2020-2021學(xué)年新教材數(shù)學(xué)人教B版選擇性必修第二冊教案：第4章 4.2 4.2.4　第1課時(shí)　離散型隨機(jī)變量的均值 Word版含解析

1、好好學(xué)習(xí)，天天向上4。2。4隨機(jī)變量的數(shù)字特征第1課時(shí)離散型隨機(jī)變量的均值學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1理解離散型隨機(jī)變量的均值的意義和性質(zhì)，會根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值(重點(diǎn))2掌握兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布的均值（重點(diǎn))3會利用離散型隨機(jī)變量的均值解決一些相關(guān)的實(shí)際問題(難點(diǎn))1通過學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量的均值,體會數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)2借助數(shù)學(xué)期望公式解決問題,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).某商場要將單價(jià)分別為18元/kg，24元/kg，36元/kg的三種糖果按321的比例混合銷售，如何對混合糖果定價(jià)才合理?1均值或數(shù)學(xué)期望(1)定義：一般地,如果離散型隨機(jī)變量x的分布列如下表所示xx1x2xk

2、xnpp1p2pkpn則稱e(x)x1p1x2p2xnpn為離散型隨機(jī)變量x的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱為期望)(2）意義：它刻畫了x的平均取值(3)性質(zhì)：若x與y都是隨機(jī)變量，且yaxb（a0)，則e（y）ae(x）b.拓展：隨機(jī)變量的均值公式與加權(quán)平均數(shù)的聯(lián)系加權(quán)平均數(shù)，假設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)進(jìn)行了n次，根據(jù)x的概率分布，在n次試驗(yàn)中，x1出現(xiàn)了p1n次，x2出現(xiàn)了p2n次，,xn出現(xiàn)了pnn次,故在n次試驗(yàn)中，x出現(xiàn)的總次數(shù)為p1nx1p2nx2pnnxn.因此n次試驗(yàn)中，x出現(xiàn)的平均值等于e（x）故e（x)p1x1p2x2pnxn。2兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布及超幾何分布的均值（1）若隨機(jī)變量x服從參數(shù)為p的

3、兩點(diǎn)分布，則e(x)p。（2）若x服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,即xb(n，p），則e(x）np；（3)若x服從參數(shù)為n，n,m的超幾何分布，即xh（n,n，m),則e（x）。1思考辨析（正確的打“”,錯(cuò)誤的打“)（1）隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期望e(x）是個(gè)變量,其隨x的變化而變化(）（2)隨機(jī)變量的均值反映樣本的平均水平()(3)若隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期望e（x）2，則e（2x）4。(）（4）隨機(jī)變量x的均值e（x).（）答案(1)（2)(3)(4）2若隨機(jī)變量x的分布列為x101p則e(x)(）a0b1cdce(x）101。故選c。3設(shè)e（x)10,則e(3x5）_.35e(3x5)3e(x）5310

4、535.4(一題兩空)若隨機(jī)變量x服從二項(xiàng)分布b,則e(x）的值為_；若隨機(jī)變量yh(10，3，5），則e(y)_.e(x)np4，e(y).求離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望【例1】(1)設(shè)口袋中有黑球、白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球，已知取到白球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望值為，則口袋中白球的個(gè)數(shù)為（）a3b4c5d2（2）（一題兩空）某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為p0.6，則投籃1次時(shí)命中次數(shù)x的數(shù)學(xué)期望為_;重復(fù)5次投籃時(shí)，命中次數(shù)y的數(shù)學(xué)期望為_（1)a（2)0.63（1)設(shè)白球x個(gè)，則取出的2個(gè)球中所含白球個(gè)數(shù)為h（7，2,x）， e（），x3。故選a。(2）投籃1次，命中次數(shù)x的分布列如下表:x01p0.40.6則

5、e(x)0。6.由題意,重復(fù)5次投籃，命中的次數(shù)y服從二項(xiàng)分布，即yb(5,0.6），則e（y）np50。63.常見的三種分布的均值1設(shè)p為一次試驗(yàn)中成功的概率，則(1）兩點(diǎn)分布e(x)p；（2）二項(xiàng)分布e(x）np.2超幾何分布e(x），其中xh(n，n，m)熟練應(yīng)用上述公式可大大減少運(yùn)算量，提高解題速度1（1)籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分,不命中得0分已知他命中的概率為0。8，則罰球一次得分x的期望是_(2）設(shè)離散型隨機(jī)變量x的分布列為p(xk)c (k0,1，2,，300），則e(x)_。（1）0.8（2）100（1）因?yàn)閜（x1）0.8，p（x0）0.2，所以e（x)10。80

6、0.20。8.（2)由p（xk）c，可知xb，e（x）300100。離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)【例2】已知隨機(jī)變量x的分布列為x21012pm若y2x，則e（y）_。由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得m1，解得m，e（x)（2)（1）012.由y2x，得e（y）2e（x),即e（y）2.（變結(jié)論)本例條件不變，若ax3,且e（)，求a的值解e（）e（ax3）ae（x）3a3，所以a15。若給出的隨機(jī)變量與x的關(guān)系為axb，a，b為常數(shù).一般思路是先求出e(x),再利用公式e(axb)ae(x)b求e()。也可以利用x的分布列得到的分布列，關(guān)鍵由x的取值計(jì)算的取值，對應(yīng)的概率相等，再由定義法求得e().2

7、已知隨機(jī)變量和，其中127,且e(）34，若的分布列如下表,則m的值為()1234pmna。b。 c。d.a因?yàn)?27，則e(）12e（)7，即e()12734.所以2m3n，又mn1，所以mn，由可解得m。求離散型隨機(jī)變量的均值【例3】在甲、乙等6個(gè)單位參加的一次“唱讀講傳”演出活動(dòng)中,每個(gè)單位的節(jié)目集中安排在一起，若采用抽簽的方式隨機(jī)確定各單位的演出順序（序號為1,2，,6）,求：(1）甲、乙兩單位的演出序號至少有一個(gè)為奇數(shù)的概率;(2）甲、乙兩單位之間的演出單位個(gè)數(shù)的分布列與均值思路點(diǎn)撥（1）可先求“甲乙兩單位的演出序號至少有一個(gè)為奇數(shù)的對立事件的概率；（2)先求出的取值及每個(gè)取值的概率

8、，然后求其分布列和均值解只考慮甲、乙兩單位的相對位置,故可用組合計(jì)算基本事件數(shù)（1)設(shè)a表示“甲、乙的演出序號至少有一個(gè)為奇數(shù)”，則表示“甲、乙的演出序號均為偶數(shù)”，由等可能性事件的概率計(jì)算公式得p(a）1p（)11。（2）的所有可能取值為0,1，2,3,4，且p（0）,p（1)，p(2),p（3)，p（4）。從而知的分布列為01234p所以e（）01234.求離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的步驟（1)根據(jù)的實(shí)際意義，寫出的全部取值(2)求出的每個(gè)值的概率（3）寫出的分布列（4）利用定義求出數(shù)學(xué)期望其中第（1）、（2)兩條是解答此類題目的關(guān)鍵，在求解過程中應(yīng)注重分析概率的相關(guān)知識3盒中裝有5節(jié)同牌號

9、的五號電池,其中混有兩節(jié)廢電池現(xiàn)在無放回地每次取一節(jié)電池檢驗(yàn)，直到取到好電池為止，求抽取次數(shù)x的分布列及數(shù)學(xué)期望解x可取的值為1,2，3，則p（x1)，p(x2）,p（x3)1.抽取次數(shù)x的分布列為x123pe(x）123。離散型隨機(jī)變量的均值實(shí)際應(yīng)用探究問題1如果某籃球運(yùn)動(dòng)員的罰球命中率為0.7，則其罰球10次大約能命中幾個(gè)球?提示100。77個(gè)球2在實(shí)際問題中，為什么用樣本均值來估計(jì)總體均值？提示隨機(jī)變量總體的均值是一個(gè)常量，而樣本均值是一個(gè)變量，它常隨樣本的不同而變化，但當(dāng)樣本容量趨于無窮大時(shí)，樣本均值就越來越接近于總體的均值,故我們常用樣本均值估計(jì)總體均值【例4】隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品

10、200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元，設(shè)1件產(chǎn)品的利潤（單位：元）為x。(1）求x的分布列；(2）求1件產(chǎn)品的平均利潤(即x的數(shù)學(xué)期望)；(3)經(jīng)技術(shù)革新后,仍有四個(gè)等級的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70，如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？思路點(diǎn)撥解（1）x的所有可能取值有6，2，1,2。p（x6)0。63，p（x2）0.25，p(x1）0。1,p(x2)0。02.故x的分布列為x6212p0.630.250。10.02(2

11、）e(x）60。6320.2510.1（2)0.024.34.(3）設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤為e(x)60。72(10.70.01x）1x（2)0。014。76x（0x0。29）依題意,e(x)4.73，即4.76x4。73，解得x0.03，所以三等品率最多為3.1實(shí)際問題中的期望問題均值在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用,如對體育比賽的成績預(yù)測、消費(fèi)預(yù)測、工程方案的預(yù)測、產(chǎn)品合格率的預(yù)測、投資收益的預(yù)測等方面，都可以通過隨機(jī)變量的期望來進(jìn)行估計(jì)2概率模型的三個(gè)解答步驟(1）審題，確定實(shí)際問題是哪一種概率模型,可能用到的事件類型，所用的公式有哪些（2)確定隨機(jī)變量的分布列，

12、計(jì)算隨機(jī)變量的期望（3)對照實(shí)際意義,回答概率、均值等所表示的結(jié)論4甲、乙兩射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，射擊相同的次數(shù)，已知兩運(yùn)動(dòng)員擊中的環(huán)數(shù)x穩(wěn)定在7,8,9,10環(huán)將他們的比賽成績畫成頻率分布直方圖如圖甲和圖乙所示（1）根據(jù)這次比賽的成績頻率分布直方圖推斷乙擊中8環(huán)的概率p(x乙8)，以及甲擊中9環(huán)以上（包括9環(huán))的概率;（2)根據(jù)這次比賽的成績估計(jì)甲、乙誰的水平更高（即平均每次射擊的環(huán)數(shù)誰大）解（1)由圖乙可知p（x乙7）0.2，p(x乙9)0。2，p（x乙10）0.35，所以p（x乙8)10.20。20。350.25.同理p（x甲7）0。2，p(x甲8）0.15，p（x甲9)0。3,所以p

13、（x甲10）10.20.150.30。35.p（x甲9)0。30.350。65.（2)因?yàn)閑（x甲)70.280。1590.3100.358.8，e(x乙）70。280.2590。2100.358.7，則有e(x甲）e（x乙)，所以估計(jì)甲的水平更高1求離散型隨機(jī)變量均值的步驟：（1）確定離散型隨機(jī)變量x的取值；（2）寫出分布列,并檢查分布列的正確與否；(3)根據(jù)公式寫出均值2對于axb型的隨機(jī)變量，可利用均值的性質(zhì)求解,即e（axb)ae（x）b;也可以先列出axb的分布列,再用均值公式求解，比較兩種方式顯然前者較方便3若隨機(jī)變量xb（n，p），則e(x）np,若隨機(jī)變量yh(n，n，m）,則

14、e(y）.1一名射手每次射擊中靶的概率為0.8，則獨(dú)立射擊3次中靶的次數(shù)x的數(shù)學(xué)期望是（)a0.83b0。8c2.4d3ce(x）30.82。4。2有n件產(chǎn)品，其中有m件次品,從中不放回地抽n件產(chǎn)品,抽到次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望值是(）anb（n1)c。d（n1)c抽到的次品數(shù)xh(n,n，m），抽到次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望值e（x）。3某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：78910px0。10。3y已知的均值e(）8。9,則y的值為_0.4依題意得即解得y0。4。4已知e(x），且yax3，若e（y）2，則a_.3yax3，e（y）ae（x）3a32，a3。5根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車主購買甲種保險(xiǎn)的概率為0。5，購買乙種保險(xiǎn)但不購買甲種保險(xiǎn)的概率為0。3，設(shè)各車主購買保險(xiǎn)相互獨(dú)立(1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率；（2）x表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購買的車主數(shù)，求x的均值解設(shè)該車主購買乙種保險(xiǎn)的概率為p，由題意知p(10.5）0。3,解得p0。6。(1)設(shè)所求概率為p1，則p1