常微分方程試題

1、常微分方程試題一 單項(xiàng)選擇題 (每小題 2 分, 共 40 分)1. 下列四個(gè)微分方程中 , 為三階方程的有 ( ) 個(gè) .(1)(2)(3)A. 1 B. 2 C. 3 D. 4(4)2. 為確定一個(gè)一般的 n 階微分方程=0 的一個(gè)特解 ,通常應(yīng)給出的初始條件是 ( ).A. 當(dāng)時(shí),B. 當(dāng)時(shí),C. 當(dāng)時(shí),D. 當(dāng)時(shí),3. 微分方程 的一個(gè)解是 ( ).A. B. C. D.24. 下列方程中 , 既是齊次方程又是線性方程的是 ( ).A.B. C.D.6.A.5. 若方程 是恰當(dāng)方程 , 則 ( ) .A. B. C. D.若方程 有只與 y 有關(guān)的積分因子 , 則可取 為( ).B.C

2、.D.7.可用變換 ( ) 將伯努利方程化為線性方程 .A.B. C. D.8.是滿(mǎn)足方程 和初始條件 ( ) 的唯一解 .A.B.C.D.9.設(shè)是 n階齊線性方程的解 ,其中 是某區(qū)間中的連續(xù)函數(shù) . 如下敘述中 , 正確的是 ( ).A. 若 的伏朗斯基行列式為零 , 則 線性無(wú)關(guān)B. 若 的伏朗斯基行列式不為零 , 則 線性相關(guān)C. 若的伏朗斯基行列式不為零 , 則線性無(wú)關(guān)D. 由的伏朗斯基行列式是否為零 , 不能確定10. 設(shè)線性無(wú)關(guān)的函數(shù)和 是方程的線性相關(guān)性的解 ,則方程的通解是 ( )A. ( 是任意常數(shù) ,B.C.D.11. 三階系數(shù)齊線性方程 的特征根是 ( ).A. 0,

3、1, 1 B. 0, 1, -1C. 1,D. 1,12. 方程 的基本解組是 ( ).A. B.C. D.13. 方程 的待定特解可取如下 ( ) 的形式 :A. B.C.D.14. 已知 是某一三階齊線性方程的解 , 則 和的伏朗斯基行列式 ( ).A. 3 B. 2 C. 1 D. 015. 可將三階方程 化為二階方程的變換為 ( ).的解為 ( ).A. B. C.16.方程組D.滿(mǎn)足初始條件A.D.17.n階函數(shù)方陣在上連續(xù) ,方程組有基解矩陣如下敘述中 , 正確的是 ( ).A. 的每個(gè)列向量是該方程組的解向量且 在某一點(diǎn) 為零B. 的每個(gè)行向量是該方程組的解向量且C. 的每個(gè)列向

4、量是該方程組的解向量且恒不為零D. 的每個(gè)行向量是該方程組的解向量且恒不為零18.設(shè) A是 n 階常數(shù)方陣 , 是 A的一個(gè)特征值 , 則方程組有解為其中 是( )A. 矩陣 A 的對(duì)應(yīng)于 的特征向量 B. 任意向量B. 矩陣 A任意一個(gè)行向量 D. 矩陣 A 的任意一個(gè)列向量19. n階函數(shù)方陣在 上連續(xù) , 方程組 有兩個(gè)基解矩陣如下敘述中 , 正確的是 ( ).A. 存在非奇異的常數(shù)矩陣C,使得B. 存在非奇異的常數(shù)矩陣C,使得C. 存在非奇異的常數(shù)矩陣C,使得C. 存在非奇異的常數(shù)矩陣 C, 使得20. 設(shè) 和 都是由方程組 的 n 個(gè)解向量所組成的方陣 , 其是在 上連續(xù)的函數(shù)方陣

5、, 是連續(xù)的列向量 , 則如下斷言中正確的為( ).A.必是方程組的基解矩陣B.仍是方程組 的解矩陣C.是方程組 的解矩陣D.也是方程組的解矩陣.21. 寫(xiě)出把方程簡(jiǎn)答題 (每小題 3分, 共 15分)化為變量分離方程的變換 , 并將變換后的方程進(jìn)行變量分離 .22. 試寫(xiě)出二階歐拉方程 的一個(gè)基本解組23. 寫(xiě)出初值問(wèn)題 的第二次近似解 .存在24. 函數(shù) 和 都是初值問(wèn)題的解 . 試用解的唯試寫(xiě)定理解釋這個(gè)初值問(wèn)題的解存在但不唯一的原因25. 已知三階方陣 的特征值為 1, 1, 2, 對(duì)應(yīng)的特征向量分別為方程組 的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣 （既當(dāng) t=0 時(shí)為單位矩陣的基解矩陣 ）三 計(jì)算題 （一）

6、 （ 每小題 5分, 共 15 分）26.解方程27.解方程28.求解方程 , 其中四 計(jì)算題 （二） （ 每小題 6分, 共 18 分）29.解方程30.求方程組的一個(gè)基解矩陣 , 其中31.求解方程五 應(yīng)用題 (6 分 ) 32. 求平面上過(guò)原點(diǎn)的曲線方程 , 該曲線上任一點(diǎn)處的切線與切點(diǎn)和點(diǎn) (1,0) 的連線相 互垂直 .六 證明題 (6 分 )33. 設(shè) 都是區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù) , 且 是二階線性方程的一個(gè)基本解組 . 試證明 :(i) 和 都只能有簡(jiǎn)單零點(diǎn) ( 即函數(shù)值與導(dǎo)函數(shù)值不能在一點(diǎn)同時(shí)為零 );(ii) 和 沒(méi)有共同的零點(diǎn) ;(iii) 和 沒(méi)有共同的零點(diǎn) .一. 求解下列常微分方程 : ( 每小題 10 分, 共 50 分 )(1) .(2) .(3)(5) .二. (15 分) 求二階常系數(shù)微分方程的通解三. (15 分) 設(shè). (1) 求齊線性方程組的基解矩陣；(2) 求非齊線性方程組 滿(mǎn)足初始條件的的解 .四. (10 分)