穩(wěn)恒電流的閉合性及導(dǎo)電規(guī)律

1、第三章 穩(wěn)恒電流前幾章（真空、導(dǎo)體與電介質(zhì)）為靜電學(xué)，涉及靜止電荷的電現(xiàn)象；本章論 述有關(guān)運(yùn)動(dòng)電荷知識(shí)。帶電粒子運(yùn)動(dòng)伴有電量遷移而形成電流，若電流不隨 t 而改變，則稱為穩(wěn)恒電流，即直流 （DC）。研究方法：路論，重點(diǎn)以金屬導(dǎo)體為例研究規(guī)律及計(jì)算。 1 穩(wěn)恒電流的閉合性及導(dǎo)電規(guī)律一、電流 電荷的定向移動(dòng)形成電流。1、產(chǎn)生電流的條件 產(chǎn)生電流需要兩方面的條件：金屬中：自由電子 （本章以此為主 ）;存在可以自由移動(dòng)的電 荷,即載流子 電解液、氣體中：正負(fù) 離子、電子流 半導(dǎo)體中：電子、空穴 對(duì). 電場(chǎng)作用 （本章以此為主 ）;有迫使電荷作定向運(yùn)動(dòng) 的某種作用 化學(xué)作用 ; 機(jī)械作用等 .2 、電流

2、方向慣例規(guī)定： 正電荷流動(dòng)的方向。 多數(shù)情況下導(dǎo)電由負(fù)電荷引起， 而正電荷沿某方向定向運(yùn)動(dòng)與負(fù)電荷沿反方向運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生相同效果 （注：有例外，如霍耳效應(yīng)）。二、電流強(qiáng)度和電流密度矢量1、電流強(qiáng)度 I金屬中自由電子作無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)，即使在 T 0K ，仍 u熱 106 m s，但 u 熱 0 。故無(wú)宏觀凈電量遷移。定向運(yùn)動(dòng)形成宏觀凈電荷遷移，此定向運(yùn)動(dòng)為漂移運(yùn)動(dòng) v 需由電場(chǎng)提供力作 用來(lái)完成， v漂雖小，約為 10 4 ms 量級(jí)，但卻形成宏觀電流。電流強(qiáng)弱用電流強(qiáng)度 I 描述，定義如下：I dqdt1 / 11不涉及即導(dǎo)體中單位時(shí)間通過(guò)的某一給定截面的電量為通過(guò)該面的電流強(qiáng)度 導(dǎo)體截面E 粗細(xì)和截

3、面上電流詳細(xì)分布) 。 說(shuō)明 V(1) I 為標(biāo)量，單位為 : 安培( A) SI +制 中基本單位之一。1安 1庫(kù)秒 ， 1A 103mA 106 A(2) 僅粗略描述單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)某一曲面(可大可小、可任意形狀)的總電 量，不夠點(diǎn)點(diǎn)詳細(xì)，如圖 4-1 所示。s1B(b) 高頻趨膚(a) I 相同，但分布有別(c) 電阻法探礦 (d)用電流場(chǎng)模擬靜電場(chǎng)圖 4-1面引入電流密度矢量 J 詳細(xì)描述電流場(chǎng)分布2、電流密度矢量 JJ J(x,y,z) 是空間坐標(biāo)的矢函數(shù)，其定義為：大小 導(dǎo)體中某點(diǎn)垂直電流方 向單位時(shí)間、單位截面 通過(guò)的電量 J dq ;dt ds方向 沿該處正電荷運(yùn)動(dòng)方向 ，即電流

4、方向。2 / 11 說(shuō)明 (1) J 的單位為 Am2 ，一般 J J(r,t)，空間、時(shí)間而變，構(gòu)成矢量場(chǎng) - 電流場(chǎng)?？梢腚娏骶€、電流管的概念：電流線即 J 線，其上切向代表電流方向、數(shù)密度表示 J 的大??； 電流管即由 J 線圍成的管狀區(qū)域。例：導(dǎo)線表面為一自然電流管。(2) J 與電流密度 的關(guān)系 一種載流子： J v nqv ， v 為漂移速率， n 為荷電 q 的粒子數(shù)密度， 如圖 4-2 ； 多種載流子： Jivi 。即使 0 (電中性)，但并不代表 J 0 (因i為v 可不同)。s1hv圖 4-2圖 4-33、I 與 J 的關(guān)系 即強(qiáng)度與通量的關(guān)系，如圖 4-3 所示。 J

5、dq dI dt ds ds dI J ds J ds Jcos ds3 / 11J ds s類似于電通量與場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系： e E ds 。三、電流連續(xù)性方程 穩(wěn)恒電流的閉合性1、電荷守恒定律的數(shù)學(xué)表述研究 J 通量與電荷時(shí)間變化率 dq 的關(guān)系：在電流場(chǎng)中任取閉合面 S，其體dt積為 V，如圖 4-4 ，其內(nèi)含電荷總量 q t 為q t (r,t)dV圖 4-4單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)閉合面 S 流出的總電量為： J ds ，據(jù)電荷守恒， 此流出量 s必等于面 S 內(nèi)電荷的減少率，即dt此即電荷守恒定律的數(shù)學(xué)表述， 也稱之為電流連續(xù)性方程。 它表明電流場(chǎng)中電流 線是有頭有尾的起自正電荷減少處、止于正電荷

6、增加處。2、穩(wěn)恒電流條件及閉合性(1) 穩(wěn)恒電流條件一般 J J(r,t)，電流場(chǎng) J總是伴隨電場(chǎng) E(因?yàn)?E推動(dòng) q形成 J )，而該電4 / 11 場(chǎng)又是由導(dǎo)體各處(內(nèi)、外及表面上)分布著的電荷 所激發(fā)，即： E J欲使電流 J 穩(wěn)恒，即 J J ( r ) ，則需空間各處的 q 分布不隨 t 而變，有 dq 0，dt 由電荷守恒得穩(wěn)恒電流條件為J ds 0s(2) 穩(wěn)恒電流的閉合性由 J ds 0 可得穩(wěn)恒電流線的一個(gè)重要性質(zhì)閉合性：穩(wěn)恒電流從閉合面 S某處流入的電流線條數(shù)與流出數(shù)相等， 電流場(chǎng)中找不到 J 線的源和尾，即 J 線閉合而不中斷。J 線的閉合性就決定了穩(wěn)恒電路是閉合電路。

7、如圖 4-5 ，分析如下：QQcIRR(a) (b)圖 4-5在圖 4-5(a) 中，已充電的 C，讓其放電形成暫時(shí)電流， 空間 乃至 E 分布變化，因而 J 不穩(wěn)定；在圖 4-5(b) 中，若 C 換成電源，則電流線閉合。(3) 說(shuō)明點(diǎn)： 空間電荷分布不變，不意味著電荷不動(dòng)，而應(yīng)是動(dòng)態(tài)分布，即：任何地 方流失的電荷必被別處流來(lái)的電荷所補(bǔ)充。 穩(wěn)恒電流對(duì)應(yīng)的電場(chǎng)稱為穩(wěn)恒電場(chǎng)，仍遵從：1E ds 1 dV ， E dl 0s 0 v l故仍可有電勢(shì)概念， 不過(guò)相比靜電場(chǎng)， 穩(wěn)恒電場(chǎng)要求要放寬些， 靜電場(chǎng)僅為穩(wěn)恒 電場(chǎng)之特例。5 / 11四、歐姆定律(不含源)1、歐姆定律的積分形式欲形成電流 I

8、，則需電場(chǎng)力推動(dòng)電荷定向運(yùn)動(dòng)，有了 E ，在導(dǎo)體兩端就有電壓 U ，I 與 U 的關(guān)系滿足歐姆定律I U ，或 I GU R其中 R為電阻，反映導(dǎo)體對(duì)電流的阻礙作用， 單位： ，且1k=103,1M=10 任一或都不均勻時(shí)， 基于上述 R表示形式和電阻串聯(lián)規(guī)律， S、積分流動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)： (x, y, z), s (x, y,z) ，積分路徑 l 應(yīng)沿電流線方向， s取與J垂直面 ，如圖 4-6 。 。1G 1 稱為電導(dǎo)，反映導(dǎo)體對(duì)電流的導(dǎo)通能力，單位：西門(mén)子。R稱 I U 為歐姆定律的積分形式，是因?yàn)槠渲懈髁烤哂蟹e分形式： RI J ds sU l E dldls對(duì)于粗細(xì)均勻、材料均勻的導(dǎo)體

9、，其電阻為R當(dāng)導(dǎo)線的、s 式中為電阻率(單位：m)， l， s為幾何尺寸。而電導(dǎo)率為可見(jiàn)， R與電流方向有關(guān)。滿足歐姆定律的媒質(zhì)稱為歐姆媒質(zhì)。6 / 11 說(shuō)明兩點(diǎn) (1) 與R 是不同的物理量描寫(xiě)導(dǎo)體本身特性，與材料、溫度有關(guān)；R描寫(xiě)一段導(dǎo)體性質(zhì)，除與上述有關(guān)外，還與幾何形狀、尺度等有關(guān)。4-7(2) 導(dǎo)體或元件的伏安特性，有線性、非線性之分，其伏安曲線如圖 所示。線性時(shí)， R與 I 、U無(wú)關(guān)；非線性時(shí)， R與I 、U有關(guān)(如：二極管)。2、歐姆定律的微分形式 電流由電場(chǎng)推動(dòng)電荷形成，故 j E 有直接聯(lián)系如圖 4-8，J 與 E方向相同，有將 I J s,U7 / 11JE該式表明， J

10、與 E 點(diǎn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)，當(dāng)?shù)氐?E 推動(dòng)當(dāng)?shù)氐?形成 J 。 E 穩(wěn)恒，則 J 也穩(wěn) 恒；一旦 E 消失，則 J 也消失。 推廣 (1) 以上 E 指穩(wěn)恒場(chǎng)，非穩(wěn)恒場(chǎng)時(shí)也成立；(2) 以上不含非靜電場(chǎng)力對(duì)應(yīng)的場(chǎng) K ，而當(dāng)在電源內(nèi)時(shí)有J (E K)五、電功率 焦耳定律1、電功 電功率電流通過(guò)導(dǎo)體時(shí)， 正電荷從高電勢(shì)到低電勢(shì)。 若電路兩端電壓為 U ，則當(dāng) q單位的電荷通過(guò)它時(shí)，電場(chǎng)力做功為A qU IUt因而，電功為W A IUt而單位時(shí)間做功稱為電功率WP IUt表明：若兩端電壓 U ，流入電流為 I ，則此段電路吸收功率即為 IU，與該電路 中用電器的性質(zhì)無(wú)關(guān)。單位為： (1) 電功 A J,

11、1KW H =3.6 106 J 稱為一度電；3(2) 電功率 p W ,10KW =103 W。2、焦耳定律電流通過(guò)歐姆媒質(zhì)時(shí)，其電阻為 R ，則電能以熱的形式釋放。2 U 2 熱能： Q A IUt I 2Rtt ；R2- 焦耳定律；熱功率： P Q I 2R U tR8 / 11熱功率密度： p J EE2J2表示單位體積歐姆媒質(zhì)所耗熱功率推導(dǎo)如下：在導(dǎo)體內(nèi)，取 S=1、V=1 的截面體元，如圖 4-9 則I J, U E，代入 P IU ，得 p JE J E 。J2 對(duì)于歐姆媒質(zhì)， J E ，所以 p E J 。六、金屬導(dǎo)電的經(jīng)典微觀解釋1、金屬經(jīng)典電子論 金屬可視為晶格點(diǎn)陣上的原子

12、實(shí)（微振動(dòng)）與自由電子（熱運(yùn)動(dòng)）之集合。忽略電子間的相互作用，遵從 F ma （經(jīng)典?。?，電子與晶格的作用僅考慮碰撞 時(shí)，用一次碰撞理論（即一次碰撞，電子動(dòng)能即喪盡，散向何方隨機(jī)） 。如圖 4-10，當(dāng)無(wú)外電場(chǎng)時(shí)，自由電子參與無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng) v ，其平均值為零； 當(dāng)有外電場(chǎng)作用時(shí)， 自由電子參與兩種運(yùn)動(dòng)： 熱運(yùn)動(dòng) v（與 E 無(wú)關(guān)）、漂移運(yùn)動(dòng) u （與 E 有關(guān)），且 u v 。設(shè)電子數(shù)密度為 n，則形成宏觀電流為J u neu以下求 u（ u與E反向）2、歐姆定律的解釋9 / 11即導(dǎo)出電導(dǎo)率 與微觀量的關(guān)系圖 4-10圖 4-11自由電子在電場(chǎng) E 中獲得加速度： a e E 。因與晶格碰撞

13、受阻， 速度增加受限制m面考察相鄰兩次碰撞的細(xì)節(jié)：平均自由時(shí)間設(shè)相鄰兩次碰撞之間歷經(jīng) ，其間平均速率為平均自由程u3 u v v （ u v 熱運(yùn)動(dòng)速率）所以， ，且因 v 與 E 無(wú)關(guān)，故 也與 E 無(wú)關(guān)。在相鄰兩次之間，由初始漂移 u0 0 v至末速 u1 ，如圖 4-11，有u1 u0 a a求得自由程內(nèi)平均漂移速度為u0 u11eE2m將 代入之，得 vu 1 e E2 mv再將此式代入前述 J neu ，便得10 / 11J(ne22mv)E最后，將上式與以前 JE 對(duì)比，可得電導(dǎo)率為2 ne 2mv式中各量均與 E 無(wú)關(guān)，故 J 正比于 E ，解釋了歐姆定律。 理論評(píng)價(jià) 8 kTv T ( 據(jù)熱力學(xué) v vf(v) dv 8 kT v2 ，電子熱運(yùn)動(dòng))0m，即T ，表明：隨 T，電阻增大，與以前定性地一致。但可惜地是與實(shí)驗(yàn)結(jié)果 T 不符合。需借助量子理論加以解釋。至于焦耳定律的解釋，這里從略：其方法類似，考慮電子所獲動(dòng)能經(jīng)碰撞交給