正多邊形的有關計算

1、正多邊形的有關計算教學設計示例 1教學目標：（1）會將正多邊形的邊長、半徑、邊心距和中心角、周長、面積等有 關的計算問題轉化為解直角三角形的問題；（2）鞏固學生解直角三角形的能力，培養(yǎng)學生正確迅速的運算能力；（3）通過正多邊形有關計算公式的推導，激發(fā)學生探索和創(chuàng)新 教學重點 :把問題轉化為解直角三角形的問題教學難點 : 正確地將問題轉化為解直角三角形的問題解決、綜合運用幾何知識準 確計算教學活動設計 :（一）創(chuàng)設情境、觀察、分析、歸納結論1、情境一：給出圖形問題 1：正 n 邊形內(nèi)角的規(guī)律 觀察：在圖形中，應用以有的知識（多邊形內(nèi)角和定理，多邊形的每 個內(nèi)角都相等）得出新結論教師組織學生自主觀

2、察，學生回答 （正 n邊形的每個內(nèi)角都等于 ）2、情境二：給出圖形問題 2：每個圖形的半徑， 分別將它們分割成什么樣的三角形？它們有 什么規(guī)律？ 教師引導學生觀察，學生回答 觀察：三角形的形狀，三角形的個數(shù) 歸納：正 n邊形的 n條半徑分正 n邊形為 n個全等的等腰三角形3、情境三：給出圖形問題 3：作每個正多邊形的邊心距，又有什么規(guī)律？ 觀察、歸納：這些邊心距又把這 n 個等腰三角形分成了個直角三角形， 這些直角三角形也是全等的（二）定理、理解、應用：1、定理：正 n 邊形的半徑和邊心距把正 n 邊形分成 2n 個全等的直角 三角形2、理解：定理的實質(zhì)是把正多邊形的問題向直角三角形轉化 由于

3、這些直角三角形的斜邊都是正 n 邊形的半徑 R，一條直角邊是正 n 邊形的邊心距 rn，另一條直角邊是正 n 邊形邊長 an的一半，一個銳角 是正 n 邊形中心角的一半，即，所以，根據(jù)上面定理就可以把正 n 邊 形的有關計算歸結為解直角三角形問題3、應用：例 1 、已知正六邊形 ABCDEF的半徑為 R，求這個正六邊形的邊長、周 長 P6 和面積 S6教師引導學生分析解題思路：n=6=30 ，又半徑為 Ra6、r6P6、S6 學生完成解題過程，并關注學生解直角三角形的能力 解：作半徑 OA、 OB；作 OG AB，垂足為 G，得 RtOGB GOB=，a6=2Rsin30=R，P6=6a6=6

4、R，r6=Rcos30=，歸納：如果用 Pn表示正 n 邊形的周長，由例 1 可知，正 n 邊形的面積 S6=Pnrn4、研究：(應用例 1 的方法進一步研究)問題：已知圓的半徑為 R，求它的內(nèi)接正三角形、正方形的邊長、邊心 距及面積學生以小組進行研究，并初步歸納：上述公式是運用解直角三角形的方法得到的 通過上式六公式看出，只要給定兩個條件，則正多邊形就完全確定 了例如： (1)圓的半徑或邊數(shù)； (2)圓的半徑和邊心距； (3)邊長及邊心 距，就可以確定正多邊形的其它元素(三) 小節(jié) 知識：定理、正三角形、正方形、正六邊形的元素的計算問題思想：轉化思想能力：解直角三角形的能力、計算能力；觀察、

5、分析、研究、歸納能 力（四）作業(yè) 歸納正三角形、正方形、正六邊形以及正 n 邊形的有關計算公式 教學設計示例 2教學目標：（1）進一步研究正多邊形的計算問題，解決實際應用問題；（2）通過正十邊形的邊長 a10 與半徑 R 的關系的證明，學習邊計算邊 推理的數(shù)學方法；（3）通過解決實際問題，培養(yǎng)學生簡單的數(shù)學建模能力；（4）培養(yǎng)學生用數(shù)學意識，滲透理論聯(lián)系實際、實踐論的觀點 教學重點 : 應用正多邊形的基本計算圖解決實際應用問題及代數(shù)計算的證明方法 教學難點 :例 3 的證明方法教學活動設計：（一）知識回顧（1）方法：運用將正多邊形分割成三角形的方法，把正多邊形有關計 算轉化為解直角三角形問題（

6、2）知識：正三角形、正方形、正六邊形的有關計算問題， 組織學生填寫教材 P165練習中第 2 題的表格（二）正多邊形的應用 方法是基本的幾何計算知識之一，掌握這些知識，一方面可以為學生 進一步學習打好基礎，另一方面，這些知識在生產(chǎn)和生活中常常會用 到，掌握后對學生參加實踐活動具有實用意義例 2、在一種聯(lián)合收割機上， 撥禾輪的側面是正五邊形， 測得這個正五 邊形的邊長是 48cm，求它的半徑 R5 和邊心距 r5（精確到 0.1cm） 解：設正五邊形為 ABCDE，它的中心為點 O，連接 OA，作 OF AB， 垂足為 F，則 OA=R5，OF=r5， AOF=AF=（cm）， R5=（ cm）

7、r5=（cm） 答：這個正多邊形的半徑約為 40.8cm，邊心距約為 33.0cm 建議： 組織學生，使學生主動參與教學； 滲透簡單的數(shù)學建模思 想和實際應用意識； 對與本題除解直角三角形知識外，還要主要學 生的近似計算能力的培養(yǎng)以小組的學習形式， 每個小組自己舉一個實際生活中的例子加以研究， 班內(nèi)交流例 3、已知：正十邊形的半徑為 R，求證：它的邊長 教師引導學生：（1） AOB=？（2）在 OAB中， A 與B的度數(shù)？（3）如果 BM平分 OBA交 OA于M，你發(fā)現(xiàn)圖形中相等的線段有哪 些？你發(fā)現(xiàn)圖中三角形有什么關系？（4）已知半徑為 R，你能不通過解三角形的方法求出 AB 嗎？怎么計 算

8、？解：如圖，設 AB=a10作 OBA的平分線 BM，交 OA于點 M，則 AOB=1=2=36， OAB=3=72OM=MB=AB=a10OAB BAMOA:AB=BA:AM，即 R:a10=a10（: R-a10），整理，得 ，（取正根）由例 3 的結論可得回顧：黃金分割線段 AD2=DCAC，也就是說點 D 將線段 AC分為兩部 分，其中較長的線段 AD 是較小線段 CD與全線段 AC的比例中項頂 角 36角的等腰三角形的底邊長是它腰長的黃金分割線段 反思：解決方法在推導 a10 與 R 關系時，輔助線角平分線是怎么想 出來的解決方法是復習等腰三角形的性質(zhì)、判定及相似三角形的有 關知識練習 P.165