人教版初中數(shù)學(xué)案例：對(duì)一道經(jīng)典習(xí)題的研討

1、初中數(shù)學(xué)案例對(duì)一道經(jīng)典習(xí)題的研討摘要：教師之間的合作學(xué)習(xí)是提高教師隊(duì)伍素質(zhì)建設(shè)的需要.本文詳細(xì)描述了在公開(kāi)課中一道練習(xí)題引發(fā)的討論，以進(jìn)行學(xué)法和解法的探究，并加以拓廣和歸納. 這樣的校本教研不把花架子，實(shí)效性很強(qiáng).關(guān)鍵詞：校本教研 習(xí)題探究 發(fā)揮新教材作用隨著信息時(shí)代的發(fā)展，教師原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)受到了前所未有的挑戰(zhàn)，光靠個(gè)人的學(xué)習(xí)已遠(yuǎn)不能滿足社會(huì)對(duì)教師的期望.此時(shí)，教師之間的合作學(xué)習(xí)不但成為新課程教學(xué)的所需，更成為教師自我成長(zhǎng)與發(fā)展的必需. 本校同級(jí)學(xué)科教師合作，即方便又實(shí)在，對(duì)于同一課題，不同教師的理解、處理，選擇的教學(xué)方式，以及整體的設(shè)計(jì)等方面的差異是很大的.這種差異為教師之間開(kāi)展合作性的教

2、學(xué)活動(dòng)提供了良好的基礎(chǔ).通過(guò)教師間互相交流、探討、模擬、分析結(jié)果，不僅能達(dá)到教學(xué)目的，還可以聚焦某個(gè)教學(xué)目標(biāo)任務(wù)，把完成同一教學(xué)任務(wù)而采取的各種不同的方法和方式進(jìn)行對(duì)比，不斷地改進(jìn)設(shè)計(jì)和選擇教學(xué)活動(dòng)，反思課堂教學(xué)的所得與所失.作為一名優(yōu)秀的教師，要不斷通過(guò)各種合作性教育手段提高自己，懂得從教學(xué)伙伴、教育對(duì)象那里獲取有用的信息，以增補(bǔ)自身在知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)方面的不足，使自己獲得知識(shí)信息方面的更新，以適應(yīng)新課程發(fā)展的需要.這也是提高教師隊(duì)伍素質(zhì)的建設(shè)需要.下面記錄的是本校數(shù)學(xué)教師在一節(jié)公開(kāi)課后，在評(píng)課中提出的一個(gè)問(wèn)題，然后討論解決這個(gè)問(wèn)題的經(jīng)過(guò)及相對(duì)應(yīng)的思考.一、問(wèn)題的引發(fā) 去年6月份，王老師上了一節(jié)四

3、邊形（人教版教材八年級(jí)下冊(cè)第十九章）的復(fù)習(xí)課.課堂上，王老師把教科書(shū)133頁(yè)15題作為課堂練習(xí).題目如下：aebcdf圖1如圖1，四邊形abcd是正方形，點(diǎn)e是邊bc的中點(diǎn)，aef=90，ef交正方形外角平分線cf于f.求證ae=ef.(提示：取ab的中點(diǎn)g,連接eg.)在評(píng)課會(huì)上，有老師指出，此題是編排在 “拓廣探索”中的.我認(rèn)為既然是拓廣探索題，就沒(méi)有必要作出提示，有提示就失去了探索的意義.這是因?yàn)椋旱谝?，按提示去做，學(xué)生順利完成，做后也不知道為什么這樣做.第二，學(xué)生按照提示去解題，容易滋生懶惰情緒，不會(huì)再去想別的解法.maebcdf圖2h這個(gè)提法后來(lái)引起了全組老師的熱烈討論.大部分老師說(shuō)

4、，編者總有他們的理由.這是一道經(jīng)典老題，并且解法也只有這一種，加上提示不僅避免走彎路，也希望所有學(xué)生都能上手,使得不同學(xué)生得到不同的發(fā)展基礎(chǔ)好的學(xué)生會(huì)去想想為什么這樣做，基礎(chǔ)差一點(diǎn)的學(xué)生也能根據(jù)提示解題，以充分掌握三角形全等的判定與應(yīng)用.但也有部分老師覺(jué)得這提示不好，老教材是沒(méi)有提示的.八年級(jí)的其他老師說(shuō)，我們準(zhǔn)備在下節(jié)課把這道題拋出來(lái)，不作提示，看學(xué)生的解題思路會(huì)有什么變化.二、學(xué)法的探究在本校第二次教研會(huì)上，一位教師不加提示，讓學(xué)生對(duì)這道題進(jìn)行討論，學(xué)生的分析思路是：思路一：如圖2，要證明ae = ef，連接af，可轉(zhuǎn)化為證eaf=efa. 因?yàn)閍ef = 90，只需證其中一個(gè)角等于45即

5、可，因?yàn)閙cf=dcf=45，只需證明它們相等即可，但是困難重重. 這時(shí)教師指出：這樣的證題思路是很好的，但還是無(wú)法求證，所以就應(yīng)給回過(guò)頭來(lái)重新看看已知條件，看看還有哪些條件沒(méi)有用上？這些條件有什么用？是否還有其它方法？這時(shí)學(xué)生想到： 思路二：證明ae和ef所在的兩個(gè)三角形全等，可是abe和efc怎么全等呢？從而學(xué)生想到過(guò)f作fhcm，則得b =fhe = 90，還有由aef=90可得aeb+hef = 90，又aeb+bae=90，從而得bae=hef.下面只要證ab=eh或be=hf就好了.學(xué)生由此又想到證ec=ch.這時(shí)已經(jīng)到了山窮水復(fù)疑無(wú)路的地步.老師接著說(shuō)，證ec=ch不可能.是否還

6、有別的方法？學(xué)生于是提出：思路三：上面輔助線添出與abe全等的三角形，能否添出與efc全等的三角形呢？從而想到取ab的中點(diǎn)g，連接ge.說(shuō)得太好了！這是尋找?guī)缀巫C明思路的常用方法之一，也是添加輔助線的由來(lái).聽(tīng)了這位教師的發(fā)言，大家一致認(rèn)為還是不作提示好.思考：學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的形成，并不是一帆風(fēng)順的，在沒(méi)有提示的情況下，雖然學(xué)生走了彎路，碰了幾次壁，但卻從中領(lǐng)會(huì)分析思路，掌握了解題方法，積累寶貴的解題經(jīng)驗(yàn).正是通過(guò)“做數(shù)學(xué)”來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，是難得可貴的探索性學(xué)習(xí).maebcdf圖3h接著另一位老師說(shuō)，他在課堂上把這道題拋出來(lái)給學(xué)生做，有位尖子生想出了下面一種解法：如圖3，作ecf關(guān)于直線bm的對(duì)稱ec

7、h，連接ac，因?yàn)檎叫蝍bcd，所以acd=45，因?yàn)閏f平分dcm，所以dcf=fcm = 45，mch = 45，故acf =fch = 90，所以ach = 180，得a、c、h三點(diǎn)在一直線上.又aef =acf = 90，所以eac=f，又f =h，所以eac=h，所以ea=eh，又ef=eh，故ea=ef.真是太妙了！以前我們都覺(jué)得此題就只有一種解法；但不作提示，學(xué)生竟能想出這種解法.由此可見(jiàn)，提示束縛了學(xué)生的思維.現(xiàn)在，教研會(huì)雖然結(jié)束了，但討論和思索仍在繼續(xù).maebcdf圖4h三、解法的探究由于教師們對(duì)這道題發(fā)生了興趣，所以繼續(xù)鉆研下去.在第三次教研會(huì)上，教師的想法更多、更精彩

8、了！“既然利用對(duì)稱可以證明，我就想到用旋轉(zhuǎn)證明.”一位教師說(shuō).方法一，如圖4，連接ac，過(guò)e點(diǎn)作ehbc交ac于h.此時(shí)可得ehc=45，ec=eh，所以ahe=135=ecf，因?yàn)閑ac=f，所以aehfec，所以ae=ef.maebcdf圖5h這種方法相當(dāng)于把fec繞點(diǎn)e逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90. 方法二，如圖5，把a(bǔ)be繞點(diǎn)b順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，則bae=bch，由已知可得fec=bae，故fec=bch，所以efhc，因?yàn)閔ec=ecf=135，所以hecf，得四邊形hefc是平行四邊形，故hc=ef，因?yàn)閔c=ae，所以ae= ef.“用相似也能證明.”又有一位教師發(fā)話了.方法三，如圖2，作fhc

9、m，因?yàn)閒cm=45，可得ch=fh.可證abeehf，得，從而有，故，得eh=2ce=2be=ab，所以有abeehf，得ae=ef.多么高明的證法，先證明兩個(gè)三角形相似后再證明它們?nèi)?這是很少有的證題思路，老師們說(shuō).“我也是根據(jù)學(xué)生的思路二接下去想到的.”他說(shuō).這時(shí)大家又說(shuō)，“在上文提到的思路二中，老師說(shuō)證ec=ch不可能”這句話應(yīng)改為：“從目前來(lái)看證ec=ch有一定的難度.”aebcdf圖6接著，有一位老師想出了添輔助圓的方法.這位老師這樣描述：方法四，如圖6，由aef = 90，若連接ac，還有acf = 90，所以想到作以af為直徑的圓，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，得afe =ace

10、 = 45，則得afe=eaf=45，從而得ae=ef.這樣更簡(jiǎn)單，老師們總結(jié)道.這90角，想到添輔助圓是很好的思考方法.還有，如找一條已知線段為邊的直角三角形，也要想到添以這條線段為直徑的輔助圓.dabcemf圖7這樣一來(lái)，在“思路一”中，教師應(yīng)該說(shuō)“目前我們所學(xué)的知識(shí)還不能證明” .還有方法五：由正方形abcd，e是邊bc的中點(diǎn)，cf是正方形外角平分線，想到構(gòu)造正方形網(wǎng)格，如圖7，則ae是12矩形的對(duì)角線，因?yàn)閍ef=90，所以ef是21矩形的對(duì)角線.此時(shí)的cf是小正方形的對(duì)角線，所以是正方形abcd的外角平分線，故ae=ef=.四、拓廣把解題方法五與書(shū)本中(116頁(yè)的實(shí)驗(yàn)與探究) 的“巧

11、拼正方形”聯(lián)系起來(lái),這道題還可以拓廣，有位老師說(shuō).書(shū)上探究的問(wèn)題是:給你兩個(gè)大小不等的正方形,你能把它拼成一個(gè)大正方形嗎?(參考圖8)說(shuō)明你的拼法的道理.在拼圖中可以看到e點(diǎn)位置變化后結(jié)論不變.aebcdf圖9g圖851234123451.改變點(diǎn)e的位置把條件“e為bc的中點(diǎn)”改為：（1）e為bc上任意一點(diǎn)，其它條件不變，結(jié)論仍成立.證明略.（2）e在bc的延長(zhǎng)線上，如圖9，其它條件不變，結(jié)論仍成立.此時(shí)，延長(zhǎng)ba到g ，使ag = ce，連接eg，可證aegefc，得ae=ef.那么在cb的延長(zhǎng)線上是否也成立呢？有個(gè)老師提出這樣的問(wèn)題，老師們便紛紛畫(huà)圖證明.ebacdf圖10gbaecf圖1

12、1baecdf圖12g（3）如圖10，e在cb的延長(zhǎng)線上，其它條件不變，結(jié)論仍成立. 此時(shí)，延長(zhǎng)ab到g ，bg = be，連接eg，可證aegefc，得ae=ef.2.改變正方形abcd此時(shí)老師們的思維似乎也非?；钴S，有人提出來(lái)，既然正方形成立，我們把它改成正三角形試試，結(jié)論是否還成立？后來(lái)又拓廣到正n邊形.（1）如圖11，abc是正方形，點(diǎn)e是直線bc上的點(diǎn)，aef =60，ef交abc外角平分線cf于f.求證ae=ef.cagbdefh圖13（2）如圖12，已知正五邊形abcde，g是直線 ed 上 的 點(diǎn)，agf=108，gf交正五邊形abcde的外角平分線df于f.求證ag=gf.（

13、3）還可以拓廣到正n邊形. 如圖13，已知正n邊形abcdef，g是直線ef上的點(diǎn)，agh =，gh交正n邊形的外角平分線eh于h，求證：ag = eh.以上證明從略. 老師們說(shuō)，好多中考探究題就是這樣拓展出來(lái)的，我們對(duì)這道題的探究很滿意，也很完美！五、歸納后來(lái)我仔細(xì)想想，針對(duì)以上各種情況，脫掉正多邊形的外衣，這道習(xí)題的實(shí)質(zhì)就是下面的問(wèn)題.gabcdef圖14如圖14，已知abc，ba=bc，acg =b，e是直線bc上的點(diǎn)（不與b，c重合），aef =b，ef交cf于f，則ae = ef.六、幾點(diǎn)體會(huì)1.以課程實(shí)施過(guò)程中教師面對(duì)的具體問(wèn)題為對(duì)象進(jìn)行教研，這樣的校本教研不把花架子，實(shí)效性強(qiáng).教

14、學(xué)中僅有教師個(gè)人是不夠的，還要增強(qiáng)合作意識(shí)和研究意識(shí)，以教師之間的共同覺(jué)悟去分享經(jīng)驗(yàn)，互相學(xué)習(xí)，彼此支持，共同進(jìn)步；以教師是研究者的眼光去審視、分析和解決自己在教學(xué)實(shí)際中遇到的真實(shí)問(wèn)題.教師要主動(dòng)收集尋找“現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的”學(xué)習(xí)材料，并更多地進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)和相互交流. 2.在教學(xué)中，讓學(xué)生以研究者的身份，參與探索、發(fā)現(xiàn)并獲得知識(shí)的全過(guò)程，使其體會(huì)到通過(guò)自己的努力取得成功的快樂(lè)，從而產(chǎn)生濃厚的興趣和求知欲.“未來(lái)的文盲不再是不識(shí)字的人，而是沒(méi)有學(xué)會(huì)怎樣學(xué)習(xí)的人”，這充分說(shuō)明了學(xué)習(xí)方法的重要性，它是獲取知識(shí)的一把金鑰匙.學(xué)生一旦掌握了學(xué)習(xí)方法，就能自己打開(kāi)知識(shí)寶庫(kù)的大門(mén).因此，改進(jìn)課堂教學(xué)，不但要幫助學(xué)生“學(xué)會(huì)”，更要指導(dǎo)學(xué)生“會(huì)學(xué)”.3.教師在教學(xué)中要用教材，不是教教材，而是如何用好教材，并超出教材.我們要緊緊抓住課