必修五第一章解三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及經(jīng)典習(xí)題

1、必修五第一章解三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及經(jīng)典習(xí)題(數(shù)學(xué)教研組)一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1 正弦定理：一ab C 2R (R：外接圓半徑)sin A sin B sin C或變形： a:b:c 二si nA:s in B : si nC.結(jié)論：定理：在三角形中，a、B為其內(nèi)角，則a=B = sin _ sin ：,等號(hào)當(dāng)且當(dāng)a = B時(shí)成立。判斷三角形大小關(guān)系時(shí)，可以利用如下原理：sin A sin BA B ：= a b-2 丄 22n b +c -acosA =2bca2 + c2 _ b2cosB2ac2 2 2 cose = b-cos A cos B ：= A ： B = a b三角形的面積公式：111

2、S = absin C= bcsin A= acsin B222a2 =b2 +c2 -2bccosA2 余弦定理：b2 = a2 c2-2accosB 或c2 =b2 +a2 2bacosC2ab3利用正弦定理和余弦定理分別能解決的問題：(1) 正弦定理：1、已知兩角和一邊(如 A、B、c)，由A+B+C = n求C,由正弦定理求a、b.(ASA或 AAS)2、已知兩邊和其中一邊的對(duì)角(如 a、b、A),應(yīng)用正弦定理求B,由A+B+C= n求C,再由正弦定理或余弦定理求 c邊，要注意解可能有多種情況.(SSA)(2) 余弦定理：1、已知三邊a、b、c,應(yīng)余弦定理求 A B,再由A+B+C =

3、 n，求角C.(SSS)2、已知兩邊和夾角(如a、b、C),應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用 A+B+C= n，求另一角.(SAS)主流思想：利用正、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式 .5. 三角形中的基本關(guān)系：sin (A B)二 si nC, cos( A B) - - cosC, tan (A B) - - ta nC, AB C A B C+A B +Csincos ,cossin ,ta ncot 2 2 2 2 2 26. 求解三角形應(yīng)用題的一般步驟：(1) 分析：分析題意，弄清已知和所求；(2) 建模：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，寫出已知

4、與所求，并畫出示意圖；(3) 求解：正確運(yùn)用正、余弦定理求解；(4) 檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求是否符合實(shí)際意義。習(xí)題練習(xí)B 1 A Csin cos 2 2 2:一 ：一， cos二2224 sin B =2sincos2解三角形B組一、選擇題1. 在厶 ABC 中，A:B:C=1:2:3，則 a:b: c 等于（C ）A . 1:2:3 B. 3: 2:1 C . 1: 3:2 D . 2-. 3:1二、填空題f2. 若在 ABC 中， A = 60,b =1,Sabc =也 則 a . b c = （ 2聖）sin A sin B sin C3. 在厶ABC中，若a =9,b =10,c =12

5、,則厶ABC的形狀是銳角三角形在厶ABC5 .在銳角 ABC中，若a =2,b =3，則邊長(zhǎng)c的取值范圍是（、.5八13）三、解答題6. 在厶 ABC 中，A =120,c b,a 八 21,S、abc “3，求 b,c。解：S.ABc-bcsi nA=3,bc=4,解三角形A組一、選擇題1. 在厶ABC中，若b =2asin B，則A等于（D ）A. 30或60 B . 45或60 C. 1200或60D . 30或 15002邊長(zhǎng)為5,7,8的三角形的最大角與最小角的和是（B ）A. 90 B. 120C. 135D. 150二、填空題3. 在 ABC 中，若 a2 =b2 +bc + c

6、2,則A=120_。4. 在 ABC 中，若 b =2,B =30,C =135,則a = 6 - , 2。三、解答題5. 在 ABC 中，設(shè) a c = 2b, A - C,求 sin B 的值。A+C A Cb b解：T a c = 2b, sin A sin C = 2sin B，即 2sin cos4sincos ，2 2 2 22 2 2a b c 2 b(co s A, b c, 5而 c b所以 b = 1,c = 47. 在 ABC 中，若 acos2 C ccos2 = 3b，求證： a c = 2b2 2 2證明:acos2C ccos2 衛(wèi)2 2 2A 1+cosC .

7、c 1 + cos A 3sin B sin Asin C2 2 2即 sin A sin AcosC sin C sin C cos A = 3sin B sin A si n C sin (A C) = 3sin B即 sin A sin C = 2sin B , a c = 2b解三角形C組一、選擇題1. A ABC的內(nèi)角，貝U si nA cosA的取值范圍是(C)A . (.2,2) B. (-2.2) C. (-1,.2 D. i.2,.22在 ABC中，若a =7,b =3,c=8，則其面積等于(D )21LA. 12 B.C. 28 D . 6 323.在厶 ABC 中，若(a

8、 c)(a -c) = b(b c)，貝U A= ( C )A . 900B . 600C . 1200 D . 1504.在厶ABC中,若 ta n A tan B2春，則ABC的形狀是A.直角三角形B .等腰或直角三角形C .不能確定D.等腰三角形二、解答題5.如果 ABC 內(nèi)接于半徑為 R 的圓，且 2R(sin2A-sin2 C) = C，2a - b)sinB,求厶ABC的面積的最大值。解: 2Rsin A sinA-2RsinC sinC=( .2ab)sin B,asinAcsinC =( 2ab)sin B,a2c2 二 2abb2,a2 b2c2 = 2ab,cosC 二 b

9、c2,C =450- 2sin C= 2R,c =2Rsin C =、2R,a2 b2 -2R2 二-2ab,2ab2R2 、2ab=a2 b2 _ 2ab,ab ： 2R2-421S absinC =2遼 abfR244 2- tC n3_31 At a nCt anA t Cn=2，聯(lián)合 tan A tanC =3 一 3得込或tanA即AS：或AV：jtanC =1jtanC = 2 、3 jC =45 jC =75當(dāng) A = 75,C = 45 時(shí)，b = = 4(3“/2 -、6), c = 8(*3 -1),a = 8 sin A當(dāng) A = 45, C = 75 時(shí)，b46, c

10、= 4(丿3 1), a = 8sin A當(dāng) A =75,B =60,C =45 時(shí)，a = 8,b = 4(3 .,2 - . 6),c = 8(. 3 -1),當(dāng) A =450,B =60,C =75 時(shí)，a = 8,b = 4.6,c = 4( .3 1)。解三角形D組1.在厶 ABC 中，sin A cosA 2，AC = 2 , AB = 3，求 tan A 的值和.ABC 的面積。 2解法一：先解三角方程，求出角 A的值。 - sin A cosA 二.2 cos(A 45 ) = 220 1.cos( A - 45 )2又 0 : A： 180, . A-45 =60, A =1

11、05.1 :3tan A =tan(4560 )2 叩3 ,1 -V3 r i : qsinA=sin105 =sin(45 60) =sin45 cos60 cos45 sin60 = 一Sabc Jac ABsinA232 , 6)。2244解法二：由sin A cosA計(jì)算它的對(duì)偶關(guān)系式sin A cosA的值。 - sin A cosA 二2.(sin A cos A)2sin AcosA 二20 : A ： 180 sin A 0,cos A ： 0.另解(sin2A =l)22(sin A - cos A)=1 - 2sin AcosA 二 355.sin A -cosA6.2 6

12、442一得+得si nA從而 tan A 二 sin AcosA2. （2010 上海文數(shù) 18.）若厶 ABC 的三個(gè)內(nèi)角滿足 si nA: si nB:s in C =5:11:13，則 ABC（ c ）（A） 定是銳角三角形.（B） 定是直角三角形.（C） 一定是鈍角三角形.（D）可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.3. （2010天津理數(shù)7）在厶ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，若a2 - b23bc, si nC二2. 3sin B， 則 A=（ A ）（A） 300（ B） 600（ C） 1200（ D） 15004. （2010 湖北理數(shù)）3.在 ABC 中，a

13、=15,b=10,A=60。，則 cos B =（ D ）A 2 2 B 2 - C - D -63 3335. （2010廣東理數(shù)）11.已知a,b,c分別是 ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，若a=1,b=-、3, A+C=2B, 貝U sinC= 1_。2 26. （2009全國卷i理）在 ABC中，內(nèi)角A B C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c,已知a - c = 2b，且 sin AcosC 二 3cos As in C, 求 b7. （2009四川卷文）在 ABC中，A、B為銳角，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,且sin A =,sin B 1010（I ）求 A B 的值；（II

14、 ）若 a - b “2 -1，求 a、b、c 的值解(1) A B為銳角，沁尋心晉二 cosA =：Jl1sin2 A；25 ,cosB 二Cn2B =3 105102J5 3j10 J5 J1042cos(A B) = cos A cos B -sin Asin B5105102/ 0 A + B 兀二 A +B =王，4(II )由(I)知 c 二竺，二 sinC二二4 2由工 b J得 sin A sin B sinC 5a =。匕=. 2c,即卩 a = . 2b, c = . 5b又二 ab=J21.2b-b= ,2 -1 二 b = 1a = 2, c = 58. (2010遼寧

15、文數(shù)17)(本小題滿分12分)在.ABC 中，a、b c 分別為內(nèi)角 A、B、C 的對(duì)邊，且 2asi nA = (2b c)s in B (2c b)si nC(I)求A的大小；(U)若sin B sin C =1，試判斷.：abc的形狀.解：(I)由已知，根據(jù)正弦定理得 2a2二(2b c)b (2c b)c即 a2 二 b2 c2 bc由余弦定理得a2二b2 c2 -2bccosA故 cos A - -1,A =1202(U)由(I)得 sin2 A =sin2 B sin2C sin BsinC.1 又 sin B sin C = 1，得 sin B 二sinC =-2因?yàn)?0 : B : 90 ,0: C : 90，故B二C所以厶ABC是等腰的鈍角三角形。9. (2010遼寧理數(shù))(17)(本小題滿分12分)在厶ABC中, a, b, c 分別為內(nèi)角 A, B, C 的對(duì)