兩角和與差的余弦公式的五種推導(dǎo)方法之對(duì)比

1、僅供個(gè)人參考兩角和與差的余弦公式的五種推導(dǎo)方法之對(duì)比兩角和與差的余弦公式是三角函數(shù)恒等變換的基礎(chǔ)，其他三角函數(shù)公式都是在此公式基礎(chǔ)上變形得到的，因此 兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)作為本章要推導(dǎo)的第一個(gè)公式，往往得到了廣大教師的關(guān)注.對(duì)于不同版本的教材采 用的方法往往不同，認(rèn)真體會(huì)各種不同的兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)方法，對(duì)于提髙學(xué)生的分析問(wèn)題、提出問(wèn)題、 研究問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力有很大的作用下面將兩角和與差的余弦公式的五種常見(jiàn)推導(dǎo)方法歸納如下：方法一：應(yīng)用三角函數(shù)線推導(dǎo)差角公式的方法設(shè)角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)為Pi，z POP 1=6.則z P0x=a6.過(guò)點(diǎn)P作PM丄x軸，垂足為那么0M即為a

2、-6角的余弦線，這里要用表示a 8的正弦、余弦的線段來(lái)表示O/Vt過(guò)點(diǎn)P作丄0P1，垂足為A,過(guò)點(diǎn)A作丄X軸，垂足為B,再過(guò)點(diǎn)P作PC丄垂足為C,那么cos6 = OA, sr6=AP9 并且z PAC=z PiOx=a,于是 O/W=O3+BM=OB + CP=OAcosa+APsina=cos8cosa+sinBsina.綜上所述，=cos 比cos 聲 + sin Gsin 0?說(shuō)明：應(yīng)用三角函數(shù)線推導(dǎo)差角公式這一方法簡(jiǎn)單明了,構(gòu)思巧妙，容易理解.但這種推導(dǎo)方法對(duì)于如何能夠 得到解題思路,存在一走的困難.此種證明方法的另一個(gè)問(wèn)題是公式是在 0均為銳角的情況下進(jìn)行的證明，因 此還要考慮卩的

3、角度從銳角向任意角的掛廣問(wèn)題.方法二：應(yīng)用三角形全等、兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo)差角公式的方法設(shè)Pi(xi. yi), P2(X2. F2),則有|P1P2|=億一兀】十(乃一乃)在直角坐標(biāo)系內(nèi)做單位圓，并做出任意角e q+3和一0,它們的終邊分別交單位圓于P2、P3和 卩4 點(diǎn)，單位圓與 x 軸交 J Pi，則 Pi(l,O) P2(cosa, sina)、P3(cos(a+8), sin(a+8)、*2。乩Q).今。鳥(niǎo)=糾0爲(wèi)乂* , | J閔二隅|二|0劇二比|二1,.早遲|禍|二岡旬 , J(co$ (盤(pán)+#) +(siil (盤(pán)+ #) 二 J(cos a- cos (十(sin a-.2

4、一 2cos(d+ 0)= 2 -2cosQcos 一 2sin Qsin (一0)9.cos (&+ 0)= cos acos 0- sin sin Q cos (a- = cos a cos /3+sin orsin Q9? ?說(shuō)明：該推導(dǎo)方法巧妙的將三角形全等和兩點(diǎn)間的距離結(jié)合在一起，利用單位圓上與角工0有關(guān)的四個(gè)點(diǎn) 烈1,0),好(込工跑4),目(臨+0)3(氏+則)嚴(yán)(gos(0),sih(0)建立起等式關(guān)系，通過(guò)將等式的 化簡(jiǎn)、變形就可以得到符合要求的和角與差角的三角公式.在此種推導(dǎo)方法中，推導(dǎo)思路的產(chǎn)生是一個(gè)難點(diǎn),另外 對(duì)于 丘三點(diǎn)在一條直線和局三點(diǎn)在_條直線上時(shí)這一特殊情況”還

5、需要加以解釋、說(shuō)明.方法三：應(yīng)用余弦定理.兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo)差角公式的方法尸(cosG, sin ,2 (cos 禺 sin 0)則應(yīng)J( cos cos+(sin Q-siti 戸=2- 2(cosiTcos 4-sin or sin. )飪 OPQ 中，.0日0耳+|0娜-2|0刊Qf=l+l 2cosg0)cos (CL- 0)= cos 比 cos 0+ sin sin j3 ?說(shuō)明：此題的解題思路和構(gòu)想都是容易實(shí)現(xiàn)的因?yàn)橐髢山呛团c差的三角函數(shù)，所以構(gòu)造出和角和差角是必 須實(shí)現(xiàn)的.構(gòu)造出的和角或差角的余弦函數(shù)又需要和這兩個(gè)角的三角函數(shù)建立起等式關(guān)系，因此借助于余弦沱理、 兩點(diǎn)間的距

6、離公式建立起等式關(guān)系容易出現(xiàn)，因此此種方法是推導(dǎo)兩角和與差的余眩的比較容易理解的一種方法. 但此種方法必須是在學(xué)習(xí)完余弦左理的前提下才能使用，因此此種方法在必修四中又無(wú)法使用.另外也同樣需要考 慮P, 09Q三點(diǎn)在一條直線上的情況.方法四：應(yīng)用三角形面積公式推導(dǎo)推導(dǎo)差角公式的方法不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考設(shè)* 8是兩個(gè)任意角，把血8兩個(gè)角的一條邊拼在一起，頂點(diǎn)為6過(guò)B點(diǎn)作0B的垂線，交 a 另一邊于 交 8 另一邊于 Ct 則有 5aoac=Sz.o4b+S.ao8c.根據(jù)三角形面積公式,有+網(wǎng)0仙9+0)二扣刖0屮護(hù)c|o*|.|O4|0C|sin= |05|+|5C|0| .OB = O

7、Acosa= | sinp).OA OB= |M|o|cosf- ,6) = cqs4- 0) 由向量數(shù)量積的概念，有I II I I 由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有OA-OB= (cosd,sinQ) (cos 厲sin. )二 coscTcos 0+sinQsm &于是,有cos(G- 0)=CQSdCOS0+sin Qsin j3?說(shuō)明：應(yīng)用數(shù)量積推導(dǎo)余弦的差角公式無(wú)論是構(gòu)造兩個(gè)角的差，還是得到每個(gè)角的三角函數(shù)值都 是容易實(shí)現(xiàn)的，而且從向量的數(shù)量積的定義和坐標(biāo)運(yùn)算兩種形式求向量的數(shù)量積將二者之間結(jié)合起 來(lái)，充分體現(xiàn)了向量在數(shù)學(xué)中的橋梁作用.綜上所述，從五種不同的推導(dǎo)兩角和與差的余弦公式的過(guò)程可以看出，不同的推導(dǎo)方法體現(xiàn)出不 同的數(shù)學(xué)特點(diǎn)，不同的巧妙構(gòu)思，相同的結(jié)果.For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den personlichen fur Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour I etude et la recherche uniquement a des fins personnelles; pas a des fins commerci