直線與圓解法

1、高考中數(shù)學(xué)直線和圓的解法1、直線的傾斜角 ：（ 1）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與 x軸相交的直線 l ，如果把 x軸繞著交點(diǎn) 按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn) 到和直線 l 重合時(shí)所轉(zhuǎn)的 最小正角 記為 ，那么 就叫做直線的傾斜角。 當(dāng)直 線l 與x軸重合或平行時(shí)，規(guī)定傾斜角為 0；（ 2） 傾斜角的范圍 0, 。如（1）直線xcos3y 2 0的傾斜角的范圍是 （答： 0， 5 ， ） ）；（2）66過點(diǎn) P（ 3,1）,Q（0,m） 的直線的傾斜角的范圍 ,2 ,那么 m值的范圍是 （答：33m 2或m 4 ）2、直線的斜率 ：（ 1）定義：傾斜角不是 90的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率

2、 k ，即k tan （ 90） ；傾斜角為 90的直線沒有斜率；（2）斜率公式 ：經(jīng)過兩點(diǎn) P1（x1,y1）、P2（x2, y2 ）的直線的斜率為 k y1 y2 x1 x2 ；（3） x1 x2直線的方向向量 a （1,k） ，直線的方向向量與直線的斜率有何關(guān)系？4）應(yīng)用 ：證明三點(diǎn)共線： kAB kBC提醒：（ 1）直線的傾斜角 一定存在，但斜率不一定存在。（ 2）直線的傾斜角與斜率的變化關(guān)系：若直線存在斜率k，而傾斜角為 ，則 k=tan.當(dāng)傾斜角是銳角是，斜率 k隨著傾斜角的增大而增大。當(dāng) 是鈍角時(shí)， k與同增 減.（3）斜率的求法：依據(jù)傾斜角：牢記圖像依據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)： k y2

3、y1 x1 x2x2 x1依據(jù)直線方程：化為斜截式當(dāng)已知 k，求傾斜角 時(shí)：k0時(shí)， =arctank ；k0 時(shí)， = +arctank 。4）直線 l的方向向量之一： a 1，k你知道如何由直線的方向向量來求斜率嗎？）如 （1） 兩條直線斜率相等是這兩條直線平行的條件（答：既不充分也不必則 y 的最大值、最小值分別為 x要）；（2）實(shí)數(shù) x,y滿足 3x 2y 5 0 （1 x 3）， 23, 1）3、直線的方程 ：1）點(diǎn)斜式 ：已知直線過點(diǎn) （x0 , y0）斜率為 k ，則直線方程為 y y0 k（x x0） ,它不包括垂直于 x 軸的直線。2）斜截式：已知直線在 y軸上的截距為 b和

4、斜率 k ，則直線方程為 y kx b ,它不包括垂直于 x 軸的直線。3）兩點(diǎn)式：已知直線經(jīng)過 P1（x1,y1）、P2（x2,y2） 兩點(diǎn)，則直線方程為 y y1x x1y2 y1 x2 x1它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線。（4）截距式：已知直線在 x軸和 y 軸上的截距為 a ,b ,則直線方程為 x y 1 ，它不包括 ab垂直于坐標(biāo)軸的直線和過原點(diǎn)的直線。5）一般式 ：任何直線均可寫成 Ax By C 0（A,B 不同時(shí)為 0）的形式。如（1）經(jīng)過點(diǎn)（2，1）且方向向量為 v =（1, 3 ）的直線的點(diǎn)斜式方程是 （_ 答：y 1 3（x 2） ）；（2）直線（m 2）x （2m 1）y

5、 （3m 4） 0，不管 m怎樣變化恒過點(diǎn) （答： （ 1, 2）；（3）若曲線 y a|x|與 y x a（a 0）有兩個(gè)公共點(diǎn)，則 a的取值范圍是（答： a 1 ）提醒：（1）直線方程的各種形式都有局限性 .（如點(diǎn)斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截距 式呢？）；（2）直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為 0.直線兩截距相等 直線的斜率為 -1 或 直線過原點(diǎn)；直線兩截距互為相反數(shù) 直線的斜率為 1 或直線過原點(diǎn)；直線兩截距絕對(duì)值相等 直線的斜率為 1 或直線過原點(diǎn)如過點(diǎn) A（1,4） ，且縱橫截距的絕對(duì)值相等的直線共有 _條（答： 3）4. 設(shè)直線方程的一些常用技巧 ：（1）知直線縱截

6、距 b ，常設(shè)其方程為 y kx b ；2）知直線橫截距 x0 ，常設(shè)其方程為 x my x0 （它不適用于斜率為 0 的直線 ）；（3）知直線過點(diǎn) （x0,y0），當(dāng)斜率 k存在時(shí)，常設(shè)其方程為 y k（x x0） y0 ，當(dāng)斜率 k不 存在時(shí)，則其方程為 x x0 ；（ 4）與直線 l: Ax By C 0平行的直線可表示為 Ax By C1 0（C C1）；（5）與直線 l: Ax By C 0垂直的直線可表示為 Bx Ay C1 0.利用待定系數(shù)法求解（6）已知直線 l 1：A1x+B1y+C1=0，直線 l 2：A2x+B2y+C2=0，則方程 A1x+B1y+C1+（A2x+B2y

7、+C2）=0 表示過 l 1與 l 2交點(diǎn)的直線系（不含 l 2）.不僅可以建立直線方程還可解決直線過定點(diǎn)問題 .提醒：（ 1）求直線方程的基本思想和方法是恰當(dāng)選擇方程的形式，（2）求解直線方程的最后結(jié)果，如無特別強(qiáng)調(diào)，都應(yīng)寫成一般式（3）求一個(gè)角的平分線所在的直線方程的方法： 法一、利用角的平分線所在的直線的方向向量 由頂點(diǎn)坐標(biāo)（含線段端點(diǎn)）或直線方程求得角兩邊的方向向量v1、v2 ； 求出角平分線的方向向量 v v1 v2v1 v2 由點(diǎn)斜式或點(diǎn)向式得出角平分線方程。 直線的點(diǎn)向式方程：過 P（ x0, y0），其方向向量為 v（a,b），其方程為 x x0 y y0 ab 法二、利用角平

8、分線定理：法三、利用點(diǎn)到直線的距離公式：設(shè) P（x,y） 為角平分線所在直線上的任意一點(diǎn)，通過P（ x, y）到兩邊距離相等而得 .5、點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離 ：Ax By C（1）點(diǎn) P（x0,y0） 到直線 Ax By C 0的距離 d0 2 0 2A2 B2（2）兩平行線 l1: Ax By C1 0,l2: Ax By C2 0間的距離為 d C1 C2 。A2 B2提醒 ：（1）公式要求直線方程為一般式 .（2）求平行直線間的距離時(shí)，一定要把 x 、y 項(xiàng)系數(shù)化成對(duì)應(yīng)相等的系數(shù) .6、直線l1 : A1x B1y C1 0與直線l2 : A2x B2y C2 0的位置關(guān)系

9、 ：（1）平行A1B2 A2B1 0（斜率）且 B1C2 B2C1 0（在 y 軸上截距）；（2）相交A1B2 A2B1 0 ；（ 3）重合A1B2 A2B1 0且 B1C2 B2C1 0 。提醒：（1）A1B1C1、 A1B1 、A1B1C1僅是兩直線平行、相交、重合的充A2B2C2 A2B2A2B2C2分不必要條件！為什么？（2）在解析幾何中，研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系時(shí)，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線；（3）直線l1: A1xB1yC10與直線 l2: A2xB2yC20垂直A1A2B1B20。如（ 1）設(shè)直線 l1:x my 6 0和l2 :（m

10、2）x 3y 2m 0 ，當(dāng)m 時(shí)l1 l2 ；當(dāng)m時(shí) l1 l2 ；當(dāng)m 時(shí)l1與l 2相交；當(dāng)m 時(shí)l1與l2重合（答：1；1 ； m 3且 m 1； 3）；2（2）已知直線 l的方程為 3x 4y 12 0，則與l平行，且過點(diǎn)（ 1，3）的直線方程是（答： 3x 4y 9 0 ）；（3）兩條直線 ax y 4 0與x y 2 0相交于第一象限，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 （答： 1 a 2 ）；（4）設(shè)a,b,c分別是 ABC 中A、B、C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，則直線 sinA x ay c 0與 bx sin B y sinC 0 的位置關(guān)系是 （答：垂直）；（5）已知點(diǎn) P1（ x1, y1）是

11、直線 l: f（x,y） 0上一點(diǎn)， P2（x2,y2）是直線 l外一點(diǎn)，則方程f（x,y） f（x1,y1） f （x2 , y2） 0所表示的直線與 l的關(guān)系是 （答：平行）；6）直線l 過點(diǎn)（，），且被兩平行直線 3x y 6 0和3x y 3 0所截得的線段長(zhǎng)為 9，則直線 l的方程是（答： 4x 3y 4 0和x 1）7. 對(duì)稱是平面幾何的基本變換，有關(guān)對(duì)稱的一些結(jié)論 點(diǎn)（， ）關(guān)于軸、 軸、原點(diǎn)、直線 y=x 的對(duì)稱點(diǎn)分別是 （，），（， ）， （，），（，）k AA k l1AA 中點(diǎn)坐標(biāo)滿足l 方程 如何求點(diǎn) A （ ，）關(guān)于直線 Ax+By+C=0的對(duì)稱點(diǎn) A ?AA l 點(diǎn)

12、A、A 關(guān)于直線 l 對(duì)稱AA 中點(diǎn)在 l上點(diǎn)關(guān)于直線 y x b 的對(duì)稱點(diǎn)是什么？ 直線 Ax+By+C=0關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)、直線 y=x 的對(duì)稱的直線方程分別是什么，關(guān)于點(diǎn) （，）對(duì)稱的直線方程又是什么？你能用哪些方法來求一條直線關(guān)于另一條直線的對(duì) 稱直線？ 如何處理與光的入射與反射問題？8、圓的方程 ：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： x a y br2 。圓的一般方程： x2 y2 Dx Ey F 0（D2E24F 0） ，特別提醒：只有當(dāng) D2E24F 0時(shí)，方程 x2 y2 Dx Ey F 0才表示圓心為 （ D , E） ，半徑為 1 D 2 E 2 4F 的圓（二元二次方程 Ax2 Bxy Cy

13、2 Dx Ey F 0 表 示圓的充要條件是什么？ （ A C 0,且B 0且 D2 E2 4AF 0）；在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 （x a）2 （y b）2 r2 （r 0）中有三個(gè)參數(shù) a,b,r ；在圓的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0中，也有三個(gè)參數(shù) D,E,F 。所以說三個(gè)互相獨(dú)立的條件確定一個(gè)圓。 在平面幾何中也是熟悉的事實(shí)：不共線的三點(diǎn)唯一地確定一個(gè)圓。確定一個(gè)圓，包括確定圓的位置和大小兩個(gè)方面。圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大 小。又稱圓心是圓的定位條件，半徑是圓的定形條件。圓的參數(shù)方程： x a rcos （ 為參數(shù)），其中圓心為 （a,b），半徑為 r。y b rsinx a

14、 rcos在參數(shù)方程 x a rcos 中，當(dāng) 為參數(shù)，t為常量 （t 0）時(shí)表示一個(gè)圓， 有幾何意義；y b r sin而當(dāng) t 為參數(shù)， 為常量時(shí)，表示一條直線， t 也有幾何意義圓的參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元： x2 y2 r2 x rcos ,y rsin ； x2 y2 tx r cos ,y r sin (0 rt) 。 Ax1, y1,Bx2,y2為直徑端點(diǎn)的圓方程 xx1xx2yy1yy20過兩圓交點(diǎn)的圓系方程設(shè)圓 C1 : x2 y2 D1x E1 y F1 0，圓C2 :x2 y2 D2x E2y F2 0有公共點(diǎn)，則經(jīng)過圓 C1和圓 C2的公共點(diǎn)的圓系方程為：(x2 y

15、2 D1x E1y F1) (x2 y2 D2x E2y F2) 0(其中 為參數(shù)， R, 1，方程不包括圓 C2 。)在有 些問題中需檢驗(yàn)圓 C2 是否也為所求；當(dāng)1時(shí)，該方程是一條直線的方程，此直線就是兩圓的公共弦所在直線。3. 過直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程設(shè)直線 l :Ax By C 0 與圓 x2 y2 Dx Ey F 0 有公共點(diǎn)，則過其交點(diǎn)的圓系方程為(x2 y2 Dx Ey F) (Ax By C) 0。如(1)圓 C與圓(x 1)2 y2 1關(guān)于直線 y x對(duì)稱，則圓 C的方程為 (答：x2 (y 1)2 1)；( 2)圓心在直線 2x y 3 上，且與兩坐標(biāo)軸均相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方

16、程是 (答： (x 3)2 (y 3)2 9或(x 1)2 (y 1)2 1)；(3) 已知 P( 1, 3)是圓 xy rr csoins ( 為參數(shù)， 0 2 )上的點(diǎn)，則圓的普通方程為 ，P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 值為，過 P點(diǎn)的圓的切線方程是 (_ 答：x2 y24； 2； x 3y 4 0)；3(4) 如果直線 l將圓：x2+y2-2x-4y=0 平分，且不過第四象限， 那么l的斜率的取值范圍是 (答： 0，2)；(5) 方程 x2+yx+y+k=0 表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù) k的取值范圍為 (答： k 1 )；2(6) 若M ( x,y)| xy 33csoins ( 為參數(shù)，0) ，N (x,y)|

17、 y x b ，若M N ，則 b 的取值范圍是 （答： 3,3 2 ）228、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 ：已知點(diǎn) M x0,y0 及圓C：x-a 2 y b 2 r2 r 0 ，（1）點(diǎn) M2 2 2在圓 C 外 CM rx0 ay0 br 2 ；（2）點(diǎn) M 在圓 C 內(nèi)2 2 2 2CM rx0 ay0 b r 2 ；（3）點(diǎn) M 在圓 C 上 CM rx0 a2 2 2y0 b 2 r2。如點(diǎn) P（5a+1,12a）在圓（x）y2=1的內(nèi)部,則 a的取值范圍是 （答：1|a | ）139 、直線與圓的位置關(guān)系 ：直線 l :Ax By C 0 和圓 C： x a y b r 2r 0 有相交、

18、相離、相切。可從代數(shù)和幾何兩個(gè)方面來判斷： （ 1）代數(shù)方法（判斷直線與 圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況） ： 0 相交； 0 相離； 0 相切；（2）幾 何方法（比較圓心到直線的距離與半徑的大?。?：設(shè)圓心到直線的距離為 d ，則 d r 相交； d r 相離； d r 相切。提醒：判斷直線與圓的位置關(guān)系一般用幾何方法較簡(jiǎn)捷。如（1）圓 2x2 2y2 1與直線 xsin y 1 0（ R, k ，k z） 的位置關(guān)系為 （答：相離）；（ 2）若直線 ax by 3 0與圓 x2 y2 4x 1 0切于點(diǎn) P（ 1,2） ，則 ab的值（答： 2）；（3）直線 x 2y 0 被曲線 x2 y

19、2 6x 2y 15 0 所截得的弦長(zhǎng)等于 （答： 4 5 ）；（4） 一束光線從點(diǎn) A（1,1）出發(fā)經(jīng) x 軸反射到圓 C:（x-2）2+（y-3）2=1 上的最短路程是（答： 4）；（5）已知 M（a,b）（ab 0）是圓O:x2 y2 r 2內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)有以 M 為中點(diǎn)的弦所在直線 m和直 線l:ax by r2，則 Am/l ，且l 與圓相交Bl m，且l 與圓相交Cm/l ，且l與圓相離Dl m ，且l與圓相離（答： C）；（6）已知圓 C：x2 （y 1）2 5，直線 L：mx y 1 m 0。求證：對(duì) m R，直線 L 與圓 C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；設(shè) L 與圓 C交 于 A 、B

20、兩點(diǎn)，若 AB 17 ，求 L 的傾斜角；求直線 L 中，截圓所得的弦最長(zhǎng)及最短時(shí) 的直線方程 . （答： 60 或 120最長(zhǎng)： y 1，最短： x 1 ）10、圓與圓的位置關(guān)系 （用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系判斷） ：已知兩圓的圓心分別為 O1，O2 ，半徑分別為 r1,r2 ，則（1）當(dāng)|O1O 2 r1 r2 時(shí)，兩圓外離；（2）當(dāng)|O1O2 r1 2r 時(shí)，兩圓外切；(3)當(dāng) r1 r2|O1O2 r1 r2時(shí)，兩圓相交；(4)當(dāng) |O1O2 r1 r2 |時(shí)，兩圓內(nèi)切；(5)當(dāng) 0 |O1O2 r1 r2 |時(shí)，兩圓內(nèi)含。2如 雙曲線 x2a22by2 1的左焦點(diǎn)為F1，頂點(diǎn)為

21、A1、A2，P 是雙曲線右支上任意一點(diǎn)，則分答：內(nèi)切)別以線段 PF1、A1A2 為直徑的兩圓位置關(guān)系為 特別提醒：圓系方程有哪些？04年上海卷 . 文理 8)圓心在直線 2x y 7 0上的圓 C與 y軸交于兩點(diǎn) A(0, 4), B(0, 2) , 則圓 C 的方程為.兩圓相交弦所在直線方程的求法：圓 C1 的方程為： x2+y2+D1x+E1y+C1=0.圓 C2的方程為： x2+y2+D2x+E2y+C2=0.把兩式相減得相交弦所在直線方程為： (D1-D2)x+(E 1-E 2)y+(C 1-C2)=0 注意：兩圓相切要區(qū)分內(nèi)切還是外切 .11、圓的切線與弦長(zhǎng) ：(1) 切 線： 過 圓 x2 y2 R2 上 一點(diǎn) P(x0, y0) 圓 的 切線 方程 是： xx0 yy0 R2 ， 過圓(x a)2 (y b)2 R2上一點(diǎn) P(x0, y0 )圓的切線方程是： (x a)(x0 a) (y a)(y0 a) R2，一般 地，如何求圓的切線方程？(抓住圓心到直線的距離等于半徑) ；從 圓外一點(diǎn)引圓的切線一定有兩條 ，可先設(shè)切線方程，再根據(jù)相切的條件，運(yùn)用幾何 方法(抓住圓心到直線的距離等于半徑)來求；過兩切點(diǎn)的直線(即“切點(diǎn)弦” )方程的求 法：先求出以已知圓的圓心和這點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓，該