楊輝三角-杭州第七中學(xué)

1、高中數(shù)學(xué)第三冊(cè)第二章第 2 節(jié)教案研究性課題：楊輝三角杭州七中 翟慎佳【 教學(xué)目的 】1 進(jìn)一步探索楊輝三角的基本性質(zhì)及數(shù)字排列規(guī)律，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)；2 培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，重點(diǎn)培養(yǎng)創(chuàng)新能力；3 了解我國(guó)古今數(shù)學(xué)的偉大成就，增強(qiáng)愛(ài)國(guó)情感【 教學(xué)手段 】計(jì)算機(jī)輔助教學(xué) CAI【 教學(xué)思路 】引言：為什么要探究楊輝三角？什么是楊輝三角？楊輝簡(jiǎn)介師生觀察討論楊輝三角楊輝三角的基本性質(zhì)探索楊輝三角的數(shù)字排列規(guī)律（多層次、多角度）展示學(xué)生探究成果教學(xué)小結(jié)【 教學(xué)過(guò)程 】引言 : 為什么要研究楊輝三角？教學(xué)意圖 研究楊輝三角的意義（1）在學(xué)習(xí)了排列組合概率和數(shù)學(xué)歸納法等知識(shí)后，繼續(xù)研

2、究楊輝三角的性質(zhì)，進(jìn) 一步探索楊輝三角的基本性質(zhì)及其中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力同時(shí)復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)，發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的聯(lián)系（ 2）通過(guò)探究楊輝三角，不斷培養(yǎng)創(chuàng)新能力 （創(chuàng)新是發(fā)展的不竭動(dòng)力） （3）了解古今數(shù)學(xué)家的偉大成就，進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義教育；什么是楊輝三角？教學(xué)意圖 復(fù)習(xí)提問(wèn)楊輝三角二項(xiàng)式（ a+b）n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng) n 依次取 1， 2，3時(shí)，列出的一張 表，叫做二項(xiàng)式系數(shù)表，因它形如三角形，南宋的楊輝對(duì)其有過(guò)深入研究，所以我們 又稱它為楊輝三角 （.71 圖）1高中數(shù)學(xué)第三冊(cè)第二章第 2 節(jié)教案介紹楊輝古代數(shù)學(xué)家的杰出代表教學(xué)意圖 了解數(shù)學(xué)家楊輝及其成就 ,

3、 增強(qiáng)民族自豪感楊輝，杭州錢(qián)塘人。中國(guó)南宋末年數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)教育家著作甚多，他編著的數(shù)學(xué)書(shū) 共五種二十一卷，著有詳解九章算法十二卷（ 1261 年）、日用算法二卷、 乘除通變本末三卷、 田畝比類乘除算法二卷、 續(xù)古摘奇算法 二卷其中后三種合稱楊輝算法 ，朝鮮、日本等國(guó)均有譯本 出版，流傳世界?！皸钶x三角”出現(xiàn)在楊輝編著的詳解九章算法一書(shū)中， 此書(shū)還說(shuō)明表內(nèi)除“一”以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù) 的和楊輝指出這個(gè)方法出于釋鎖算書(shū)，且我國(guó)北宋數(shù)學(xué) 家賈憲（約公元 11 世紀(jì)）已經(jīng)用過(guò)它，這表明我國(guó)發(fā)現(xiàn)這個(gè)表 不晚于 11 世紀(jì)在歐洲，這個(gè)表被認(rèn)為是法國(guó)數(shù)學(xué)家物理學(xué)家帕斯卡首先 發(fā)現(xiàn)的（ Blais

4、e Pascal, 1623 年1662 年） ,他們把這個(gè)表叫做帕 斯卡三角 這就是說(shuō)， 楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早 500 年左右， 由此可見(jiàn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的觀察楊輝三角所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系教學(xué)意圖 觀察發(fā)現(xiàn)數(shù)字排列規(guī)律 , 對(duì)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)及時(shí)點(diǎn)評(píng) , 培養(yǎng)觀察力 用 Excel 制作的楊輝三角另一表現(xiàn)形式，用到第 15 行）4楊輝三角基本性質(zhì)教學(xué)意圖 介紹楊輝三角蘊(yùn)含的基本規(guī)律1）表中每個(gè)數(shù)都是組合數(shù)，第 n 行的第 r+1 個(gè)數(shù)是 Cnrn r!（n r）!2）三角形的兩條斜邊上都是數(shù)字 1，而其余的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)字相加，高中數(shù)學(xué)第三冊(cè)第二章第 2 節(jié)教案就是

5、 Cnr Cnr 11 Cnr 1 ( 3)楊輝三角具有對(duì)稱性(對(duì)稱美) ，即 Cnr Cnn r (4)楊輝三角的第 n 行是二項(xiàng)式( a+b) n展開(kāi)式的 二項(xiàng)式系數(shù) ，即(a b)n Cn0an Cn1an 1b1Cnr an rbrCnnbn教學(xué)意圖 利用數(shù)學(xué)歸納法證明二項(xiàng)式定理學(xué)以致用證明：(1)當(dāng) n=1 時(shí)，左邊 (a+b)1= a+b, 右邊 C10a1 C11b1 a+b左邊右邊，所以等式成立( 2)假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)等式成立，即(a b)k Ck0ak Ck1ak 1b1Ckrak rbrCkkbk那么，當(dāng) n=k+1 時(shí)，(a b)k 1 (a b)k (a b)( Ck

6、0ak Ck1ak 1b1Ckrak rbrCkkbk )(a b)Ck0ak1 Ck1akbCkr 1ak rbb 1CkkabkCk0akbCkrak r br 1Ckk 1abk Ckkbk 1=Ck0ak+1+(Ck1 Ck0)akb+ + (Ckr +1 Ckr)ak rbb+1+(Ckkabk Ckk 1)abk +Ckkbk+1利用組合數(shù)的兩個(gè)重要性質(zhì)可得k1 0 k1 1 k k1 k r r 1 k k k 1 k 1(a+b)k1=Ck01ak1+Ck11akb+ +Ckk11akrbr 1+ +Ckk1abk Ckk 11bk 1即 n=k+1 時(shí)等式也成立根據(jù)( 1)和

7、( 2)，可知對(duì)于任意正整數(shù) n，等式都成立教學(xué)意圖 下面 ,師生一起繼續(xù)探究楊輝三角蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)5楊輝三角有趣的數(shù)字排列規(guī)律教學(xué)意圖 培養(yǎng)學(xué)生觀察力，注意觀察方法：橫看、豎看、斜看、連續(xù)看、隔行看， 從多種角度觀察(橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同！ ) (1)楊輝三角的第 1，3，7，15，行，即第 2K-1(k 是正整數(shù) )行的各個(gè)數(shù) 字有什么特點(diǎn)？分析：觀察可知，它們均為奇數(shù)第2K行除兩端的 1 之外都是偶數(shù) .高中數(shù)學(xué)第三冊(cè)第二章第 2 節(jié)教案2）楊輝三角第 5行中，除去兩端的數(shù)字 1以外，行數(shù) 5整除其余所有的數(shù)你 能再找出具有類似性質(zhì)的三行嗎？這時(shí)的行數(shù)是什么數(shù)？教

8、學(xué)意圖 繼續(xù)“橫”看分析：如 2，3，7，11 等行行數(shù)是質(zhì)數(shù) （素?cái)?shù)）.3）計(jì)算楊輝三角中各行數(shù)字的和，看有何規(guī)律：第 1 行1 12第 2 行1 214223第 3 行1 3318 234第 4 行1 4641 16245第 5 行1 510 1051 3225第 n 行Cn0 Cn1 Cn2CnrCnn 1 Cnn 2n分析： 第 n 行數(shù)字的和為 2 n前 n行（含第 0行）所有數(shù)的和為 2 n 1，它恰好比第 n行的和 2 n小 14）從楊輝三角中一個(gè)確定的數(shù)的“左（右）肩” 出發(fā)， 向右（左）上方作 一條和左斜邊平行的射線，在這條射線上的各數(shù)的和等于這個(gè)數(shù)教學(xué)意圖 再引導(dǎo)學(xué)生“斜”

9、向看例如： 1012 34，20 1 3 6 10，教學(xué)意圖 引導(dǎo)學(xué)生得出一般性的結(jié)論 一般地，在第 m條斜線上（從右上到左下）前 個(gè)數(shù)字的和，等于第 m+1條斜線上的第 n 個(gè)數(shù)根據(jù)這一性質(zhì)，猜想下列數(shù)列的前 n 項(xiàng)和：111 1 C1n （第 1條斜線）高中數(shù)學(xué)第三冊(cè)第二章第 2 節(jié)教案123 Cn11 Cn2 （第 2條斜線）136 Cn21 Cn3 （第 3 條斜線）1410 Cn 1 Cn （第 4 條斜線）Crr Crr 1 Crr 2Cnr 1 Cnr 1(n r) (第 r+1 條斜線)（課后要求用數(shù)學(xué)歸納法證明）（5）如圖，寫(xiě)出斜線上各行數(shù)字的和，有 什么規(guī)律？教學(xué)意圖 繼續(xù)

10、換一角度“斜”向看 1 ，1，2， 3，5，8，13，21，34，此數(shù)列 a n 滿足 , a 1=1,a 2=1, 且 an=an-1 +a n-2 （n 3） 這就是著名的斐波那契數(shù)列教學(xué)意圖 以下介紹斐波那契“兔子繁 殖問(wèn)題”增強(qiáng)趣味性 中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的傳世之作算術(shù)之法中提出了一個(gè)饒有趣味 的問(wèn)題：假定一對(duì)剛出生的兔子一個(gè)月就能長(zhǎng)成大兔子，再過(guò)一個(gè)月就開(kāi)始生下一 對(duì)小兔子，并且以后每個(gè)月都生一對(duì)小兔子設(shè)所生一對(duì)兔子均為一雄一雌，且均 無(wú)死亡問(wèn)一對(duì)剛出生的小兔一年內(nèi)可以繁殖成多少對(duì)兔子？ 兔子繁殖問(wèn)題可以從楊輝三角得到答案：右側(cè)從上而下的一列數(shù)1， 1，2，3，5，8， 13，

11、正好是剛生的兔子，第一個(gè)月后的兔子第二個(gè)月后的兔子，第三 個(gè)月后的兔子， n 個(gè)月后的兔子的對(duì)數(shù) “兔子繁殖問(wèn)題”的答案就是第 12 行右 下側(cè)的數(shù)（第 13 個(gè)），即 233（6） 楊輝三角與彈子游戲（先介紹我國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)家華羅庚） 教學(xué)意圖 介紹我國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)家華羅庚的成就、學(xué)習(xí)其 為科學(xué)獻(xiàn)身的精神、 增強(qiáng)愛(ài)國(guó)情感 華羅庚 （1910-1985）是一位具有世界聲譽(yù)的數(shù)學(xué)家， 我國(guó)進(jìn)入世界著名數(shù)學(xué)行列最杰出的代表。 撰寫(xiě)了不少高質(zhì) 量的 10 部專著、 200 篇論文和 10 余部科普著作。由于他的 貢獻(xiàn)，有許多定理、引理、不等式與方法等都用他的名字命 名 為了推廣優(yōu)選法， 華羅庚帶領(lǐng)小分隊(duì)去二

12、十七個(gè)省市普 及應(yīng)用數(shù)學(xué)方法達(dá)二十年之久， 取得了明顯的經(jīng)濟(jì)效益和社 會(huì)效益， 為我國(guó)經(jīng)濟(jì)建設(shè)作出了重大貢獻(xiàn) 在他的科普著作從楊輝三角談起 中，對(duì)楊輝三角的構(gòu)成，提出了一種有趣的看法高中數(shù)學(xué)第三冊(cè)第二章第 2 節(jié)教案 教學(xué)意圖 下面介紹彈子游戲問(wèn)題，本節(jié)的重要內(nèi)容如圖，在一塊傾斜的木板上，釘上一些正六角形小木塊，在它們中間留下一些通道，從上部的漏 斗直通到下部的長(zhǎng)方形框子。 把小彈子倒在漏斗里， 它首先會(huì)通過(guò)中間的一個(gè)通道落到第二層六角板上 面（有幾個(gè)通道就算第幾層） ，以后，再落到六角板 的左邊或右邊的兩個(gè)豎直通道里去，以此類 推，算一算：Cn0 Cn1 Cn2CnrCnn 1 Cnn 2n

13、個(gè)彈子通過(guò) n+1 層通道，落到各長(zhǎng)方形框里的可能情況。分析： 彈子從每一通道通過(guò)時(shí)可能情況是：它選擇左右兩通道可能性是相等的，而其他任一個(gè)通道的可能情形，應(yīng)等于它左右肩上兩個(gè)通道的可能情形的和。111221，1，14441， 3， 3， 13 ， 3 ， 3 ， 323 23 23 23可以設(shè)想，第 1 層只有條通道，通過(guò)的概率是第 2 層有條通道，每條通過(guò)的概率依次是第 3 層有 3 個(gè)通道，每條通過(guò)的概率從左到右依次是第 4 層各通道通過(guò)的概率從左到右依次是照這樣計(jì)算第 n+1 層有 n+1 個(gè)通道，彈子通過(guò)各通道的概率將是？ 引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出此“概率三角形” ，分析與楊輝三角的 關(guān)系 ：第

14、 n 行各概率的分子 是楊輝三角中的數(shù)，分母是 2 n。（引導(dǎo)學(xué)生課后仿第 1 章復(fù)習(xí)小結(jié)例 1 解答） ）楊輝三角與“縱橫路線圖”教學(xué)意圖 楊輝三角又一實(shí)際應(yīng)用 , 學(xué)以致用1 是某城市的部分街道圖，縱橫“縱橫路線圖”是數(shù)學(xué)中的一類有趣的問(wèn)題圖 各有五條路，如果從 A 處走到 B 處 （只能由北 到南，由西向東 ），那么有多少種不同的走法？ 我們把圖順時(shí)針轉(zhuǎn) 45 度，使 A 在正上方， B 在正下方， 然后在交叉點(diǎn)標(biāo)上相應(yīng)的楊輝三角 數(shù)有趣的是， B 處所對(duì)應(yīng)的數(shù) 70，正好是答案（C84 70）一般地 , 每個(gè)交點(diǎn)上的楊輝三角數(shù)，就是從A 到達(dá)該點(diǎn)的方法數(shù)由此看來(lái)，楊輝三角與縱橫路線圖問(wèn)題有天然的聯(lián)系8）楊輝三角與“堆垛術(shù)” （三角垛，正方垛， ）教學(xué)意圖 介紹我國(guó)古代數(shù)學(xué)的偉大成就堆垛術(shù)，引導(dǎo)學(xué)生自行探究高中數(shù)學(xué)第