與平面向量相關(guān)的最值問題專題

1、3與平面向量相關(guān)的最值問題 1.給定兩長度為 1 的平面向量oa和ob，2它們的夾角為 ，如圖，點 c 在以 o 為圓 心的圓弧ab(包含端點)上變動若ocxoayob，其中 x，yr，則 xy 的最大值是 _3在abc 中，d，e 分別是邊 bc 上 的兩個三等分點，點 p 是線段 de 上一點， 且apxabyac(x，yr)，則 xy 的取值 范圍為_4如圖，在矩形 abcd 中，ab2， ad2 3，p 為矩形內(nèi)一點，且 ap2，若 apabad(，r)，則 3 的 最大值為_2如圖，在正六邊形 abcdef 中，p是三角形 cde 內(nèi)(包含邊界)的動點，ap xabyaf，則xy 的

2、取值范圍是_5如圖，在直角梯形 abcd 中，ab cd ，dab90，adab4，cd1， 動點 p 在邊 bc 上，且滿足apmabnad1 1(m，n0)，求 的最小值m na6如圖，在等腰三角形 abc 中，已知 abac1，a120，e，f 分別是邊 ab，ac 上的點，且aemab，afnac， 其中 m，n(0，1)若 ef，bc 的中點分別為 m，n，且 m4n1，則|mn|的最小值為 _7已知 o 為三角形 abc 的外心，ab 2 2a，ac ，bac120，若aoxab yac(x，yr)，求 3x6y 的最小值8如圖，在abc 中，e 為邊 ac 上 一點，且ac3ae

3、，p 為 be 上一點，且滿 足apmab mnmn nac(m0，n0)，求 的最小mn值x y30， 3 設(shè)直線 l：xyt，由y2 |am| |am| x 3 1答案：2. 1 3b(1 ， 0) ， f ， ，解法 1 以 o 為原點，oa 2 2 所在直線為 x 軸，oa 的垂線 3 3c ， ，d(1， 3)，e(0，為 y 軸建立平面直角坐標(biāo)系， 2 2 1 3 3)，設(shè)點 p(x，y)，則 x，則 a(1 ，0)， b ， ， 2 2 y 滿足c(cos ， sin ) ， 則2 0， . 因 為 oc 3xy2 30， 3 y 30，xoa yob，即(cos ，sin 1

4、3 線性規(guī)劃知識可知，當(dāng) l 平)x(1，0)y ， ， 2 2 移至過 ec 時，xy 取得最2cos2 3， 從 而 得 2sin2，sin， 3cos 所以 ， 33 sincos 2 sin ，0， ， 4 2 當(dāng) 時， 3 取 4得最大值 2.則小值 3，當(dāng) l 平移至過 d 時，解法 2 以 a 為圓心，2cosx ， 3ysin ，2從 而xy 取得最大值 4，所以 x y 的取值范圍是3，4解法 2 連接 bf，ad，記 ad 與 bf，ce 分別交于 m，n， 由等和線的知識可知， x為半徑作圓交 ad 于 e，則 3ae ad，連接 be 交 ap 3于點 q，因為ap得錯

5、誤 ! 所以 x ycos 3sin 2 3sin 3 3 cos 3siny|an| |ad|， 3，4 2 13答案： ， .9 4abad.所以ap 3 ab 3 ad ab32sin 6 ， 解析：因為點 p，b，c 三點共線，所以 xy1，3 ae，由等和線知 2 0， ，當(dāng) 時，x 3 3y 取得最大值 2. 解法 2 記 oc 與 ab 的交點為 d，由等和線的知識可|oc| 1知 xy ，易得 |od| |od|1 2且 x ，xyx(1x) 3 3 1 2 1 ， 所 以 2 42 1xy ， .9 44答案： 2.解法 1 以 a 為原點，ad|ap|識可知， 3 |aq|

6、2 ，當(dāng)|aq|最小時，取 |aq|得最大值 2，此時 q 位于 be 中點當(dāng) od 最小時，xy 取得最 大值，此時 d 為 ab 中點，x所在直線為 x 軸，ab 所在直 線為 y 軸建立平面直角坐標(biāo)74 35答案：4.y 取得最大值 2. 2答案：3，4系，則 a(0，0)，b(0，2)， d(2 3，0)，p(2cos，2sin解析：設(shè)aba，adb，解法 1 設(shè)在正六邊形 abcdef 的邊長為 1，以 a 為 )，則 0， 2 .因為則bc原點，ab 所在直線為 x 軸， ae 所在直線為 y 軸，建立平 面直角坐標(biāo)系，則 a(0，0)，ap abad，即(2cos ，2sin )

7、(0，2) (2 3 ， 0) ， 則3 ab，設(shè)bpbc，3則apab bp1 a 4 m n 74m n 44m n7 x，a223mn m nm nmnm11 b，因為ap manb，1 (1n)2.m4n1，可 4所以 apmab nacmab3 得 1m4n.代入上式可得 所以有 1 m，n，4 1 1mn2 (4n)2 4n(1 n)3 1 4 4消去 得 m n1，從而4 m 1 21 3 1 (1 n)2 n2 n ，1 1 1 3 7 4 4 2 4 n m n 4 4 1m，n(0，1)當(dāng) n 時，3n m 7 3n m 2 1 mn2 的最小值為 ，此時|mn|74 3(

8、 當(dāng)且僅當(dāng) m 4 4 7的最小值為 .8 312 72 3 ， n 時取等3 7答案：62 2.3nae，又因為 p 為 be 上一點，不妨設(shè)bpbe(01)所以apabbpabbe ab ( ae ab )(1)abae，mab3n ae (1 ) ab 號)76 答案： .7解析：以 n 為原點，bc 所在直線為 x 軸，na 所在直 線為 y 軸，建立平面直角坐 標(biāo)系，因為 ab ac 1， a1 120 ， 則 a 0， ， 2 3 3 b ，0， c ，0， 2 2 又因為aemab，afnac， 所以 3 1me m， ， 2 2 解析：因為 aoxabyac，所以 aoab xab2 yabac，即 4a2x2y2a2， 同 理 可 得 ao ac 4xabacyac2，即2xa22y ，聯(lián)立和，可以 a22 a213 a2得到 所以 3x y ，ae，因為ab，ae不共線， m1，所以 則 m 3n 3n， 1 1. 所 以 mnmn 1 1 1 1 1 3n (m 3n) 1 5m 3n 52 3，當(dāng)且僅當(dāng)m ，即 m 3n 時等號成 n立 3f n， 21n2 ，由于 m，n 6y 2a21 a2 2a2 4 6分別為 ef、bc 的中點，所 以2a21 6 2 2a2 a21a2m6 3 41 （nm），