第26講赫茲接觸問題

1、10.5 赫茲接觸問題學(xué)習(xí)思路 :1881 年, 赫茲（ hertz,H.R ）首先研究了彈性球體的接觸問題。本節(jié)以彈 性球體的接觸介紹接觸問題的基本概念。由于球體的接觸區(qū)域?qū)τ趶椥郧蝮w是局部，因此，彈性球體的接觸問題 可以以半無(wú)限平面分布載荷解為基礎(chǔ)， 分析接觸區(qū)域的局部變形。 這里的問題是 球體接觸壓力是未知函數(shù)，因此必須首先根據(jù)球體的變形確定未知接觸壓力。赫茲認(rèn)為接觸區(qū)域（半徑為 a 的圓）的壓力與接觸區(qū)域半球面的縱坐標(biāo) 成正比。根據(jù)這一假設(shè)和球體變形分析， 可以確定接觸壓力分布函數(shù)和接觸區(qū)域。進(jìn)一步的討論可以確定球體的接觸應(yīng)力和變形。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1. 彈性球體變形分析 ；2. 球體接觸壓

2、力分析 。設(shè)彈性球體的半徑分別為 A1和 A2，變形前兩球體在 O 點(diǎn)接觸（相切）。兩 個(gè)球體在其中心均受集中力 F 的作用，變形后球體 在半徑為 a 的圓形區(qū)域接觸。 接觸區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)與中心的距離為 ，并且球體在 的沉陷分別為 1， 2 ，則由于接觸區(qū)域?qū)τ趶椥郧蝮w是局部，因此 遠(yuǎn)小球體的半徑 A1 和 A2, 因 此可以采用半無(wú)限平面解答分析接觸局部變形。對(duì)于兩球體距離接觸面足夠遠(yuǎn)的任意兩點(diǎn) A1 和 A2, 由于相互壓縮而相互 接近的距離為 ，相對(duì)位移分別為 w1 和 w2，則如果將球體接觸面看作彈性半無(wú)限體作用圓形區(qū)域分布載荷問題， A1和A2為球體接觸面上的點(diǎn)，則位移為其中, E1

3、， 1 和 E2， 2 分別為球體 R1，R2的彈性模量和泊松比。則應(yīng)該注意的是 ,這里接觸壓力 q 是未知函數(shù)，因此，首先必須確定圓形區(qū)域的接觸分布載荷。 赫茲認(rèn)為接觸區(qū)域的接觸壓力與接觸區(qū)域半球面的縱坐標(biāo)成正比。 根據(jù)這一假設(shè)和球體變形 分析，可以確定接觸壓力分布函數(shù)和接觸區(qū)域，有sin 為接觸區(qū)域內(nèi)部任意一其中 qmax 為接觸區(qū)域中心的壓力， 點(diǎn)與接觸區(qū)域中心的距離。 如圖所示 ，因?yàn)?s長(zhǎng)度 mn為。s長(zhǎng)度 mn中點(diǎn)的壓力為 q( )，所以因此，回代可得因 此圓形接觸區(qū)域的半徑為最大接觸壓力為如果 E1=E2=E， 1= 2=0.3 ，圓形接觸區(qū)域的半徑為球體接觸為根據(jù)上述分析，也可

4、以進(jìn)一步求解球體的接觸應(yīng)力分布 10.6 彈性力學(xué)熱應(yīng)力問題學(xué)習(xí)思路 :彈性體由于環(huán)境溫度的變化而導(dǎo)致膨脹和收縮，并且伴隨產(chǎn)生應(yīng)力，這 種由于溫度改變出現(xiàn)的應(yīng)力稱為溫度應(yīng)力， 或者熱應(yīng)力。 對(duì)于某些在溫度變化環(huán) 境下工作的工程結(jié)構(gòu)，熱應(yīng)力是不容忽視的。本節(jié)將通過簡(jiǎn)例扼要說(shuō)明熱應(yīng)力的彈性力學(xué)分析方法。對(duì)于熱應(yīng)力問題，平衡微分方程和幾何方程是相同的，不同的是物理方 程。通過受熱厚壁管道和壩體熱應(yīng)力分析，介紹熱應(yīng)力問題分析和求解的基 本方法。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1. 熱應(yīng)力的彈性力學(xué)分析方法 ；2. 受熱厚壁管道 ；3. 熱彈性勢(shì)函數(shù)和管道熱應(yīng)力 ；4. 楔形體壩體 ；5. 壩體熱應(yīng)力 對(duì)于各向同性彈性體，

5、在均勻溫度下受熱將發(fā)生膨脹， 如果變形前的三個(gè)坐標(biāo)方 向尺寸相同，均為 l，變形后各個(gè)方向的伸長(zhǎng)均為 l， 稱為線膨脹系數(shù)。如果溫 度變化為 T，則各個(gè)坐標(biāo)方向的線應(yīng)變?yōu)槿绻麖椥泽w所處的環(huán)境溫度是隨著時(shí)間和空間變化的，稱為溫度場(chǎng)。在直角坐標(biāo)系，溫度場(chǎng)是時(shí)間和坐標(biāo)的函數(shù)，有 T= T （x，y，z，t）。如果溫度場(chǎng)不隨時(shí)間變化（ ），稱為定常溫度場(chǎng)，即熱源強(qiáng)度 W=0。否則均為非定 常溫度場(chǎng)。溫度場(chǎng)是一種數(shù)量場(chǎng)。熱量的傳遞引起溫度的變化，也就是溫度梯度的變化。如果單位時(shí)間、 單位面積上傳遞的熱量定義為熱流密度， 顯然熱流密度與溫度梯度成正比， 方向 相反。這一規(guī)律稱為傅立葉定律。以下給出平面熱應(yīng)

6、力問題的基本方程。對(duì)于熱應(yīng)力問題，平衡微分方程 和幾何方程是相同的，不同的是物理方程。平面應(yīng)力問題，本構(gòu)方程為平面應(yīng)變問題，本構(gòu)關(guān)系為面給出受熱管道和壩體的熱應(yīng)力分析結(jié)果對(duì)于受熱厚壁管道，設(shè)管道的內(nèi)徑為 a，外徑為 b。管道內(nèi)溫度增量為 Ta，管道 外溫度增量為 0，管道內(nèi)無(wú)熱源時(shí)管道內(nèi)熱應(yīng)力為 0。由于管道為定常溫度場(chǎng)， 根據(jù)熱傳導(dǎo)方程可以得到作為軸對(duì)稱溫度場(chǎng)，有 。積分可得根據(jù)邊界條件 ?？梢缘玫健t對(duì)于軸對(duì)稱問題，。有平衡微分方程為幾何方程本構(gòu)方程將上述應(yīng)力分量代入平衡微分方程，有引入熱彈性勢(shì)函數(shù) ( )，使得。注意到將 ( )代入平衡微分方程，可得求解可得其中注意到上述應(yīng)力分量在邊界

7、= a 和 = b分別等于常數(shù) q1和 q2，這與 命題邊界條件不符。 對(duì)這一問題， 可以借助平面軸對(duì)稱問題的解， 疊加可以得到 管道熱應(yīng)力對(duì)于頂角為 2 的楔形體壩體，壩體內(nèi)部的熱應(yīng)力是一個(gè)重要的工程實(shí)際問題。 這個(gè)問題比較復(fù)雜， 引起溫度變化的原因也是多方面的。 這里僅討論楔形體壩體 中心線的溫度變化為 T0，壩體兩側(cè)面溫度變化為零的情況。 設(shè)壩體內(nèi)部的溫度變 化為壩體問題屬于平面應(yīng)變問題，但是為了使得問題簡(jiǎn)化，先按照平面應(yīng)力問題分析。對(duì)于彈性力學(xué)平面應(yīng)力問題的位移解法，熱彈性勢(shì)函數(shù) 滿足取熱彈性勢(shì)函數(shù)，代入上式，可得回代可得根據(jù)上述熱彈性勢(shì)函數(shù)，可以得到應(yīng)力分量的特解上述應(yīng)力分量特解在邊

8、界的值為為了消除與原命題不符的上述應(yīng)力場(chǎng)，類似地疊加一個(gè)相反的應(yīng)力場(chǎng) 為此考慮應(yīng)力函數(shù)因?yàn)?為雙調(diào)和函數(shù)，所以根據(jù)平面問題的極坐標(biāo)解，可以求解應(yīng)力場(chǎng) ，疊加可以 得到楔形體壩體的熱應(yīng)力計(jì)算公式根據(jù)上述應(yīng)力表達(dá)式，最大拉應(yīng)力在壩體邊界，有 10.7 彈性波初等理論學(xué)習(xí)思路 :變形物體受突加載荷作用后，將產(chǎn)生變形。這種變形和與之伴隨而生的 應(yīng)力并不能立即傳遞到物體的其它部分。 在開始時(shí)刻， 物體的變形僅僅在加載區(qū) 域的臨近區(qū)域產(chǎn)生， 而這個(gè)鄰域以外的部分則仍處于未擾動(dòng)狀態(tài)。 其后，物體的 變形和應(yīng)力便以波的形式向遠(yuǎn)處傳播。由于載荷作用時(shí)間與波的傳播過程相比要短的多，因此，物體運(yùn)動(dòng)方式 主要表現(xiàn)為波

9、的傳播。根據(jù)介質(zhì)的物理性質(zhì)，邊界條件和載荷的作用方式，波的傳播過程將呈 現(xiàn)各種不同的特性。本節(jié)主要介紹彈性波的基本理論，主要介紹概念為：1. 討論彈性波和波動(dòng)方程。 這個(gè)問題通過半無(wú)限長(zhǎng)彈性桿件說(shuō)明， 因此 不存在波的反射問題的；2. 根據(jù)波動(dòng)方程分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與瞬時(shí)應(yīng)力的關(guān)系；3. 討論彈性波的相向運(yùn)動(dòng)。 由于有限長(zhǎng)桿件的彈性波問題必然存在波的 反射；4. 介紹部分常見彈性應(yīng)力波。彈性波問題是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的問題。根據(jù)擾動(dòng)源、介質(zhì)性質(zhì)和物體形態(tài) 的不同， 將使得問題出現(xiàn)各種復(fù)雜， 但是有趣的現(xiàn)象。 此外還有其它形式傳播的 彈性波，非彈性波。 這些彈性波問題對(duì)應(yīng)一定的工程技術(shù)應(yīng)用問題。 本節(jié)

10、介紹的 僅僅是彈性波理論的初等理論。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1. 彈性應(yīng)力波及波動(dòng)方程 ；2. 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與瞬時(shí)應(yīng)力 ；3. 應(yīng)力波的相向運(yùn)動(dòng) ；4. 膨脹波與畸變波 。首先以半無(wú)限長(zhǎng)彈性細(xì)桿為例研究彈性應(yīng)力波在桿內(nèi)向遠(yuǎn)處傳播的規(guī)律。 設(shè)材料 的彈性模量為 E，密度為 。設(shè)桿件所受載荷比較小， 使得桿端應(yīng)力 sd， sd 為材料的動(dòng)屈服極限。 同時(shí)設(shè)載荷為壓力， 則桿件傳播的是彈性壓縮波。 因此設(shè)壓縮應(yīng)力為正， 則運(yùn)動(dòng) 方程（波動(dòng)方程）為是一個(gè)與應(yīng)力大小無(wú)關(guān)的常數(shù)，為桿件中彈性縱波的波速。對(duì) 于金屬材料而言， 其數(shù)量級(jí)為每秒幾千米 （彈性橫波的波速一般是縱波的一半）般材料的 C0 值可以查表得到。應(yīng)該指

11、出，波的傳播速度 u 和在波傳播中材料質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度 v 是兩個(gè) 不同的物理量， 不能相互混淆。 材料的質(zhì)點(diǎn)受到擾動(dòng)后， 只能在平衡位置附近運(yùn) 動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)速度稱為質(zhì)點(diǎn)的速度 v。而質(zhì)點(diǎn)將所受到的干擾相繼傳播到相鄰質(zhì)點(diǎn) 的速度，稱為波的傳播速度 u。對(duì)于波動(dòng)方程這個(gè)二階微分方程可以改寫作與之等價(jià)的一階偏微分方程組，如果令 ，則 ，所以 。波動(dòng)方程可以寫作上述方程寫作矩陣形式，有進(jìn)一步分析可以看到， 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與瞬時(shí)應(yīng)力 成正比，它比較波速要小的 多，并且可以根據(jù)波動(dòng)方程直接求解得到。 實(shí)際上， 對(duì)于現(xiàn)在討論的半無(wú)限長(zhǎng)彈 性細(xì)桿在端部受動(dòng)力作用，而且沒有反向波，則波動(dòng)方程的解可以簡(jiǎn)化為因此，可

12、以得到上式根據(jù)本構(gòu)方程和幾何方程得到的應(yīng)力 是拉伸為正，而彈性波問題中 規(guī)定壓應(yīng)力為正，所以應(yīng)力相差一個(gè)符號(hào)， 考慮這一因素，比較 和 v的表達(dá)式， 可以得到或者 C0v=Z s。 上述分析中規(guī)定壓應(yīng)力為正，常數(shù) Zs= C0。 上述公式表明：1. 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度 v 與瞬時(shí)應(yīng)力 成正比，比例常數(shù) Zs= C0 稱為聲阻 抗率，其單位為 Pas/m。2. 如果桿件端部受到壓力， 則波的傳播方向 u 與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度 v 方向 和應(yīng)力方向 一致。反之，如果桿件端部受到拉力作用，則波的傳播方向與質(zhì)點(diǎn) 的運(yùn)動(dòng) v 速度方向和應(yīng)力 方向相反。3. 可以解釋或者推導(dǎo)為： 在 t 時(shí)刻，假設(shè)桿件端部的應(yīng)力

13、是不變的，因而桿件的受壓縮長(zhǎng)度為 ，在 x 的桿件內(nèi)，沒有受到擾動(dòng)。在擾動(dòng)段內(nèi)，。因此，桿件端部的總位移為 。在這個(gè)時(shí)間內(nèi)，桿件端部的位移同時(shí)應(yīng)該為 vt，令二者相等，則可以得到質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度 v 與瞬時(shí)應(yīng)力 的關(guān)系。對(duì)于有限長(zhǎng)桿件， 干擾作用的彈性應(yīng)力波將在桿件端部產(chǎn)生反射， 因此需要考慮 兩個(gè)相向運(yùn)動(dòng)的應(yīng)力波的作用。假如兩個(gè)相向運(yùn)動(dòng)的應(yīng)力波的應(yīng)力分別為 1 和 2，符號(hào)相同。由于彈性 波的控制方程是線性的， 所以當(dāng)兩個(gè)波相遇時(shí)， 其重疊部分的應(yīng)力和速度可以使 用疊加法計(jì)算。但是應(yīng)該注意，這里是代數(shù)值疊加，應(yīng)該注意符號(hào)。對(duì)于相同符號(hào)的應(yīng)力波相遇之后，在波形重合部分的應(yīng)力為兩應(yīng)力波應(yīng) 力之和，

14、符號(hào)不變，而速度則為二者之差，符號(hào)與二者中絕對(duì)值最大的相同。兩 彈性波分離后，則各自按照原來(lái)的波形傳播。如果兩個(gè)相向運(yùn)動(dòng)的應(yīng)力波應(yīng)力符號(hào)相反，則兩波相遇之后，其波形重 合部分的應(yīng)力為兩應(yīng)力波應(yīng)力之差， 符號(hào)與二者中絕對(duì)值最大的相同， 而速度則 為二者之和。兩彈性波分離后，仍然各自按照原來(lái)的波形傳播。顯然，如果兩個(gè)應(yīng)力值相等，波的長(zhǎng)度相同，但應(yīng)力符號(hào)相同的波相遇之后，應(yīng)力加倍，而質(zhì)點(diǎn)速度相互抵消。即波重疊部分的應(yīng)力加倍，而質(zhì)點(diǎn)速度 變?yōu)榱恪６鴥蓚€(gè)應(yīng)力值相等，波的長(zhǎng)度相同，但應(yīng)力符號(hào)相反的波相遇之后，應(yīng) 力相互抵消，即其重疊部分的應(yīng)力變?yōu)榱?，而質(zhì)點(diǎn)速度加倍。對(duì)于有限長(zhǎng)桿件的任意 B 截面， 如果同

15、號(hào)應(yīng)力波在截面相遇， 則應(yīng)力加 倍，而速度為零， 這個(gè)現(xiàn)象相當(dāng)于有限長(zhǎng)桿件的固定端。 而對(duì)于異號(hào)應(yīng)力波在截 面相遇，則 B 截面應(yīng)力為零，而速度加倍為零，這相當(dāng)于有限長(zhǎng)桿件的自由端。因此，對(duì)于有限長(zhǎng)桿件，當(dāng)波由擾動(dòng)端向遠(yuǎn)端傳播時(shí)，必然發(fā)生波的反 射，生成反射波。這個(gè)反射波相當(dāng)于從遠(yuǎn)端傳來(lái)的相向運(yùn)動(dòng)的波。根據(jù)上述分析可以得到：1. 波由固定端反射后，應(yīng)力增加至入射波的兩倍，質(zhì)點(diǎn)速度減小為零， 波的性質(zhì)不變（即拉伸波仍為拉伸波，壓縮波仍為壓縮波）。2. 波由自由端反射后，應(yīng)力減少為零，質(zhì)點(diǎn)速度增加至入射波質(zhì)點(diǎn)速度 的兩倍，波的性質(zhì)改變（即拉伸波變?yōu)閴嚎s波，壓縮波變?yōu)槔觳ǎＴ趶椥越橘|(zhì)中傳播的應(yīng)力波的研究無(wú)疑屬于空間問題， 根據(jù)介質(zhì)的性