第九章常微分方程[1].

1、第九章常微分方程（1、2）陳建英主編第一節(jié) 微分方程的基本概念（1、2）教學(xué)目的：理解微分方程、方程的階，方程的解、通解、初始條件和特解概念。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：微分方程的概念。方程的通解與特解異同。教學(xué)形式：多媒體教室里的講授法教學(xué)時間：90分鐘教學(xué)過程一、引入新課初等數(shù)學(xué)中就有各種各樣的方程：線性方程、二次方程、高次方程、指數(shù)方程、對數(shù)方 程、三角方程和方程組等等。這些方程都是要把研究的問題中的已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系 找出來，列出包含一個未知數(shù)或幾個未知數(shù)的一個或者多個方程式，然后求取方程的解。方程的定義：含有未知數(shù)的的等式。它表達(dá)了未知量所必須滿足的某種條件。根據(jù)對未知量所施行的數(shù)學(xué)運(yùn)算的

2、不同，我們可以將方程分成許多不同的類型來研究。4xx2 -1ax2 bx c = 0（元二次方程）（分式方程）2x 1 、3x - 8 = . 7x 3（無理方程）對未知量x施行的是代數(shù)運(yùn)算。因此它們是代數(shù)方程。而方程2sin3 x - cos x 3sin x-2 = 0 （三角方程）x 4x-2x-722 x =14（指數(shù)方程）lg（x21）2lg（x 3） In2 = 0 （對數(shù)方程）對未知量x所施行的是超越函數(shù)運(yùn)算。因此是超越方程。二、新授課1。微分方程的定義：如果未知函數(shù)是多含有未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間關(guān)系的方程，稱為微方程 如果未知函數(shù)是一元函數(shù)，則其滿足的微分方程稱為

3、常微分方程式;元函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)就是偏導(dǎo)數(shù)，則其所滿足的微分方程式稱為偏微分方程。2例如，dx =x y和=x是常微分方程；dydx=xy是偏微分方程:x微分方程中未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為微分方程式的階。一階微分方程的一般形式為F （x, y, y） = 0例如：(y)2 x3y5-x4 =0 , x(dy)2-2ydy x = 0都是一階微分方程。dxdx二階微分方程的一般形式為F ( x, y, y , y =)0例如： 孕 一：丫理sinx=0，(y )k2(2 y 2)3都是二階微分方程。 dx dx類似可寫出n階微分方程的一般形式F(x,y,y ,y；川y(n) =0。其中F是n

4、+2個變量的函數(shù)。這里必須指出，在方程 F(x, y, y, y ；| y(n) =0中，y(n)必須出現(xiàn)，而x, y, y ,y ly(n等變量可以不出現(xiàn)。例如y(n) = f (x)也是n階微分方程。例1課堂練習(xí)：P1982).指出下列方程中哪些是微分方程，并說明它們的階數(shù):1dy _ y2dx 二 0;(1)2xdy y sin xdx 二 0;y” y = 3x;2 y = 2y x;/八 d2y i c2t(4)2 3y 二 e ;dty dy 2 dx;x + yxy”-(y)2 =0.2。微分方程的解能夠滿足微分方程的函數(shù)都稱為微分方程的解 求微分方程的解的過程，稱為解微分方程1

5、d 2 v例如，函數(shù)6x3是微分方程7二X的解。如果微分方程的解中含有相互獨(dú)立的任意常數(shù), 同，這樣的解稱為微分方程的通解。 達(dá)式。且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相通解即為在一定范圍內(nèi)就是方程的所有解的一個共同表例如 y=1 X3 - C1x C2是微分方程 4 = x的通解。6dx在通解中，利用附加條件確定任意常數(shù)的取值，所得的解稱為該微分方程的特解，這種附加條件稱為初始條件，例如微分方程今 =x，初始條件y(0) = 1,y(0) = 2，則滿足初dx13始條件的特解為y= x 2x 1 o6帶有初始條件的微分方程稱為微方程的初值問題。微分方程的通解不一定包含所有的解，不在通解中的解稱為

6、奇解。由于微分方程的解是通過積分而獲得的，所以我們也把微分方程的解稱為微分方程的積分曲線，把通解稱為微分方程的積分曲線族。微分方程的解根據(jù)函數(shù)的形式可分為顯式解和隱式解。例 2 P1943)驗(yàn)證下列函數(shù)(其中C為任意常數(shù))是否是相應(yīng)的微分方程的解，是通解還是特解：2 2(1) xy =2y,y =Cx ,y =x ;(2) y二-y, y =sin x, y =3sin x -4cos x;(3) 或=2y, y =ex, y =Ce2x. dx如果微分方程中關(guān)于未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)X(t),x (t),x(t),., x(n)(t)是一次有理整式，則稱方程是線性的，稱它是n階線性微分方程，一般形

7、式為：x(n) (t) y(t)x(n)(t)3n_1(t)x(t) an(t)x(t)二 f(t)如果f(t) =0,則稱為n階線性齊次方程；否則稱為線性非齊次方程，這時稱 f(t)為 線性方程的非齊次項(xiàng)。如果微分方程不是線性的微分方程，則稱為非線性方程。三、小結(jié)微分方程定義及概念：微分方程的階，通解，特解，四、練習(xí)課堂完成P194選擇題1第九章常微分方程（3、4）第二節(jié)如何建立微分方程（1）（視情況加成兩節(jié)課）第三節(jié) 微分方程的求解（2）（視情況加成兩節(jié)課）教學(xué)目的：學(xué)會建立微分方程和掌握可分離變量微分方程的解法。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：建立微分方程，可分離變量方程的解法， 會用常微分方程解決一些

8、簡單的實(shí)際問題。教學(xué)形式：多媒體教室里的講授法教學(xué)時間：90分鐘教學(xué)過程一、引入新課課堂提問：微分方程的定義，微分方程的階、通解和特解的概念二、新授課1。微分方程的建立建立微分方程的基本思想是，把研究的問題中已知函數(shù)和未知函數(shù)之間的關(guān)系找出來，從列出的包含未知函數(shù)的一個或幾個方程中去求得未知函數(shù)的表達(dá)式建立微分方程屬于構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的范疇，建立起實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型一般比較困難，因?yàn)檫@需要對與問題有關(guān)的自然規(guī)律有一個清晰的了解，同時也需用要有一定的數(shù)學(xué)知識微分方程往往可以看作是各種不同物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型我們在建立微分方程的時候，只能考慮影響這個物理現(xiàn)象的一些主要因素，而把其他的一些次要因素忽略掉，

9、如果說的確考慮到了那 些最主要的因素，那么我們所得到的微分方程，它的解與所考慮的物理現(xiàn)象比較接近的例1設(shè)曲線過點(diǎn)（1, 2），且在該曲線上任意點(diǎn) M（ x，y ）處的切線斜率為 2x，求此 曲線方程。解：設(shè)所求曲線為 y二f（X），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，y二f（x）滿足關(guān)系式dy2x 或 dy 二 2xdxdx又因曲線經(jīng)過（1，2），即所求曲線應(yīng)滿足 y x#=2，對此關(guān)系式的兩邊積分得：y二2xdx=x2 V （其中C是任意常數(shù)）2 =12 C，C =1則所求的曲線方程為y=x2,1例2放射性元素軸由于不斷有原子放射出微粒子變成其他元素，鈾的含量就不斷減少，這種現(xiàn)象叫做衰變。由原子物理學(xué)知道，鈾

10、的衰變束率與當(dāng)時未衰落變的原子的含量M成正比。已知t = 0時鈾的含量為 M0，求在衰變過程中鈾的含量 M（t）隨時間t變化的規(guī)律。解：鈾的衰變速率就是鈾的含量M(t)對于時間的變化率，即 巴。由于鈾的衰變速率dt與其含量成正比，設(shè)比例常數(shù)為C . 0)，故有Mdt其中，等式右邊的負(fù)號是由于在衰變過程中M(t)是單調(diào)減少的，從而有0的緣故。dt根據(jù)題意，初值條件為 M|=0二M0。例3連續(xù)價格調(diào)整模型假設(shè)需求函數(shù)QDa-bp，供給函數(shù) Q二C dp，其中a, b,c, d般地，如果需求大于供給，則價格上升；如果需求小于供給，則價格下降，于是，價格調(diào)整模型為dp /、 ca(QD -Qs), a

11、 0 dt些 a(b d) p 二 a(a _ c), a 0 dt例4研究懸掛重物的彈簧的振動。假設(shè)彈簧的質(zhì)量與重物的質(zhì)量相比是很小，以至 于可以略去不計，試建立其微分方程。解：當(dāng)質(zhì)量為 m的重物靜止不動時，它所受到的兩個力，即重力mg和彈簧的恢復(fù)力，互相平衡。如果把它向下拉(或向上推)一小段距離x，然后放手。根據(jù)常識，知道重物將作上下振蕩動若干次，振幅愈來愈小，最后仍歸于靜止。今取x軸的正方向鉛直向下，取重物靜止不動時其重心的位置為x=0。在振動過程中，重物受到三個力的作用：(1)重力mg方向向下；(2)彈簧的恢復(fù)力 mg+cx，其中c0是彈簧的剛度，即把它拉長一個單 位長度所需用的力。這

12、個力的方向要看mg+cx0還是mg+cx (yxj+ffixC2解yx僅適合其本身，并不適合于yx的其它形式，如yx , y0等，也就是說yx不是函數(shù)，例如我們?nèi)绻腥缦虏僮?，yx,y0并沒有發(fā)生變化.微分方程或解.rib *lipj!= DSolvey 1 x + 2 y 1 x + yx = 0, yx, xoutpj= yx -xCJ.j +e_x C2x + y0+y x /霞OimM= (：! +(e_mxC2) +y0 +y x10C$t * (J紅C【l )in7 = Solvey * * x + 2 y 1 x + yx = 0, y, xOJtF? (y- Ce-CII +C

13、2門琦100 *1這里y適合y的所有情況下面的例子可以說明這一點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)表達(dá)式中， 直接引入亞變量表示函數(shù)自變量， 用此方法可以生成微分方程 的解。如果需要的只是解的符號形式，引入這樣來變量很方便。然而，如果想在其他的的計算中使用該結(jié)果，那么最好使用不帶亞變量的純函數(shù)形式的結(jié)果。3 求微分方程組請分析下面的例子當(dāng)然微分方程組也有純函數(shù)形式。4帶初始條件的微分方程的解 當(dāng)給定一個微分方程的初始條件可以確定一個待定系數(shù)。請看下面的例子S徽分方程求解.*DSolve(y 1 x = y|, y0町YMrQjt(l3J- (YX t 5 /呵gp DSdItcUy 1 X yx, VKJ =ef t

14、x, xy【x t皆氣匚引 +elxc2)100% 厶 jJ第二個例子由于給出一個初始條件所以只能確定C1.5.進(jìn)一步討論對于簡單的微分方程的解比較簡單，對一些微分方程它的解就復(fù)雜的多。特別是對一些微分方程組或高階微分方程，不一定能得具體的解，其解中可能含有一些特殊函數(shù)。并且很多特殊函數(shù)的提出就是為了解這些方程的如：上面三個方程中分別使用了三種類型的函數(shù)，可以查看系統(tǒng)幫助了解他們的性質(zhì)和含義。對于非線性微分方程，僅有一些特殊的情況可用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)函數(shù)得到解。Dsolve能夠處理所有在標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)手冊有解的非線性微分方程。例如：微分方程求解,譏*lnpij：= DSolvey x - yx A2 =x,

15、 x-! xj丨d】In33：= DSolvey 1 x - yx = x, y x t xRx t -(-l)173 (AiEYBiPEiMe(-l)V5 x +AlryllPrg嚴(yán) sc C1)J /CAiEyBil(-l)1/3 x + AityAl (-x C(1J) ) 可以看出第二個方程的解已經(jīng)非常復(fù)雜。 微分方程（組）的數(shù)值解如前所述，我們只能準(zhǔn)確求解一些特殊的微分方程，但是，我們可以對于給定初值條件或 邊界條件的常微分方程式（組）求出近似解。利用Mathematica求常微分方程近似解的語句如下：NDSolve微分方程,初始條件,未知函數(shù),自變量,下限，上限注意：（1）求微分方

16、程近似解的語句與求微分方程特解的語句類似，只是不但要指出自變量， 還要指出自變量的變化區(qū)間；（2）初值點(diǎn)X0可以取在自變量的變化區(qū)間上的任何一點(diǎn)處；（3）自變量的變化區(qū)間可以試算調(diào)整。例1求常微分方程 y=x2 y2滿足初始條件y（0）=0的數(shù)值解，并且求數(shù)值解在 x=0.5處 的函數(shù)值。解：In1:=s=NDSolvey x 乂 x 2 yx 2,y0 乂 0, yx, x, -2,2Out1 = y InterpolatingFunction -2,2, ： Out1表明將返回的解放在一個表中，實(shí)際的解就是插值函數(shù)InterpolatingFunction -2,2,：定義解函數(shù)In 2:

17、=yx_=yx/.s給出數(shù)值解的積分In3:=Plotyx,x,-2,2,plotRange -1.5,1.5給出數(shù)值解在x=0.5處的函數(shù)值，In4:=y0.5, 輸出0.041 791 3如果不需用要求函數(shù)值，只要輸入In 1:=s=NDSloveyx=x2+yx2,y0=0,y,x,-2,2In2:=Plotyx/.s,x,-2,2,PlotRange -1.5,1.5如果在上例中將求解區(qū)間改為-3,3 ，就會出現(xiàn)警告提示，實(shí)際得不到 -3,3上的解。例2求微分方程y +y yy0滿足初始條件y（0） =1,y（0） =y （0） = 0的數(shù)值解。IIIIII-IIn1:=s=NDSolveyx+y x y x yx 3 = 0,y0 = 1,y0 = 0,y0 =0, yx,x,-2,20Plotyx/. s,x,-2,20Out1 = yx InterpolatingFunction -2,20, ： 例例3求常微分方程式組：1 3x = y x xt 3 八-x滿滿足初始條件x(0) =0,y(0) =1的數(shù)值解。解：In1:=s =NDSolvext = yt _xt 3/