自適應(yīng)控制副本要點(diǎn)

1、帶遺忘因子的遞推最小二乘估計(jì)1.1最小二乘理論最小二乘最早的想法是高斯在1795年預(yù)測(cè)行星和彗星運(yùn)動(dòng)軌道時(shí)提出來(lái)的，“未知量的最大可能的值是這樣一個(gè)數(shù)值，它使各次實(shí)際觀測(cè)和計(jì)算值之間 的差值的平方乘以度量其精確度的數(shù)值以后的和為最小”。這一估計(jì)方法原理簡(jiǎn) 單，不需要隨機(jī)變量的任何統(tǒng)計(jì)特性，目前已經(jīng)成為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)辨識(shí)的主要手段。 最小二乘辨識(shí)方法使其能得到一個(gè)在最小方差意義上與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)最好擬合的數(shù) 學(xué)模型。由最小二乘法獲得的估計(jì)在一定條件下有最佳的統(tǒng)計(jì)特性，即統(tǒng)計(jì)結(jié)果是無(wú)偏的、一致的和有效的。1.2帶遺忘因子的遞推最小二乘估計(jì)1.2.1 白噪聲白噪聲序列是一種最簡(jiǎn)單的隨機(jī)序列。如果隨機(jī)序列 v(k

2、)均值為零，且兩 兩互不相關(guān)，即對(duì)應(yīng)的相關(guān)函數(shù)為：(- 2, n = 0Rv ( n) = Ev(k)v(k + n)=.0 , n 式 0則這種隨機(jī)序列稱為白噪聲序列。其譜密度函數(shù)為常數(shù) 匚2/(2二)。白噪聲序列的 功率在-二到二的全頻段內(nèi)均勻分布。白噪聲作為被辨識(shí)系統(tǒng)的輸入時(shí)，可以激發(fā)系統(tǒng)的所有模態(tài)，可對(duì)系統(tǒng)充分 激勵(lì)，可防止數(shù)據(jù)病態(tài)，保證辨識(shí)精度。但是白噪聲在工程上不易實(shí)現(xiàn)，而且工 業(yè)設(shè)備的執(zhí)行機(jī)構(gòu)不可能按照白噪聲的變化規(guī)律動(dòng)作，因此工程上常采用易于實(shí)現(xiàn)的M序列作為辨識(shí)輸入信號(hào)，它具有近似白噪聲的性質(zhì)。M序列又稱為偽隨機(jī)序列，是由n級(jí)線性移位寄存器產(chǎn)生的周期為P =2n -1的碼序列，

3、是最長(zhǎng)線性移位寄存器序列的簡(jiǎn)稱 ，該序列不能預(yù)先確定 但可以重復(fù)產(chǎn)生。本文M序列是由如圖所示的4階M序列的碼序列發(fā)生器產(chǎn)生 的，初始狀態(tài)為0001。在時(shí)鐘作用下，產(chǎn)生相應(yīng)的輸出序列為：100010011010111a圖2.14階M序列的碼序列發(fā)生器M序列含有直流成分，會(huì)對(duì)辨識(shí)系統(tǒng)造成“凈擾動(dòng)”，而逆M序列能克服這 一點(diǎn)，故此次作業(yè)中采用逆 M序列來(lái)作為辨識(shí)輸入信號(hào)。逆 M序列的產(chǎn)生方法 如下：(1) 產(chǎn)生一個(gè)M序列M(k)；(2) 產(chǎn)生一個(gè)0/1序列，記為S(k),其形式如S(k)=101010.；(3) 通過(guò)產(chǎn)生的M序列M(k)和S(k)做異或即可得到逆M序列，記為IM(k)；1.2.2遺忘

4、因子最小二乘算法假設(shè)被辨識(shí)的系統(tǒng)為一單入單出的離散時(shí)間系統(tǒng)，且已知為CAR模型，如圖2.2所示：u(k)B(z)z，A(z)吟 w(k)y(k)圖2.2辨識(shí)系統(tǒng)的模型此系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系可用如下差分方程描述，即：A(z)y(k)二 B(z_1)zu(kp w(k) 其中A(z)= 1 a1z_1 a2z2 . annB(z_1 b0 b1z_1 b2z2 . bmz_m上式可以轉(zhuǎn)化為：nmy(k) ay(k-i)八 bjU(k-j-d) w(k)Uj=0式中，U(k)為輸入變量，y(k)為輸出變量，w(k)為均值為零的干擾信號(hào)將上式變?yōu)樽钚《说母袷綖?二印念,.,a 門，b0 , b1,., b

5、m T(k T)十y(kT),.；y(k- n),u(k-d),.u(k - d - m)y(k)二 T(k- 1)，w(k)取算法的性能指標(biāo)為:mi nJ 珂y(k)- T(k)叩y(k)- T(kp通過(guò)算法推導(dǎo)可得，帶遺忘因子的遞推最小二乘估計(jì)的算法公式為:、?(k)二譏k -1)K(k) y(k) - T(k戶?(k - 1)P(k) =丄I - K(k) T(k)P(k- 1)I嚴(yán)=p 2(0 p w 1)公式表明，新的參數(shù)估計(jì) *k)是用新的實(shí)際測(cè)量值y(k)與基于老模型進(jìn)行 預(yù)測(cè)得到的量T(k)孜k-1)之偏差，對(duì)前面的參數(shù)估計(jì)加以修正得到的，修正系 數(shù)陣為K(k)o P(k -1

6、)的物理意義是參數(shù)估計(jì)誤差的方差，作為參數(shù)估計(jì)精度的 一種度量。遺忘因子的作用是削弱過(guò)去數(shù)據(jù)的作用。帶遺忘因子的遞推最小二乘估計(jì)算法屬于在線辨識(shí)所用方法的一種，它既能克服離線辨識(shí)的缺點(diǎn)，也能克服遞推最小二乘估計(jì)中的“數(shù)據(jù)飽和”現(xiàn)象。1.3仿真實(shí)例考慮如下系統(tǒng)：y(k) 0.4y(k - 1) - 0.5y(k - 2) - 0.8y(k - 3)二 u(k - 3) 1.5u(k - 4) 2.5u(k - 5) w(k)其中輸入u(k)是幅值為1,周期為40的方波序列；干擾項(xiàng)w(k)是幅值為0.1,周期 為15逆M序列。已知a,b,d。算法程序步驟如下：Step 1：給輸入u(k)和干擾項(xiàng)w

7、(k)賦值；Step 2設(shè)置初值P(0)、玫0)及遺忘因子，輸入初始數(shù)據(jù)；Step 3:采樣當(dāng)前輸出y(k)和輸入u(k)，計(jì)算性能指標(biāo)；Step 4：根據(jù)算法公式求出K(k)，珂k)和P(k)，同時(shí)；Step 5: k-k+1，返回Step3,繼續(xù)循環(huán)，直到達(dá)到循環(huán)次數(shù)。仿真結(jié)果圖如下：輸入u(k)1.50.5值幅的 0波方-0.5-1-1.5 匚010 203040k50607080圖3.1輸入u(k)的方波圖z(x r k r k- -值幅列序M逆圖3.2白噪聲干擾圖25201510輸岀y和辨識(shí)后的yyyyyI-5-10I-15 L0501001502002503003504004505

8、00k圖3.3輸出y和辨識(shí)之后的輸出yy的曲線參數(shù)估計(jì)2.5一 b1 ba1a2一一-ao_11rgrrrrrib22 5 15 0 5 a a- b、a計(jì)估數(shù)參o20o40圖3.4參數(shù)二的真值和估計(jì)值 的曲線性能指標(biāo)2515 -J10 -5000 LEi11050100150200250300350400450k圖3.5性能指標(biāo)辨識(shí)結(jié)果如下:田 thetae_l 12139552-0.49503-0.800640.999351.494962.49857圖3.6辨識(shí)結(jié)果二廣義最小方差自校正控制當(dāng)考慮干擾對(duì)系統(tǒng)的作用時(shí)，控制器的設(shè)計(jì)就是要最大限度的減小干擾對(duì)系統(tǒng)的影響。鑒于一般被控對(duì)象或過(guò)程都存

9、在不同程度的純遲延d,控制u（k）對(duì)系統(tǒng)的作用要到（k+d）時(shí)刻才有響應(yīng)。在這段純遲延的時(shí)間內(nèi)，干擾仍會(huì)作用于系統(tǒng)，所以在k時(shí)刻預(yù)測(cè)（k+d）時(shí)刻的輸 出，并按照預(yù)測(cè)誤差的方差最小的原則，設(shè)計(jì)現(xiàn)時(shí)控制u（k），并加以實(shí)施。當(dāng)過(guò)程參數(shù)未知，或者時(shí)變時(shí)，用遞推最小二乘法估計(jì)，或者直接估計(jì)控制器參數(shù)，然后算出控制量來(lái)， 這就是最小方差自校正控制的基本思想。而廣義最小方差自校正控制就是在性能指標(biāo)函數(shù)中引入加權(quán)多項(xiàng)式。被控對(duì)象為人（；廠）丫很）=丁電（廣川很）+5）茂毬（4-1）錯(cuò)誤！未找到引用源。為純遲延，y（k）和u（k）分別為輸出和輸入，錯(cuò)誤！未找到引用源。為白噪聲序列；選擇性能指標(biāo)函數(shù)為：J=E

10、但廠嗨厲十町一 RLWMF +如 （4-2）式中，錯(cuò)誤！未找到引用源。為期望輸出；y（k+d）為第（k+d）拍的輸出；u（k）為第k拍的控制；P（卜RC ）和QC ）分別為輸出、期望輸出和控制的加權(quán)多項(xiàng)式，它們分別具有改 善閉環(huán)系統(tǒng)性能，軟化輸入和約束控制量的作用。并且PC ）=1+ 左7 畛心+r（_）為臨蘭叫第那知吃乓（4-3）Qg-ljd +qtZ_1+q3Z_2 + 4務(wù)產(chǎn) F階次錯(cuò)誤！未找到引用源。 由實(shí)際需要確定， 錯(cuò)誤！未找到引用源。 設(shè)計(jì)時(shí)確定。 由上可知，該被控對(duì)象的最優(yōu)控制，即廣義最小方差控制為訛）=衛(wèi)0 ）%閔一卩（尸）加伎+亞）(4-4)廣義最小方差自校正控制直接算法在

11、進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，式中的PC卜RC ）和QC ）是確定的，錯(cuò)誤！未找到引用源。一般也是知道的，需要確定的是與對(duì)象參數(shù)有關(guān)的 錯(cuò)誤！未找到引用源。 由式錯(cuò)誤！未找到引用源?？芍?. :y(k)+F述妙心:篤心灼；汀出.ny如(4-5)式中，pr(lt) = yOO.-.y(kz.,uk- nfX-y* 4- d - l|fc- 1),.,y*(lc+ d -nck-%)由于真實(shí)的參數(shù)向量 錯(cuò)誤！未找到引用源。無(wú)法獲得，只能用估計(jì)值 錯(cuò)誤！未找到引用源。來(lái)代替它，這樣式(4-5)表示為y*Ot+d|fc)=又由于y(k+d)=- - -后退d拍y(k)=-邈羅T版駆關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源。的遞推

12、最小二乘公式為5(k) = fl(*-1)4-拿- d)(k - 1)K(k) = P(k- l)(p(k- d)l +(pTQi- d)P(k- l)(p(k- d)-1P(k) = I-K(k)攀丁依一 QPO-1)由式(4-4)可知，U(K)= On/q月更戶)齊優(yōu)-P(LHW + d|k) - (? u(k)=(舗期竟痂2徉仰 吧蘭匕汽A ：馬-可彳為乍茁甘泰-遼(4-6)式中，錯(cuò)誤！未找到引用源。廣義最小方差自校正控制算法步驟：(1) 初始化；(2) 讀取y(k)、劇(3) 構(gòu)成觀測(cè)向量 錯(cuò)誤！未找到引用源。(4) 求錯(cuò)誤！未找到引用源。，喙冏=飛莎疋證(5) 由式(4-6)求 u(

13、k);(6) K=；J，返回步驟(2)進(jìn)行迭代遞推運(yùn)算。假設(shè)被控對(duì)象數(shù)學(xué)模型為y(t)=1.7*y(t-1)-0.7*y(t-2)+u(t-4)+0.5*u(t-5)+e(t)+0.2*e(t-1)在進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，我們一般令R( Z-1)=1，P( Z-1) =1，Q( Z-1) =2yr (t), e (t)已知，需要確定的是與對(duì)象參數(shù)有關(guān)的y* (k+d I k)一般有y* (k+d I k) =G ( Z) y (k) +F (Z-1) u (k)-呢、y* ( k+d-i I k-i)= T (k) 0式中 $ T (k) =y ( k),，y (k-n g), u (, u (

14、k-nf),-y* (k+d-1 I k-1),-y* ( k+d-n J k-n)0 T=go,，gng, fo,，f nf , C1 ,，Cnc由于真實(shí)的參數(shù)向量0無(wú)法獲得，只能用估計(jì)值 0 來(lái)代替它，這樣上式表示為y* ( k+d I k) = T (k) 0 又由于y (k+d) = y* (k+d I k) +E (乙勺)E (k+d) 珂 T (k) 0 + E (Z-1) E (k+d) 后退d拍y (k) p T (k-d) 0 + E (Z-1) E (k)具體程序如下：clear all%生成w (k)的逆M序列作為干擾項(xiàng)x1=0;x2=0;x3=0;x4=1; %移位寄存

15、器初值S=1; %方波初值for k=1:400M(k)=xor(x3,x4); %進(jìn)行異或運(yùn)算，產(chǎn)生M序列IM=xor(S,x4); %進(jìn)行異或運(yùn)算 產(chǎn)生逆M序列 if IM=0e(k,1)=-0.1;elsee(k,1)=0.1;endS=not(S); %產(chǎn)生方波 x4=x3; x3=x2; x2=x1; x仁 M(k); % 寄存器移位 endfigure(1);stairs(e);axis(0 20 -0.2 0.2);xlabel(k);ylabel(逆M序列幅值);title(逆 M 序列);for i=1:100yr(i)=10;endfor i=101:200yr(i)=-1

16、0;endfor i=201:300yr(i)=10;endfor i=301:400yr(i)=-10;end yk=zeros(1,400);uk=zeros(1,400);y=zeros(1,400);theta=O;O;O;O;O;O;O;O;p=10A6*eye(8);for t=9:400yk(t)=1.7*yk(t-1)-0.7*yk(t-2)+uk(t-4)+0.5*uk(t-5)+e(t)+0.2*e(t);Q=(yk(t-4);yk(t-5);uk(t-4);uk(t-5);uk(t-6);uk(t-7);uk(t-8);y(t-5);Q0=yk(t);yk(t-1);uk

17、(t);uk(t-1);uk(t-2);uk(t-3);uk(t-4);y(t-1);K=p*Q/(1+Q*p*Q);p=p-K*Q*p;theta=theta+K*(yk(t)-Q*theta);thet=theta;g0=thet(1);g1=thet(2);f0=thet(3);f1=thet(4);f2=thet(5);f3=thet(6);f4=thet(7);c1=thet(8);gOt(:,t)=gO;g1t(:,t)=g1;f0t(:,t)=f0;f1t(:,t)=f1;f2t(:,t)=f2;f3t(:,t)=f3;f4t(:,t)=f4;c1t(:,t)=c1;y(:,t)

18、=Q0*theta;uk(:,t)=(yr(t)-y(t)/16;x(t)=(yk(t)-y(t-4)A2;endfigure(2)hold on;plot(9:400,g0t(:,(9:400),9:400,g1t(:,(9:400);xlabel(t); title(參數(shù)估計(jì) g);figure(3)hold on;plot(9:400,f0t(:,(9:400),9:400,f1t(:,(9:400),9:400,f2t(:,(9:400),9:400,f3t(:,(9:400),9:400, f4t(:,(9:400);xlabel(t);title(參數(shù)估計(jì) f);figure(4)

19、hold on;plot(9:400,c1t(:,(9:400);xlabel(t); title(參數(shù)估計(jì) c);figure(5)hold on;plot(9:400,yr(:,9:400),9:400,yk(:,9:400);xlabel(t);title(yr 與 yk);figure(6)hold on;plot(9:400,x(:,9:400);xlabel(t);title(性能指標(biāo) J);仿真結(jié)果如下：1.20,60501001502002503003504002520151050-510-15120010008006004002005010015020025030035040

20、050100150200250300350400三 模型參考自適應(yīng)控制1.1模型參考自適應(yīng)控制的基本工作原理模型參考自適應(yīng)控制器（MRAC model referenee adaptive control）,即為利用可調(diào)系統(tǒng)（包含被控對(duì)象）的各種信息，度量或測(cè)出某種性能指標(biāo)，把它 與參考模型期望的性能指標(biāo)相比較；用性能指標(biāo)偏差（廣義誤差）通過(guò)非線性反 饋的自適應(yīng)律來(lái)調(diào)節(jié)可調(diào)系統(tǒng)，以削弱可調(diào)系統(tǒng)因“不確定性”所造成的性能指 標(biāo)的偏差，最后達(dá)到使被控的可調(diào)系統(tǒng)獲得較好的性能指標(biāo)的目的。MARC中的可調(diào)系統(tǒng)一般包括被控對(duì)象和調(diào)節(jié)器，它們形成一常規(guī)的反饋控 制系統(tǒng)。這個(gè)系統(tǒng)相對(duì)于MAR係統(tǒng)來(lái)說(shuō)是一個(gè)子

21、系統(tǒng)或稱“內(nèi)回路”。另外，MARC 系統(tǒng)還有一個(gè)自適應(yīng)反饋回路，稱為外回路，它用來(lái)調(diào)節(jié)可調(diào)系統(tǒng)。有內(nèi)外回路 組成雙回路系統(tǒng)是MAR係統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。模型參考自適應(yīng)控制可以處理緩慢變化的不確定性對(duì)象的控制問(wèn)題。它由于可以不必經(jīng)過(guò)系統(tǒng)辨識(shí)而度量性能指標(biāo)， 因而有可能或得快速跟蹤控制。由于被 控對(duì)象的全部狀態(tài)要準(zhǔn)確得到很困難，按被控對(duì)象輸入和輸出直接設(shè)計(jì)自適應(yīng)控 制系統(tǒng)更有價(jià)值，一般有直接法和間接法。所謂直接和間接，指的是對(duì)未知的被 控對(duì)象進(jìn)行直接控制和間接控制。間接控制的基本思想是用未知的被控對(duì)象的輸 入輸出數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)被控對(duì)象的參數(shù)，并用這些參數(shù)估計(jì)值產(chǎn)生一個(gè)反饋函數(shù)去調(diào) 整調(diào)節(jié)器參數(shù)。直接控制和間

22、接控制不同，在產(chǎn)生反饋控制信號(hào)之前沒(méi)有明顯的 被控對(duì)象的辨識(shí)。所以二者之間主要不同在于：在直接控制中要有一個(gè)顯式的理 想特性的參考模型，而間接控制則需要被控對(duì)象模型進(jìn)行在線辨識(shí)并用隱式方法 去產(chǎn)生自適應(yīng)律。此外，間接控制是用辨識(shí)誤差，而直接控制則用控制誤差去修 改調(diào)節(jié)器參數(shù)?，F(xiàn)用一種直接法，即 K.S.Narendra提出的穩(wěn)定性自適應(yīng)控制方案。原理框 圖如圖3-1所示參考模壇ym(t)Wm(s)J4 十cU(t)被控對(duì)彖K0作Wp(s)e(t)輔助 俏號(hào) 發(fā)生 器輔助Q ；：F!器/ dTF?輔助信號(hào)發(fā)生器:勺=Av+buw(1) =cTvF2v(2) = V bypw( = doyp dT

23、v (3-1)do/nr +*圖3-1模型參考自適應(yīng)控制原理框圖1.1.1控制器結(jié)構(gòu)ko(t) CT(t)Lr(t)=-e(t)(s + b ) v(t)do(t)LdT(t)_yp(t)v(2) (t) _J(t)= 一】G(t)w(t)自適應(yīng)算法:(3-2)1.1.2參考模型參考模型：Wm(s)二尋找(s)Wm(s)，使其為分子是3階、分母是4階的嚴(yán)正實(shí)函數(shù)。(1)被控對(duì)象：32s 5s 6s 7WP(S)-432s +2s +3s +4s + 5(s+4)(s+6)(s 1)(s 3)(s 5)(s 7)Wmi(S)= (S ；)Wm(S)s3 12s2 44s 48(s 1)(s 3)(s 5)(s 7)s3 12s2 44s 48s4 16s3 86s2176s 105控制律:d Td1d2_d3(3)輔助信號(hào)發(fā)生器:W(s) =cT(sl -A)b 二 C(s)-二N(s)2C3S C2S Gs3 12s2 44 s 482Wo譏心小=緩.駕/囂48 do(4)自適應(yīng)律：在滿足匹配條件N(s)=Zm(s)(s + G 的情況下_ko(t)(t) 1s + 2do(t) _g(t) yp(t)jC1 (t)vJ(tLV2)一1.2 simuli nk仿真圖(1)主程序仿真圖(2)ko參數(shù)模塊