MINITAB統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)

1、minitab 統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)1.正態(tài)總體的抽樣分布1)樣本均值的分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布及 t 分布樣本標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式：ut 分布的定義：student t distribution，如果 x 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，s2 服從個(gè)自由度的卡方分布，且 它們相互獨(dú)立，那么隨機(jī)量所服從的分布稱為個(gè)自由度的 t 分布。其分布密度函數(shù)為：當(dāng)時(shí)的極限分布即是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，當(dāng)時(shí)就是 cauchy 分布。t 分布只包含 1 個(gè)參數(shù) 。數(shù)學(xué)期望和方差分別為 0， （時(shí)期望不存在，方差不存在）。我們常常用表示 個(gè)自由度的 t 分布。minitab 對(duì)于更一般的 t 分布還增加了一個(gè)“非中心參數(shù)”，當(dāng)非中心參數(shù)為 0 時(shí)，就得到了

2、我們現(xiàn)在所說的 t 分布。在用 minitab 計(jì)算時(shí)，只要注意這一點(diǎn)就行了。 自由度：可以簡(jiǎn)單理解為在研究問題中，可以自由獨(dú)立取值的數(shù)據(jù)或變量的個(gè)數(shù)。范例： zn(0，1)，求 z=1.98 時(shí)的概率密度。計(jì)算-概率分布-正態(tài)分布-概率密度-輸入常數(shù) 1.98-確定精品文庫(kù)概率密度函數(shù)正態(tài)分布，均值 = 0 和標(biāo)準(zhǔn)差 = 1x f( x )1.98 0.0561831。計(jì)算-概率分布-正態(tài)分布-累積概率-輸入常數(shù) 2.4-確定累積分布函數(shù)正態(tài)分布，均值 = 0 和標(biāo)準(zhǔn)差 = 1x p( x = x )2.4 0.991802zn(0，1)，求使得 p(z概率分布-正態(tài)分布-逆累積概率-輸入常

3、數(shù) 0.95-確定逆累積分布函數(shù)正態(tài)分布，均值 = 0 和標(biāo)準(zhǔn)差 = 1p( x 概率分布-t 分布-逆累積概率-輸入自由度 12-輸入常數(shù) 0.95-確定逆累積分布函數(shù) 學(xué)生 t 分布，12 自由度 p( x 概率分布-t 分布-累積概率-輸入自由度 12-輸入常數(shù) 3-確定2)3)累積分布函數(shù)學(xué)生 t 分布，12 自由度x p( x 概率分布 - 卡方分布 - 逆累積概率 - 自由度=10 - 常數(shù)=0.95 - 確定歡迎下載5精品文庫(kù)歡迎下載6精品文庫(kù)逆累積分布函數(shù) 卡方分布，10 自由度 p( x 概率分布 - 卡方分布 - 累積概率 - 自由度=10 - 常數(shù)=28 - 確定歡迎下載

4、7精品文庫(kù)4)累積分布函數(shù)卡方分布，10 自由度x p( x 概率分布 - f 分布 - 逆累積概率 - 分子自由度=8 - 分母自由度=18 - 常數(shù)=0.95 -確定歡迎下載9精品文庫(kù)2.逆累積分布函數(shù)f 分布，8 分子自由度和 18 分母自由度p( x 基本統(tǒng)計(jì)量 - 單樣本 z 來實(shí)現(xiàn)的。歡迎下載11精品文庫(kù)由于實(shí)際情況中，已知標(biāo)準(zhǔn)差的情況很少見，因此我們這里重點(diǎn)關(guān)注的是標(biāo)準(zhǔn)差位置時(shí)的情況。b)當(dāng)總體方差未知時(shí)，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差 s 代替，此時(shí)正態(tài)總體均值的 1 置信區(qū)間為：式中，表示自由度為 n 1 的 t 分布的分位數(shù)，也就是 t 分布的雙側(cè) 分位數(shù)。例如 =0.05 時(shí)，樣本量 n

5、= 16 時(shí)， ，其值略大于 。 在 minitab 中，我們通過：統(tǒng)計(jì) - 基本統(tǒng)計(jì)量 - 單樣本 t 來實(shí)現(xiàn)的。某集團(tuán)公司正推進(jìn)節(jié)省運(yùn)輸費(fèi)用活動(dòng)，下表為 20 個(gè)月使用的運(yùn)輸費(fèi)用調(diào)查結(jié)果數(shù)據(jù)：17421861182717781681174717421678167617541680179917921697173516641687180418521707假設(shè)運(yùn)輸費(fèi)用是服從正態(tài)分布的，求運(yùn)輸費(fèi)用均值的 95%置信區(qū)間。統(tǒng)計(jì) - 基本統(tǒng)計(jì)量 - 單樣本 t - 樣本所在列 = 運(yùn)輸費(fèi)用 - 選項(xiàng) - 置信水平 = 95 - 確定。歡迎下載12精品文庫(kù)歡迎下載13精品文庫(kù)單樣本 t: 運(yùn)輸費(fèi)用變量

6、n 均值 標(biāo)準(zhǔn)差均值標(biāo)準(zhǔn)誤 95% 置信區(qū)間運(yùn)輸費(fèi)用 20 1745.2 61.9 13.8 (1716.2, 1774.2)c)前兩種情況討論的是當(dāng)總體為正態(tài)分布時(shí)，n 超過 30 ，則可根據(jù)中心極限定理知道：的區(qū)間估計(jì)，然而當(dāng)總體不是正態(tài)分布時(shí)，如果樣本量仍近似服從正態(tài)分布，因而仍可用正態(tài)分布總提示的均值的區(qū)間估計(jì)方法，而且可以直接用樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替總體標(biāo)準(zhǔn)差，即采用公式：歡迎下載14精品文庫(kù)2)在 minitab 中，通常直接采用：統(tǒng)計(jì) - 基本統(tǒng)計(jì)量 - 圖形化匯總 中得到總體均值的置信區(qū) 間結(jié)果。只不過要注意的是：總體非正態(tài)時(shí)，在小樣本情況下此結(jié)果并不可信，只有當(dāng)樣本量超過30 后，由

7、于中心極限定理的保證，此結(jié)果才是可信的。單正態(tài)總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間當(dāng)時(shí)，正態(tài)總體方差的置信區(qū)間是：式中，和分別是分位數(shù)與分位數(shù)。當(dāng)時(shí)，正態(tài)總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間是：某集團(tuán)公司正推進(jìn)節(jié)省運(yùn)輸費(fèi)用活動(dòng)，下表為 20 個(gè)月使用的運(yùn)輸費(fèi)用調(diào)查結(jié)果數(shù)據(jù)：17421861182717781681174717421678167617541680179917921697173516641687180418521707假設(shè)運(yùn)輸費(fèi)用是服從正態(tài)分布的，求運(yùn)輸費(fèi)用方差和標(biāo)準(zhǔn)差的 95%置信區(qū)間。 統(tǒng)計(jì) - 基本統(tǒng)計(jì)量 - 單方差 - 樣本所在列 = 運(yùn)輸費(fèi)用 - 選項(xiàng) 95 - 確定。- 置信水平 =歡迎下載15

8、精品文庫(kù)歡迎下載16精品文庫(kù)歡迎下載單方差檢驗(yàn)和置信區(qū)間: 運(yùn)輸費(fèi)用方法卡方方法僅適用于正態(tài)分布。bonett 方法適用于任何連續(xù)分布。統(tǒng)計(jì)量變量 n 標(biāo)準(zhǔn)差 方差運(yùn)輸費(fèi)用 20 61.9 383095% 置信區(qū)間標(biāo)準(zhǔn)差置信 方差置信區(qū)變量 方法 區(qū)間 間運(yùn)輸費(fèi)用 卡方 (47.1, 90.4) (2215, 8170)bonett (49.0, 86.6) (2401, 7507)求總體標(biāo)準(zhǔn)差置信區(qū)間另一種方法：統(tǒng)計(jì) -基本統(tǒng)計(jì)量 - 圖形化匯總-變量：運(yùn)輸費(fèi)用 - 置信水平：95 -確定17精品文庫(kù)歡迎下載18精品文庫(kù)歡迎下載19精品文庫(kù)3)單總體比率的置信區(qū)間當(dāng)時(shí)，也就是 x 取“非 0

9、 則 1”的 0-1 分布，我們常需要估計(jì)總體中感覺的那類比率的置信區(qū)間，比如，一批產(chǎn)品中，不合格品率的大致范圍；顧客滿意度調(diào)查中，有抱怨顧客的比率范圍等。 這里我們記總體比率為 p，樣本比率為 。可以證明，當(dāng)樣本量足夠大時(shí)（要求 np5 及 np（1-p）5），且 p 值適中（0.1p基本統(tǒng)計(jì)量-單比率-匯總數(shù)據(jù)：事件數(shù)=1230，實(shí)驗(yàn)數(shù)=2000-選項(xiàng)-置信水平： 95 ；勾選使用正態(tài)分布的檢驗(yàn)和區(qū)間-確定歡迎下載20精品文庫(kù)歡迎下載由于 np5 及 np（1-p）5，可用于正態(tài)分布近似二項(xiàng)分布，故可以勾選使用基于正態(tài)分布的檢驗(yàn)和區(qū) 間。21精品文庫(kù)4)單比率檢驗(yàn)和置信區(qū)間樣本 x n 樣

10、本 p 95% 置信區(qū)間 1 1230 2000 0.615000 (0.593674, 0.636326) 使用正態(tài)近似。雙總體均值差的置信區(qū)間設(shè)有兩個(gè)總體樣本方差為，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為，從總體 x 中抽取的樣本 x ，x ，x ，樣本均值為 ，1 2 n，從總體 y 中抽取的樣本 y ，y ，y ，樣本均值為 ，樣本方1 2 n差為，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為。對(duì)兩總體均值差異的區(qū)間估計(jì)常有以下三種情況：a)兩個(gè)總體均服從正態(tài)分布，且兩個(gè)總體的方差都已知時(shí)，兩總體均值差異的 1- 置信水平下的置信區(qū)間為：只要樣本量足夠大，無論兩總體的方差是否相等，上式都成立。b)兩個(gè)總體均服從正態(tài)分布，且兩個(gè)總體的方差均未知

11、時(shí)，兩總體均值差異的 1- 置信水平下的置信區(qū)間為：式中，歡迎下載22精品文庫(kù)一家冶金公司需要減少其排放到廢水中的生物氧需求量含量。用于廢水處理的活化泥供應(yīng)商建議，用 純氧取代空氣吹入活化泥以改善生物氧需求量含量（此數(shù)值越小越好）。從兩種處理的廢水中分別抽 取 10 個(gè)和 9 個(gè)樣品，數(shù)據(jù)如下：空氣氧氣184163194185158178218183186171218140165155172179191175179已知生物氧需求量含量服從正態(tài)分布，試確定：該公司采用空氣和采用純氧減少生物氧需求量含量均 值之差的 95%置信區(qū)間。求兩總體的置信區(qū)間：統(tǒng)計(jì)-基本統(tǒng)計(jì)量-雙樣本 t-樣本在不同列中：

12、第一=空氣，第二=氧氣-勾選假定等方差-選項(xiàng)：置信水平=95，備擇=不等于-確定。歡迎下載23精品文庫(kù)雙樣本 t 檢驗(yàn)和置信區(qū)間: 空氣, 氧氣歡迎下載24精品文庫(kù)空氣 與 氧氣 的雙樣本 tn 均值 標(biāo)準(zhǔn)差均值標(biāo)準(zhǔn)誤空氣 10 186.5 20.0 6.3氧氣 9 169.9 14.7 4.9差值 = mu (空氣) - mu (氧氣)差值估計(jì)值: 16.61差值的 95% 置信區(qū)間: (-0.58, 33.80)差值 = 0 (與 ) 的 t 檢驗(yàn): t 值 = 2.04 p 值 = 0.057 自由度 = 17 兩者都使用合并標(biāo)準(zhǔn)差 = 17.7356c)當(dāng)兩個(gè)總體均服從正態(tài)分布，且兩個(gè)

13、總體的方差均未知時(shí)，兩總體均值差異的1- 置信水平下的置信區(qū)間為：式中，自由度 的計(jì)算公式為：假定 a，b 兩名工人生產(chǎn)相同規(guī)格的軸棒，關(guān)鍵尺寸是軸棒的直徑。由于 a 使用的是老式車床，b 使 用的是新式車床，二者精度可能有差異。經(jīng)檢驗(yàn)，他們的直徑數(shù)據(jù)確實(shí)來自兩個(gè)方差不等的正態(tài)分布。 現(xiàn)他們各測(cè)定 13 根軸棒直徑，數(shù)據(jù)如下：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 a 14.76 14.21 14.02 15.08 10.65 12.18 16.67 18.20 12.24 11.21 16.67 13.45 16.85 b 12.37 10.28 13.18 13.26

14、13.80 10.96 10.57 12.83 11.67 13.54 12.42 13.24 12.52 試確定 a，b 生產(chǎn)的軸棒直徑差異的 95%置信區(qū)間。求兩總體的置信區(qū)間：統(tǒng)計(jì)-基本統(tǒng)計(jì)量-雙樣本 t-樣本在不同列中：第一=空氣，第二=氧氣-選項(xiàng)：置信水平=95，備擇=不等于-確定。歡迎下載25精品文庫(kù)歡迎下載26精品文庫(kù)雙樣本 t 檢驗(yàn)和置信區(qū)間: a 工人, b 工人 a 工人 與 b 工人 的雙樣本 t均值標(biāo)n均值 標(biāo)準(zhǔn)差準(zhǔn)誤a 工人 13 14.32 2.35 0.65b 工人 13 12.36 1.15 0.32差值 = mu (a 工人) - mu (b 工人)差值估計(jì)值

15、: 1.965差值的 95% 置信區(qū)間: (0.435, 3.496)差值 = 0 (與 ) 的 t 檢驗(yàn): t 值 = 2.71 p 值 = 0.015 自由度 = 17獨(dú)立隨機(jī)樣本取自均值未知，標(biāo)準(zhǔn)差未知的兩個(gè)正態(tài)分布總體，若第一個(gè)總體樣本標(biāo)準(zhǔn)差s =0.73,樣本量 n=25， ，第二個(gè)總體樣本標(biāo)準(zhǔn)差 s =0.89,樣本量 n=20， 。求 1 2的95%置信區(qū)間。統(tǒng)計(jì)-基本統(tǒng)計(jì)量-雙樣本 t-匯總數(shù)據(jù)：第一（樣本數(shù)量=25，均差=6.9，標(biāo)準(zhǔn)差=0.73），第 二（樣本數(shù)量=20，均差=6.7，標(biāo)準(zhǔn)差=0.89）-選項(xiàng)：置信水平=95 -確定。歡迎下載27精品文庫(kù)歡迎下載28精品文庫(kù)

16、雙樣本 t 檢驗(yàn)和置信區(qū)間樣本 n均值 標(biāo)準(zhǔn)差均值標(biāo)準(zhǔn)誤5)1 25 6.900 0.730 0.152 20 6.700 0.890 0.20差值 = mu (1) - mu (2)差值估計(jì)值: 0.200差值的 95% 置信區(qū)間: (-0.301, 0.701)差值 = 0 (與 ) 的 t 檢驗(yàn): t 值 = 0.81 p 值 = 0.423 自由度 = 36雙總體比率差的置信區(qū)間設(shè)兩個(gè)總體的比率分別為 p 和 p ，為了估計(jì) p - p ，分別從兩個(gè)總體中各隨機(jī)抽取樣本量為 n 和 n 的兩1 2 1 2 1 2個(gè)隨機(jī)樣本，并計(jì)算兩個(gè)樣本的比率 ，可以證明 p - p 的置信水平為 1 的置信區(qū)間為：1 2為了解員工對(duì)工資的滿意度，對(duì) 250 名男員工、200 名女員工進(jìn)行調(diào)查，數(shù)據(jù)如下：區(qū)分男女合計(jì)求男女員工對(duì)工資滿意度差異的 95%置信區(qū)間。樣本數(shù)250200450滿意110104214歡迎下載統(tǒng)計(jì)-基本統(tǒng)計(jì)量-雙比率-匯總數(shù)據(jù)：第一（事件=110，實(shí)驗(yàn)=250），第二