n 和n

6、n 的斂散性。2nn 1 n n1 2 n分析：在實際題目中，常見的無窮大量有l(wèi)nn， na a 0 ,an a 1 等。其發(fā)散的速度：在 n時， ln n na a 0an a 1 。ln n na1 n n 1從而，（1）lnn2n nn2 n2結(jié)合比較判別法的使用。 故（1）中的比較對象 21a 的a的取值應(yīng)保證 2 a 1，即 0 a 1。n 2 aa, a 0,n ;2 2nnn nann na11, a 1,n 。12）中的比較對象 a 1 的 a 的取值應(yīng)保證 a 1 1，即 a 2。 a1nlnn12 解：（ 1）可取 a，有 lim n0。2 n 11又13 收斂，則由比較判

7、別法可知n 1 2n2n1ln2n也收n2斂。收斂。n2n n 2）可取 a 3 ，有 lim 2 n n12n10 。又 12 收斂，則由比較判別法可知 n1nn12nnn也使用正項級數(shù)比較判別法時需要熟記1P-級數(shù)1p 以及等比級數(shù)aqn 1 apn 1 n n 10,q 0 的斂散性， 再結(jié)合本文給出的利用階的概念對級數(shù)通項進行放縮的方法便能較快捷地選定常用作比較對象的 P-級數(shù)或等比級數(shù)的具體形式，準確判別出正項級數(shù)的斂散性。1 同樣，我們可以利用等價無窮小來判斷正項級數(shù)的斂散性，仍需熟記1P-級數(shù)1p 的斂散性。 2n 1 n p2.2.2 當所求級數(shù)通項中出現(xiàn)正弦函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)時，

8、利用不等式選取適當?shù)谋容^對象例 2：判別級數(shù)2n sin n 的斂散性。n 1 3n分析：考慮當 x 0 時，sin x x ，則nsi n ,3n 3，而 2n 1 3是公比q 23 1 的收斂級數(shù)，故原級數(shù)收斂。2.3 根值判別法以及兩個推廣 定理一（根值判別法的極限形式）有正項級數(shù)un ，若n1lim n un l ，則1）當 l 1 時，級數(shù)un 收斂。n12）當 l 1 時，級數(shù)un 發(fā)散。n12.3.1 一般的情況例 1：判別級數(shù)n12n 1n的斂散性。解：由于 limn unlim n nlim n 1 1 ，根據(jù)柯西判別法的推論，可得級nnn2n 1n 2n 1 2nn數(shù) n

9、收斂。n 1 2n 12.3.2 根值判別法推廣，若將判別極限 lim n un 更改為 lim n umn 或 lim n umn i ，則相應(yīng)結(jié)果 在一定條件下將比原判別方法更為精細，且應(yīng)用范圍也有所推廣。引理一 ：如果 un un 1 0 n 1,2, ， 則級數(shù)un 收斂當且僅當級數(shù)mnumn 收斂。n 1 n13引理二： 設(shè) un 與 vn 為兩個正項級數(shù)，且存在正整數(shù)N ，當 n N 時，不等式n 1 n 1umn i vmn i i 0,1,2, ,mn 1 mn 1 成立，則若級數(shù)vn 收斂必有級數(shù)un 收斂；n 1 n 1若級數(shù)un 發(fā)散必有級數(shù)vn 發(fā)散。n 1 n 111

10、，則當 時級數(shù)收斂；當 級數(shù)發(fā)散；而mm4定理二：設(shè) un 為正項級數(shù)，m 為大于 1 的自然數(shù)。若級數(shù)通項滿足 n1un 1 vn n 1,2,3, ,lnim n umn1當 時，級數(shù)的斂散性不能判定。 m定理三：設(shè) un 為正項級數(shù)，n1m為大于 1 的自然數(shù)。如果limnumn i 其中111i 0,1, 2, m,n 1 mn ，1則當時級數(shù)收斂； 當 級數(shù)發(fā)散； 而當 時，mmm級數(shù)的斂散性不能判定。 4 定理二、三給出的判別法較根值判別法更為精細。定理的應(yīng)用不再詳細舉例，比如對級數(shù)33ne 3n 及 nn1 n 1 3或定理三其斂散性即可判別。2.4 達朗貝爾判別法 （比值判別法

11、 ）及其推廣2 1 n，值或根值判別法不能判別其斂散性，但用本文的定理二定理三（比值判別法的極限形式） ：有正項級數(shù)un（un 0），且 lim un 1 ln n n u n 1 un1)當 l 1時，級數(shù)un 收斂。n12)當 l 1時，級數(shù)un 發(fā)散。n12.4.1 一般的情況例 1：判別級數(shù)的斂散性。貝爾判別法的推論知，級數(shù)nn! 收斂。n1n2.4.2 比值判別法的推廣，在借鑒比值判別法的基礎(chǔ)上， 分析給出了判斷正項級數(shù)斂散性的一種方法。通過對構(gòu)成正項級數(shù)的解析式進行定理一： 設(shè) y f (x) 是取值為正且可導(dǎo)的函數(shù)。1)如果存在負數(shù) a ，使得當 x 足夠大時有 f xfxa ，

12、則正項級數(shù)f n 收斂；n02)如果存在正數(shù) b ，使得當 x 足夠大時有3)如果不存在滿足以上條件的實數(shù)，則正項級數(shù) f n 可能收斂，也可能發(fā)散。 5 n0和 n n 的斂散性則可用上 n 1 lnn n 1 lnnn定理一的應(yīng)用不再詳細舉例，比如對級數(shù)nn 、3n 1 2n述的定理。 52.5 比式與根式審斂法的推廣 正項級數(shù)的審斂法有很多種， 其中以達朗貝爾比值審斂法與柯西根值審斂法是最基礎(chǔ)也是使 用頻率最高的兩種方法。 一般情況下， 這兩種審斂法都是分開來使用， 事實上將這兩種方法 結(jié)合在一起也可以得到一種新的審斂法。定理一： 設(shè) wn un vn,un 0,vn 0 n 1,2,

13、。若 lim n un u,lim vn v 。則 n n vn 11)當 uv 1 時，級數(shù)wn 收斂；n12)當 uv 1時，級數(shù)wn 發(fā)散； 6n1n例 1：判定級數(shù)n 1 tan2n 1 n 1 2n 的斂散性。2n 1解：設(shè) unn2n 1,vn n 1 tan 2n 1 。則lnim nunn1limn 2n 1lim vn n vn 1limnn 1 tan2n 1ntan n2nlimnn 1 2n 1 12n 2n由于 121 1 ，所以原級數(shù)4n 1 tann12n 1 2n 1收斂。 6上述判別法的出現(xiàn)，極大地拓寬了級數(shù)斂散性的判別范圍，簡化了級數(shù)的問題。2.6 積分判別

14、法f n 與反常積分同定理 一 （積分判別法 ）：設(shè) f 為 1, 上非負減函數(shù)， 那么正項級數(shù) 時收斂或同時發(fā)散。1例 1：證明調(diào)和級數(shù)1 發(fā)散。n1n0 ，即1 1 1 解：將原級數(shù) 1 換成積分形式 1dx ，由于1dx ln x|1n 1n 1 x 1 x1dx 發(fā)散，根據(jù)積分判別法可知，調(diào)和級數(shù)1 發(fā)散。 n1n2.7 拉貝判別法以及其推廣定理一（拉貝判別法的極限形式）：設(shè) un 為正項級數(shù)，且極限 n1lim nn1 un 1 r 存在， un1）當 r 1 時，級數(shù)un 收斂；n12）當 r 1 時，級數(shù)un 發(fā)散。n12.7.1 活用拉貝判別法1 3 2n 1例 1、判斷級數(shù)1

15、 3 2n 1 的斂散性。n 1 2 4 2n解：由于 n 1un 1nun1 2n 1 2 n 4n 31 2n 2 2n 21n所以原級數(shù)是發(fā)散的。2.7.2 拉貝判別法在判別的范圍上比比式判別法更廣泛，是根據(jù) n 1un 1 及其極限與 1 的un大小關(guān)系來鑒別斂散性。但是對有些級數(shù)仍無法判別其斂散性，如2n 1 !2n !，所以定理 2：設(shè) un 為正項級數(shù)，滿足n1uunn1 1 n11 f n g n1nln n 1，且許多作者對這些已知判別法作了研究與推廣。lim nln n 1 f n r ，則有 n1）若 r1,g n 0，則 un 收斂；n12）若 r 1,g n 0，則u

16、n發(fā)散。 7n1文獻4中判別正項級數(shù)un 斂散性的一個主要定理如下：n1u1定理 3：設(shè) un為正項級數(shù)且滿足 n 1 1 2 ，則有 n 1 nunnn21）當1 時，則級數(shù)un 收斂；n12）當1時，則級數(shù)un 發(fā)散。 8n1r1nln n 1顯然，定理 2 是上述的定理的改進。事實上，由定理un 1 1 1unn 1rnln n 1gn1nln n 1nln n 1n1r nln n 1 g nnln n 1nln n 1這里令 w nn ln n 1n1r n ln n 1 g n 。故1）若 r 1,g n 0 ，則必有 w n 1；1 r 12）若r 1,gn 0 ，則只要再假設(shè)

17、g n 滿足 g n ，就有 w n 1。 n 1 nln n 1例 1：判定級數(shù)2n 1 ! 1 的斂散性。n 2 2n ! 2n 1解：由于22 un 12 n 2n 2n 1 n 1 ! n 2 n1un2 n 2n n 1 n n3 n !n 22n n n 1 2 6n 5 ， 22n 2 2n 3 2n 2 2n 3由定理 2 的變形形式可知， lim nf n lim n 6n 5 3 ，故此級數(shù)收斂。 n n 2n 2 2n 3 2 易見此方法較 4 中例 1 的方法簡便。2.8 對數(shù)判別法2.8.1 簡單的對數(shù)判別法文獻 9給出了判別正項級數(shù)斂散性的一種對數(shù)判別法的極限形式，

18、就是比較ln 1unlim n ln n與1的大小來鑒別級數(shù)un 的斂散性。n12.8.2 非正常積分與正項級數(shù)的對數(shù)判別法 由于級數(shù)與反常積分在本質(zhì)上是相同的， 都是 “求和”運算， 只不過是對兩種不同的變量求 和，因此，文獻 9 將反常積分的對數(shù)審斂法推廣到級數(shù)中去，從而得到正項級數(shù)斂散性的 對數(shù)審斂法。第一對數(shù)審斂法是計算 lim ln un 與 0 的大小，第二對數(shù)審斂法是計算 nn11lim ln ln 與 0 的大小來鑒別斂散性。nun 1un2.8.3 正項級數(shù)比值對數(shù)判別法而文獻 11 則是巧用麥克勞林級數(shù)展開式 ln 1 1 n n 給出了一種比值對 n數(shù)判別法。對數(shù)判別法和

19、非正常積分與正項級數(shù)的對數(shù)判別法分別給出了兩種不同形式對數(shù)判別法的， 根據(jù)級數(shù)的形式選擇合適的判別法， 與非正常積分與正項級數(shù)的對數(shù)判別法比較對數(shù)判別法 主要適用于判別冪指形級數(shù)的斂散性。2.9 其他判別法2.9.1 阿貝爾判別法設(shè)級數(shù) anbn ，若 an 為單調(diào)有界數(shù)列，且級數(shù)bn 收斂，則級數(shù)anbn 收斂。2.9.2 狄利克雷判別法設(shè)級數(shù) anbn ，若 an 為單調(diào)遞減，且 lim an 0 又級數(shù) bn 的部分和數(shù)列有界，則級數(shù) nanbn收斂。3 正項級數(shù)斂散性判別方法比較3.1 當級數(shù)可化為含參數(shù)的一般式、通項為等差或等比值或通項為含二項以上根式的四則運 算且通項極限無法求出時

20、，可以選用正項級數(shù)的充要條件即判別斂散性的簡單方法進行判 斷。13.2 當級數(shù)表達式型如,u n 為任意函數(shù)、 級數(shù)一般項如含有 sin ,cos 等三角函數(shù)的因子un可以進行適當?shù)姆趴s，并與幾何級數(shù)、 P級數(shù)、調(diào)和級數(shù)進行比較 nlim uunn1 , nlim nun不易算出或 lim un 1 1,lim n un 1，等此類無法判斷級數(shù)收斂性或進行有關(guān)級數(shù)的證明問題n u nn時，應(yīng)選用比較判別法。 比較判別法使用的范圍比較廣泛， 適用于大部分無法通過其他途徑 判別其斂散性的正項級數(shù)。且具體的當所求級數(shù)的通項中出現(xiàn)關(guān)于n 的有理式時，將借助無窮小量 （無窮大量 ）階的概念來分析比較判別

21、法的使用，如 2.2 中的例 1；當所求級數(shù)通項中出現(xiàn)正弦函數(shù)或?qū)?shù)函 數(shù)時，利用不等式選取適當?shù)谋容^對象如 2.2 中的例 2。n13.3 當級數(shù)含有 n次冪，形如 an 或通項 unp 即分母含有含 ln x的函數(shù)，分子為 1，n nln p n或級數(shù)含有多個聚點時，可選用根值判別法。且 2.3 中給出的定理二、三給出的判別法較根 值判別法更為精細，且應(yīng)用范圍也有所推廣。3.4 當級數(shù)含有階 n 次冪，型如 a!或 a n或分子、分母含多個因子連乘除時， 選用比值判別法。3.5 凡能由比式判別法鑒別收斂性的級數(shù)，它也能由根式判別法來判斷，而且可以說，根式 判別法較之比式判別法更有效， 但是

22、他們有一定的局限性。 一般情況下， 這兩種判別法都是 分開來使用， 事實上將這兩種方法結(jié)合在一起也可以得到一種新的判別法：比式與根式審斂法的推廣。極大地拓寬了級數(shù)斂散性的判別范圍，簡化了級數(shù)的問題。如2.5 中的例 1，用比式與根式審斂法的推廣比較簡單的判斷出它的斂散性。3.6 當級數(shù)表達式型如11 , un 為含有 ln n 的表達式或 un1 可以找到原函數(shù)，或級數(shù) unun 為1, 上非負單調(diào)遞減函數(shù)， un 含有 sin x,cos x 等三角函數(shù)的因子可以找到原函數(shù)，可以 選用積分判別法。3.7當級數(shù)同時含有階層與 n次冪，形如 an與 a!時，或使用比值、根式判別法時極限等于1或無

23、窮無法判斷其斂散性的時候，選用拉貝判別法。雖然拉貝判別法在判別的范圍上比比式判別法更廣泛， 但是對有些級數(shù)仍無法判別其斂 散性，如 2.7 中例 1。因此，給出了拉貝判別法的推廣，它比拉貝判別法的判別范圍廣泛， 對于 2.7 中例 1 它可以很容易的就判別出其收斂性。3.8對于通項中含有 n!en因子及討通項中含有 n 1!n p的正項級數(shù)斂散性時， 拉貝判別法 不易施行。就這類情況，我們應(yīng)用 2.8 給出的比值對數(shù)判別法，該方法避開了求極限等繁瑣 過程，應(yīng)用更為方便。3.9當通項是由兩個部分乘積而成，其中一部分為單調(diào)遞減且極限趨于0 的數(shù)列，另一部分為部分和有界的數(shù)列，如含有 sin x,c

24、os x 等三角函數(shù)等，或形如sin un ,un 任意函數(shù)，bnln 3n 1等都 n 1 2n則可以選用阿貝爾判別法和狄利克雷判別法。 阿貝爾判別法也可以看成狄利克雷判別法的特, bn 1 1n n殊形式。例：設(shè)bn 收斂，則級數(shù)bn , bn nn 1 n1 n n1 n 1 n 1收斂。4 正項級數(shù)斂散性判別方法的總結(jié)判斷正項級數(shù)的一般順序是先檢驗通項的極限是否為0，若不為 0 則發(fā)散，若為 0則判斷級數(shù)的部分和是否有界， 有界則收斂， 否則發(fā)散。 若級數(shù)的一般項可以進行適當?shù)姆趴s則 使用比較判別法， 或可以找到其等價式用等價判別法。 當通項具有一定的特點時， 則根據(jù)其 特點選擇適用的方法， 如比值判別法、 根式判別法、 比式與根式審斂法的推廣或拉貝判別法。 當上述方法都無法使用時，根據(jù)條件選擇積分判別法、柯西判別法、對數(shù)判別法。 當無法使 用根式判別法時， 通常可以選用比值判別法， 當比值判別法也無法使用時， 使用比較判別法， 若比較判別法還是無法判別時再使用充要條件進行斷。由此， 我們可以得到正項級數(shù)的判別法是層層遞進使用的， 每當一種判別法無法判斷時， 就出現(xiàn)一種新的判別法來進行判斷， 因 此正項級數(shù)的