中學(xué)代數(shù)公式大全

1、. 目目 錄錄 一、初中代數(shù)一、初中代數(shù) 1 二、高中代數(shù)二、高中代數(shù) 4 2.1、函數(shù)4 2.1.1 不等式7 2.1.1 數(shù)列8 2.1.1 三角函數(shù)9 2.1.1 復(fù)數(shù)11 2.2 排列、組合12 2.3 平面幾何13 2.3.1 直線與角13 2.3.2 三角形14 2.4 立體幾何14 2.4.1 直線與平面14 2.4.2 多面體、棱柱、棱錐17 2.5 解析幾何17 2.5.1 方程與曲線17 2.5.2 直線18 2.5.3 圓19 2.5.4 橢圓19 2.5.5 雙曲線20 2.5 拋物線20 2.6 向量部分21 2.6.1 空間向量21 2.6.2 平面向量22 三、常

2、用公式三、常用公式 23 3.1 常用公式23 3.2 幾何圖形及計算公式25 四、坐標(biāo)幾何和二維、三維圖形四、坐標(biāo)幾何和二維、三維圖形 27 4.1 坐標(biāo)幾何27 4.2 二維圖形28 4.3 三維圖形29 一、初中代數(shù)一、初中代數(shù) . . 【實數(shù)的分類實數(shù)的分類】 【自然數(shù)自然數(shù)】表示物體個數(shù)的 1、2、3、4等都稱為自然數(shù) 【質(zhì)數(shù)與合數(shù)質(zhì)數(shù)與合數(shù)】 一個大于 1 的整數(shù)，如果除了它本身和 1 以外不能被其它正整數(shù)所整除，那么這個數(shù)稱為質(zhì)數(shù)。 一個大于 1 的數(shù)，如果除了它本身和 1 以外還能被其它正整數(shù)所整除，那么這個數(shù)知名人士為 合數(shù)，1 既不是質(zhì)數(shù)又不是合數(shù)。 【相反數(shù)相反數(shù)】只有符

3、號不同的兩個實數(shù)，其中一個叫做另一個的相反數(shù)。零的相反數(shù)是零。 【絕對值絕對值】 一個正數(shù)的絕對值是它本身，一個負(fù)數(shù)絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值為零。 從數(shù)軸上看，一個實數(shù)的絕對值是表示這個數(shù)的點離開原點距離。 【倒數(shù)倒數(shù)】1 除以一個非零實數(shù)的商叫這個實數(shù)的倒數(shù)。零沒有倒數(shù)。 【完全平方數(shù)完全平方數(shù)】如果一個有理數(shù) a 的平方等于有理數(shù) b，那么這個有理數(shù) b 叫做完全平方數(shù)。 【方根方根】如果一個數(shù)的 n 次方（n 是大于 1 的整數(shù)）等于 a，這個數(shù)叫做 a 的 n 次方根。 【開方開方】求一數(shù)的方根的運(yùn)算叫做開方。 【算術(shù)根算術(shù)根】正數(shù) a 的正的 n 次方根叫做 a 的 n 次算術(shù)

4、根，零的算術(shù)根是零，負(fù)數(shù)沒有算術(shù)根。 【代數(shù)式代數(shù)式】 用有限次運(yùn)算符號（加、減、乘、除、乘方、開方）把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)所得的式子，叫 做代數(shù)式。 【代數(shù)式的值代數(shù)式的值】 用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結(jié)果，叫做當(dāng)這個字母取這個數(shù)值時的代數(shù)式的值。 【代數(shù)式的分類代數(shù)式的分類】 【有理式有理式】只含有加、減、乘、除和乘方運(yùn)算的代數(shù)式叫有理式 【無理式無理式】根號下含有字母的代數(shù)式叫做無理式 . . 【整式整式】沒有除法運(yùn)算或者雖有除法運(yùn)算而除式中不含字母的有理式叫整式 【分式分式】除式中含字母的有理式叫分式 【有理數(shù)的運(yùn)算律有理數(shù)的運(yùn)算律】 【等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)】 【乘法公式乘

5、法公式】 【因式分解因式分解】 方 程 含有未知數(shù)的等式叫做方程。 方程的解 在未知數(shù)允許值范圍內(nèi)，能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。 【方程方程】 解 方 程 在指定范圍內(nèi)求出方程所有解，或者確定方程無解的過程，叫做解方程。 【一元一次方程一元一次方程】 一元一次方程：只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是一次的整式方程叫做一元一次方程 . . 【一元二次方程一元二次方程】 二、高中代數(shù)二、高中代數(shù) 2.12.1、函數(shù)、函數(shù) 【集合集合】 指定的某一對象的全體叫集合。集合的元素具有確定性、無序性和不重復(fù)性。 【集合的分類集合的分類】 【集合的表示方法集合的表示方法】 名名 稱稱 定定 義義

6、 圖圖 示示 性性 質(zhì)質(zhì) 子子 集集 真真 子子 集集 . . 交交 集集 并并 集集 補(bǔ)補(bǔ) 集集 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)定定 義義 判定方法判定方法 函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性 函如果對一函數(shù) f(x)定義域內(nèi)任意一個 x，都有 f(-x)=-f(x),那么函數(shù) f(x)叫做 奇函數(shù)；函如果對一函數(shù) f(x)定義域內(nèi)任 意一個 x，都有 f(-x)=f(x),那么函數(shù) f(x)叫做偶函數(shù) 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性 對于給定的區(qū)間上的函數(shù) f(x)： 函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性 對于函數(shù) f(x)，如果存在一個不為零的常 數(shù) T，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的每一個值時， f(x+T)=f(x)都成立，那

7、么就把函數(shù) y=f(x)叫做周期函數(shù)。不為零的常數(shù) T 叫 做這個函數(shù)的周期。 （1）利用定義 （2）利用已知函數(shù)的周期 的有關(guān)定理。 函數(shù)函數(shù) 名稱名稱 解析式解析式 定義域定義域 值值 域域 奇偶性奇偶性 單單 調(diào)調(diào) 性性 正比正比 例函例函 數(shù)數(shù) R R 奇函數(shù) . . 反比反比 例函例函 數(shù)數(shù) 奇函數(shù) 一次一次 函數(shù)函數(shù) RR 二次二次 函數(shù)函數(shù) R 函數(shù)函數(shù) 名稱名稱 解析式解析式 定義域定義域 值值 域域 奇偶性奇偶性 單單 調(diào)調(diào) 性性 正比正比 例函例函 數(shù)數(shù) R R 奇函數(shù) 反比反比 例函例函 數(shù)數(shù) 奇函數(shù) 一次一次 函數(shù)函數(shù) RR . . 二次二次 函數(shù)函數(shù) R . . 2.

8、1.12.1.1 不等式不等式 不等式不等式 用不等號把兩個解析式連結(jié)起來的式子叫做不等式 不等式不等式 的性質(zhì)的性質(zhì) 含絕對值不等式的性質(zhì)含絕對值不等式的性質(zhì) 幾個重要的不等式幾個重要的不等式 形形 式式 解解 集集 R R 一一 元元 一一 次次 不不 等等 式式 的的 解解 法法 一一 元元 . . R R 二二 次次 不不 等等 式式 的的 解解 法法 絕絕 對對 值值 不不 等等 式式 的的 解解 法法 無無 理理 不不 等等 式式 的的 解解 法法 2.1.12.1.1 數(shù)列數(shù)列 名名 稱稱 定定 義義 通通 項項 公公 式式 前前 n n 項的和公式項的和公式 其它其它 數(shù)數(shù) 列

9、列 按照一定次序排成一列按照一定次序排成一列 的數(shù)叫做數(shù)列，記為的數(shù)叫做數(shù)列，記為anan 如果一個數(shù)列如果一個數(shù)列 anan的第的第 n n 項項 anan 與與 n n 之間的關(guān)系之間的關(guān)系 可以用一個公式可以用一個公式 來表示，這個公來表示，這個公 式就叫這個數(shù)列式就叫這個數(shù)列 的通項公式的通項公式 等等 差差 數(shù)數(shù) 列列 . . 等等 比比 數(shù)數(shù) 列列 數(shù)列前數(shù)列前 n n 項和與通項的關(guān)系：項和與通項的關(guān)系： 無窮等比數(shù)列所有項的和：無窮等比數(shù)列所有項的和： 適適 用用 范范 圍圍 證證 明明 步步 驟驟 注注 意意 事事 項項 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 歸歸 納納 法法 只適用于證明與自然數(shù) n

10、 有 關(guān)的數(shù)學(xué)命題 設(shè) P(n)是關(guān)于自然 n 的一個命題，如果 (1)當(dāng) n 取第一個值 n0(例如：n=1 或 n=2) 時，命題成立(2)假設(shè) n=k 時，命題成立， 由此推出 n=k+1 時成立。那么 P(n)對于一 切自然數(shù) n 都成立。 （1）第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步的推 理根據(jù)，兩步缺一不可 （2）第二步的證明過程中必須使用歸納 假設(shè)。 2.1.1 三角函數(shù)三角函數(shù) 角角 一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的圖形叫做角。旋轉(zhuǎn)開始時的射線叫角的始邊，旋轉(zhuǎn)終止時的射線 叫角的終邊，射線的端點叫做角的頂點。 角的單位制角的單位制關(guān)關(guān) 系系弧弧 長長 公公 式式 扇扇 形形 面面 積積 公

11、公 式式 角度制角度制 弧度制弧度制 位 置 角 的 集 合 在 x 軸正半軸上 在 x 軸負(fù)半軸上 角角 的的 終終 邊邊 在 x 軸上 . . 在 y 軸上 在第一象限內(nèi) 在第二象限內(nèi) 在第三象限內(nèi) 在第四象限內(nèi) 函數(shù)函數(shù)/ /角角 0 sina010-10 cosa10-101 tana01 不 存 在 0 不存 在 0 特特 殊殊 角角 的的 三三 角角 函函 數(shù)數(shù) 值值 cota 不存在 10 不存 在 0 不存 在 函數(shù)函數(shù)定義域定義域值域值域 奇偶奇偶 性性 周期性周期性 單單 調(diào)調(diào) 性性 y=sinx R 奇函 數(shù) y=cosx R 偶函 數(shù) y=tanx R 奇函 數(shù) 三三

12、角角 函函 數(shù)數(shù) 的的 性性 質(zhì)質(zhì) y=cotx R 奇函 數(shù) . . 角角/ /函數(shù)函數(shù) 正弦正弦 余弦余弦 正切正切 余切余切 -a -sina cosa -tana -cota 900a cosa sina cota tana 900+a cosa -sina -cota -tana 1800-a sina -cosa -tana -cota 1800+a -sina -cosa tana cota 2700-a -cosa -sina cota tana 2700+a -cosa sina -cota -tana 3600-a -sina cosa -tana -cota sina c

13、osa tana cota 倒數(shù)關(guān)系倒數(shù)關(guān)系 商數(shù)關(guān)系商數(shù)關(guān)系 同角公式同角公式 平方關(guān)系平方關(guān)系 和差角公式和差角公式 / 倍角公式倍角公式 萬能公式萬能公式 半角公式半角公式 . . 積化和差公式積化和差公式 和差化積公式和差化積公式 2.1.1 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 復(fù)數(shù)的定義復(fù)數(shù)的定義 引入虛數(shù)單位 i，規(guī)定 i2=1,i 可以和實數(shù)一起進(jìn)行通常的四則運(yùn)算，運(yùn)算時原有加乘運(yùn)算仍然成立。 形如：a+bi（a,b 為實數(shù)） a-實部 b-虛部 代代 數(shù)數(shù) 形形 式式 復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)的 表示形式表示形式 三三 角角 形形 式式 代代 數(shù)數(shù) 式式 復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)的運(yùn)算 三三 角角 式式 . . 2.2 排列、

14、組合排列、組合 分分 類類 計計 數(shù)數(shù) 原原 理理 分分 步步 計計 數(shù)數(shù) 原理原理 做一件事，完成它有 n 類不同的辦法。第一類 辦法中有 m1 種方法，第二類辦法中有 m2 種方 法，第 n 類辦法中有 mn 種方法，則完成這 件事共有：N=m1+m2+mn 種方法。 做一件事，完成它需要分成 n 個步驟。第一步中有 m1 種方法，第二步中有 m2 種方法，第 n 步中 有 mn 種方法，則完成這件事共有：N=m1m2mn 種方法。 注意：處理實際問題時，要善于區(qū)分是用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理，這兩個原理的標(biāo)志是 “分類”還是“分步驟” 。 排排 列列 組組 合合 從 n 個不同的元素

15、中取 m(mn)個元素，按照一 定的順序排成一排，叫做從 n 個不同的元素中 取 m 個元素的排列。 從 n 個不同的元素中，任取 m(mn)個元素并成一 組，叫做從 n 個不同的元素中取 m 個元素的組合。 排排 列列 數(shù)數(shù) 組組 合合 數(shù)數(shù) 從 n 個不同的元素中取 m(mn)個元素的所有排 列的個數(shù)，叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元 素的排列數(shù)，記為 Pnm 從 n 個不同的元素中取 m(mn)個元素的所有組合 的個數(shù)，叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的組 合數(shù)，記為 Cnm 選選 排排 列列 數(shù)數(shù) 全全 排排 列列 數(shù)數(shù) 二二 項項 式式 定定 理理 二項展開式的性質(zhì)二項

16、展開式的性質(zhì) (1)項數(shù)：n+1 項 (2)指數(shù)：各項中的 a 的指數(shù)由 n 起依次減少 1，直至 0 為止；b 的指出從 0 起依次增加 1，直至 n 為止。而每項中 a 與 b 的指數(shù)之和均等于 n 。 (3)二項式系數(shù)： . . 各奇數(shù)項的二項式數(shù)之和等于各偶數(shù)項的二項式的系數(shù)之和 2.32.3 平面幾何平面幾何 2.3.1 直線與角直線與角 直直 線線 （不定義）直線向兩方無限延伸，它無端點。 射射 線線 在直線上某一點旁的部分。射線只有一個端點。 線線 段段 直線上兩點間的部分。它有兩個端點。 垂垂 線線 如果兩條直線相交成直角，那么稱這兩條直線互相垂直。其中一條叫另一條的垂線，它們

17、的交點 叫垂足。 斜斜 線線 如果兩條直線不相交成直角時，其中一條直線叫另一條直線的斜線。 點到直線的距離點到直線的距離 從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線距離。 線段的垂直平分線線段的垂直平分線 定理：線段的垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。 平平 行行 線線 在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線。 平行線公理及推論平行線公理及推論 經(jīng)過直線外一點，有一條而且只有一條直線和這條直線平行。 平行于同一條直線的兩條直線平行。 角角 的的 定定 義義 有公共點的兩條射線所組成的圖形，叫做角 角角 的的 分分 類類 周角：3600 平角：1800 直角：900 銳角：0

18、0a900 鈍角：900a1800 . . 2.3.22.3.2 三角形三角形 按角分 銳角三角形，鈍角三角形，直角三角形 三角形的分類三角形的分類 按邊分 等腰三角形，等邊三角形，不等邊三角形 三角形的角平分三角形的角平分 線線 三角形一個的角的平分線和這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段,叫做三角形的角 的平分線。 三角形的中線三角形的中線 連結(jié)三角形一個頂點的線段，叫做三角形的中線。 三角形的高三角形的高 三角形一個頂點到它的對邊所在直線的垂線段，叫做三角形的高。 三角形的中位線三角形的中位線 連結(jié)三角形兩邊中點的線段，叫做三角形的中位線。 全全 等等 三三 角角 形形 定定

19、義義 能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形。 性性 質(zhì)質(zhì) 全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角、對應(yīng)的角的平分線、高及中線相等。 任意三角形 直角三角形 （1）兩邊及夾角對應(yīng)相等。記為 SAS （1）一邊一銳角對應(yīng)相等 （2）兩角和一邊對應(yīng)相等。記為 ASAA 或 AAS （2）兩直角邊對應(yīng)相等。 判判 定定 （3）三邊對應(yīng)相等。記為 SSS （3)斜邊、直角邊對應(yīng)相等（HL） 三三 角角 形形 的的 四四 心心 名名 稱稱 定定 義義 性性 質(zhì)質(zhì) 內(nèi)內(nèi) 心心 三角形三條內(nèi)角平分線的交點，叫做 三角形的內(nèi)心（即內(nèi)切圓的圓心） （1）內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。 （2）三角形一個頂點與內(nèi)心的連線平分這個角

20、。 外外 心心 三角形三邊的垂直平分線的交點，叫 做三角形的外心。 （即外接圓的圓心） （1）外心到三角形的三個頂點的距離相等。 （2）外心與三角形一邊中點的連線必垂直該邊。 （3）過外心垂直于三角形一邊的直線必平分該邊。 重重 心心 三角形三條中線的交點，叫做三角形 的重心。 （1）重心到每邊中點的距離等于這邊中線的三分之一。 （2）三角形頂點與重心的連線必過對邊中點。 垂垂 心心 三角形三條高的交點，叫做三角形的 垂心。 三角形的一個頂點與垂心連線必垂直于對邊。 2.42.4 立體幾何立體幾何 2.4.12.4.1 直線與平面直線與平面 平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)圖形圖形作用作用 . .

21、 公理 1：如果一條直線上的 兩點在一個平面內(nèi)，那么 這條直線上的所有點都在 這個平面內(nèi)。 （1）判定直線在平面內(nèi)的依據(jù) （2）判定點在平面內(nèi)的方法 公理 2：如果兩個平面有一 個公共點，那它還有其它 公共點，這些公共點的集 合是一條直線 。 （1）判定兩個平面相交的依據(jù) （2）判定若干個點在兩個相交平面的交線上 公理 3：經(jīng)過不在一條直線 上的三點，有且只有一個 平面。 （1）確定一個平面的依據(jù) （2）判定若干個點共面的依據(jù) 推論 1：經(jīng)過一條直線和這 條直線外一點，有且僅有 一個平面。 推論 2：經(jīng)過兩條相交直線， 有且僅有一個平面。 推論 3：經(jīng)過兩條平行線， 有且僅有一個平面。 （1）

22、判定若干條直線共面的依據(jù) （2）判斷若干個平面重合的依據(jù) （3）判斷幾何圖形是平面圖形的依據(jù) 平平 行直行直 線線 公理 4：平行于同一直線的兩條直線互相平 等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等。 空空 間間 二二 直直 線線 異面異面 直線直線 . . 位置位置 關(guān)系關(guān)系 （1）直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點 （2）直線和平面相交有且只有一個公共點 （3）直線和平面平行沒有公共點 判 定 定 理 性 質(zhì) 定 理 直直 線線 和和 平平 面面 平平 行行 判判 定定 定定 理理 性性 質(zhì)質(zhì) 定定 理理 空空 間間 直直 線線 和和 平平 面面 直直 線

23、線 與與 平平 面面 垂垂 直直 （1）平面的斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線與平面所成的角 （2）一條直線垂直于平面，定義這直線與平面所成的角是直角 直線直線 與平與平 面所面所 成的成的 角角 （3）一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，定義它和平面所成的角是 00 的角 三垂線定理三垂線定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它和這條斜線垂直 三垂線逆定理三垂線逆定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直 判判 定定 性性 質(zhì)質(zhì) 空間兩個平面空間兩個平面 兩個兩個 平面平面 平行平行 （1）如果一個平面內(nèi)有兩條相交

24、直線 平行于另一個平面，那么這兩個平面 平行 （2）垂直于同一直線的兩個平面平行 （1）兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線必平行 于另一個平面 （2）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那 么它們的交線平行 （3）一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面， 它也垂直于另一個平面 . . 相交相交 的兩的兩 平面平面 二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫二面角的線， 這兩個半平面叫二面角的面 二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個面內(nèi)分另作垂直棱的兩條射線，這 兩條射線所成的角叫二面角的平面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 判判 定定 性性 質(zhì)質(zhì)

25、兩平兩平 面垂面垂 直直 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條 垂線，那么這兩個平面互相垂直 （1）若二平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們 的交線的直線垂直于另一個平面 （2）如果兩個平面垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一 點垂直于第二個平面的直線，在第一個平面內(nèi) 2.4.2 多面體多面體、棱柱、棱錐、棱柱、棱錐 定定 義義 由若干個多邊形所圍成的幾何體叫做多面體。 斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱。 直棱柱：側(cè)棱與底面垂直的棱柱。 棱棱 柱柱 正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱。 多面體多面體 棱棱 錐錐 正棱錐：如果棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐。 球球到一定

26、點距離等于定長或小于定長的點的集合。 歐拉定理歐拉定理簡單多面體的頂點數(shù) V，棱數(shù) E 及面數(shù) F 間有關(guān)系：V+F-E=2 多多 面面 體體 側(cè)面積公式側(cè)面積公式 體積公式體積公式 球球 . . 2.52.5 解析幾何解析幾何 2.5.1 方程與曲線方程與曲線 概概 念念 在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線 C 上的點的坐標(biāo)（x,y）都是方程 F（x,y)=0 的解；反之方程 F（x,y)=0 的 解為坐標(biāo)的點（x,y）都在曲線 C 上，那么方程 F（x,y)=0 叫曲線 C 的方程，曲線 C 叫方程 F（x,y)=0 的曲線。 已已 知知 曲曲 線線 求求 它它 的的 方方 程程 的的 步步

27、驟驟 （1）建立適當(dāng)坐標(biāo)系，用（x,y)表示曲線上任一點 P 的坐標(biāo)； （2）寫出適合條件 M 的點 P 的集合 （3）用坐標(biāo)表示條件 M（P） ，列出方程；f（x,y)=0 （4）化方程 f（x,y)=0 為最簡形式 （5）證明化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點 充充 分分 條條 件件 必必 要要 條條 件件 方方 程程 與與 曲曲 線線 充充 要要 條條 件件 2.5.2 直線直線 直線與 x 軸垂直不能用 直線與 x 軸垂直不能用 直線與坐標(biāo)軸垂直不能用 直直 線線 直直 線線 的的 方方 程程 直線與坐標(biāo)軸垂直或過原點不能用 . . A、B 不全為零 點點 到到 直直 線線 的的

28、 距距 離離 平平 行行 重重 合合 垂垂 直直 兩兩 條條 直直 線線 的的 關(guān)關(guān) 系系 及及 條條 件件 斜斜 交交 二二 直直 線線 的的 夾夾 角角 直直 線線 系系 2.5.32.5.3 圓圓 定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓，定點是圓心，定長是半徑。 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程 一般方程一般方程 圓圓 點與圓的位置關(guān)系點與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系 圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系 . . 2.5.42.5.4 橢圓橢圓 定義：平面內(nèi)到兩個定點 F1,F2 的距離之和等于一個常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做焦 點，兩定點間的距離

29、叫做焦距。 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程 圖圖 象象 焦焦 點點F1（-c,0） F2（c,0）F1（0,-c） F2（0,-c） 焦焦 距距 范圍范圍 對稱性對稱性 坐標(biāo)軸是橢圓的對稱由，原點是橢圓的對稱中心。橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。坐標(biāo)軸是橢圓的對稱由，原點是橢圓的對稱中心。橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。 頂點頂點 橢橢 圓圓 幾何性質(zhì)幾何性質(zhì) 離心率離心率 2.5.52.5.5 雙曲線雙曲線 雙雙 定義：平面內(nèi)到兩個定點 F1,F2 的距離之差的絕對值是常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線，這兩個定點叫 . . 做焦點，兩定點間的距離叫做焦距。 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程 圖圖 象象 焦焦 點點

30、F1（-c,0） F2（c,0）F1（0,-c） F2（0,-c） 焦焦 距距 范圍范圍 對稱性對稱性 坐標(biāo)軸是橢圓的對稱由，原點是橢圓的對稱中心。橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。 頂點頂點 漸近線漸近線 曲曲 線線 幾何性質(zhì)幾何性質(zhì) 離心率離心率 2.5 拋物線拋物線 定義：平面內(nèi)與一個定點 F 和一條定直線 L 距離相等的的軌跡叫做拋物線，點 F 叫做拋物線的焦點，直線 L 叫做拋 物線的準(zhǔn)線。 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程 焦焦 點點 拋拋 物物 線線 準(zhǔn)準(zhǔn) 線線 . . 圖圖 象象 范范 圍圍 對對 稱稱 性性 曲線關(guān)于 x 軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸。 頂頂 點點 坐標(biāo)原點（0，0

31、） 幾何性幾何性 質(zhì)質(zhì) 離離 心心 率率 e=1 2.62.6 向量部分向量部分 2.6.1 空間向量空間向量 空間向量的概念空間向量的概念 在空間內(nèi)具有大小和方向的量叫做和向量 共線向量定理共線向量定理 共面向量定理共面向量定理 空間向量基本定理空間向量基本定理 兩個向量的數(shù)量積兩個向量的數(shù)量積 空間向量的數(shù)量積空間向量的數(shù)量積 的性質(zhì)的性質(zhì) . . 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)空間向量的坐標(biāo)運(yùn) 算算 兩向量的夾角兩向量的夾角 2.6.2 平面向量平面向量 平面向量的概念平面向量的概念 在平面內(nèi)具有大小和方向的量叫做和向量 運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì) 實數(shù)與向量的積實數(shù)與向量的積 運(yùn)算律運(yùn)算律 平面向量基本定量平

32、面向量基本定量 向量平行向量平行 向量垂直向量垂直 . . 定比分點公式定比分點公式 . . 三、常用公式三、常用公式 3.13.1 常用公式常用公式 公式分類公式表達(dá)式公式表達(dá)式 乘法與因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|a|+|b|a-b|a|+|b|a|b-bab |a-b|a|-|b|-|a|a|a| 一元二次方程的解 -b+(b2-4ac)/2a-b-b+(b2-4ac)/2a 根與系數(shù)的關(guān)系 X1+X2=-b/aX1*X2=c/a 注：韋達(dá)定理 判別式 b2-4a=0

33、注：方程有相等的兩實根 b2-4ac0 注：方程有一個實根 b2-4ac0 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程 y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py 直棱柱側(cè)面積 S=c*h 斜棱柱側(cè)面積 S=c*h 正棱錐側(cè)面積 S=1/2c*h 正棱臺側(cè)面積 S=1/2(c+c)h 圓臺側(cè)面積 S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l 球的表面積 S=4pi*r2 圓柱側(cè)面積 S=c*h=2pi*h 圓錐側(cè)面積 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧長公式 l=a*r a 是圓心角的弧度數(shù) r 0扇形面積公式 s=1/2*l*r 錐體體積公式 V=1/3*S*H 圓錐體體積公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱

34、體積 V=SL 注：其中,S是直截面面積， L 是側(cè)棱長 柱體體積公式 V=s*h 圓柱體 V=pi*r2h . . 3.23.2 幾何圖形及計算公式幾何圖形及計算公式 平面圖形平面圖形 名稱符號周長 C 和面積 S 正方形a邊長C4a Sa2 長方形a 和 b邊長C2(a+b) Sab 三角形a,b,c三邊長Sah/2 ha 邊上的高 ab/2sinC s周長的一半 s(s-a)(s-b)(s-c)1/2 A,B,C內(nèi)角 a2sinBsinC/(2sinA) 其中 s(a+b+c)/2 四邊形d,D對角線長SdD/2sin 對角線夾角 平行四邊形a,b邊長Sah ha 邊的高 absin 兩

35、邊夾角 菱形a邊長SDd/2 夾角 a2sin D長對角線長 d短對角線長 梯形a 和 b上、下底長S(a+b)h/2 h高 mh m中位線長 圓r半徑Cd2r d直徑Sr2 d2/4 扇形r扇形半徑C2r2r(a/360) a圓心角度數(shù)Sr2(a/360) 弓形l弧長Sr2/2(/180-sin) b弦長 r2arccos(r-h)/r - (r-h)(2rh-h2)1/2 h矢高 r2/360 - b/2r2-(b/2)21/2 r半徑 r(l-b)/2 + bh/2 圓心角的度數(shù) 2bh/3 圓環(huán)R外圓半徑S(R2-r2) r內(nèi)圓半徑 (D2-d2)/4 D外圓直徑 d內(nèi)圓直徑 橢圓D長

36、軸SDd/4 d短軸 立方圖形立方圖形 . . 名稱符號面積 S 和體積 V 正方體a邊長S6a2 Va3 長方體a長S2(ab+ac+bc) b寬Vabc c高 棱柱S底面積VSh h高 棱錐S底面積VSh/3 h高 棱臺S1 和 S2上、下底面積VhS1+S2+(S1S1)1/2/3 h高 擬柱體S1上底面積Vh(S1+S2+4S0)/6 S2下底面積 S0中截面積 h高 圓柱r底半徑C2r h高S 底r2 C底面周長S 側(cè)Ch S 底底面積S 表Ch+2S 底 S 側(cè)側(cè)面積VS 底 h S 表表面積 r2h 空心圓柱R外圓半徑Vh(R2-r2) r內(nèi)圓半徑 h高 直圓錐r底半徑Vr2h/

37、3 h高 圓臺r上底半徑Vh(R2Rrr2)/3 R下底半徑 h高 球r半徑V4/3r3d2/6 d直徑 球缺h球缺高Vh(3a2+h2)/6 r球半徑 h2(3r-h)/3 a球缺底半徑a2h(2r-h) 球臺r1 和 r2球臺上、下底半徑Vh3(r12r22)+h2/6 h高 圓環(huán)體R環(huán)體半徑V22Rr2 D環(huán)體直徑 2Dd2/4 r環(huán)體截面半徑 d環(huán)體截面直徑 桶狀體D桶腹直徑Vh(2D2d2)/12 d桶底直徑(母線是圓弧形,圓心是桶的中心) h桶高Vh(2D2Dd3d2/4)/15(母線是拋物線形) . . 四、坐標(biāo)幾何和二維、三維圖形四、坐標(biāo)幾何和二維、三維圖形 4.14.1 坐標(biāo)

38、幾何坐標(biāo)幾何 一對垂直相交于平面的軸線，可以讓平面上的任意一點用一組實數(shù)來表示。軸線的交 點是 (0, 0)，稱為原點。水平與垂直方向的位置，分別用 x 與 y 代表。 一條直線可以用方程式 ymxc 來表示，m 是直線的斜率（gradient） 。這條直線與 y 軸相交于 (0, c)，與 x 軸則相交于(c/m, 0)。垂直線的方程式則是 xk，x 為定值。 通過 (x0, y0)這一點，且斜率為 n 的直線是 yy0n(xx0) 一條直線若垂直于斜率為 n 的直線，則其斜率為1/n。通過(x1, y1)與(x2, y2)兩點的直線 是 y(y2y1x2x1)(xx2)y2（ x1x2 ） 若兩直線的斜率分別為 m 與 n，則它們的夾角 滿足于 tanmn1mn 半徑為 r、圓心在(a, b)的圓，以(xa) 2(yb) 2r2表示。 三維空間里的坐標(biāo)與二維空間類似，只是多加一個 z 軸而已，例如半徑為 r、中心位置 在(a, b, c)的球，以(xa) 2(yb) 2(zc) 2r2表示。 三維空間平面的一般式為 axbyczd。 三角學(xué)三角學(xué) 邊長為 a、