考研線代必須熟記結論

1、11.2.3.4.5.6.7.21.考研線代必須熟記結論、行列式n行列式共有n2個元素，展開后有 n!項，可分解為2n行列式； 代數(shù)余子式的性質： 、A和a的大小無關； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0； 、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為A ；代數(shù)余子式和余子式的關系：Mij =（-1）ijAjAij =（_1）jMij設n行列式D :n（ n J）將D上、下翻轉或左右翻轉，所得行列式為D!，則D1 =（一1） 2 D ；n （n將D順時針或逆時針旋轉 90：，所得行列式為 D2，則D2 =（一1） D ；將D主對角線翻轉后（轉置），所得行列式為D3，則

2、D3二D ；將D主副角線翻轉后，所得行列式為D4，則D4 = D ；行列式的重要公式： 、主對角行列式：主對角元素的乘積；n （n） 、畐U對角行列式：畐U對角元素的乘積（-1）F ； 、上、下三角行列式（、二i ）:主對角元素的乘積;n （n亠=3)mn AIb 、匚和丄：副對角元素的乘積（-1）F ； 、拉普拉斯展開式: 、范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積; 、特征值;n對于n階行列式 A，恒有： E - A =丄二（-1）kSi 2，其中Sk為k階主子式; kz!證明A =0的方法： 、A A ; 、反證法； 、構造齊次方程組 Ax= 0,證明其有非零解； 、利用秩，證明r（A） n

3、 ; 、證明0是其特征值;、矩陣A是n階可逆矩陣：A -0 （是非奇異矩陣）；：=r（A） = n （是滿秩矩陣）=A的行（列）向量組線性無關；=齊次方程組 Ax二0有非零解；二b Rn , Ax =b總有唯一解；A與E等價；二A可表示成若干個初等矩陣的乘積;二 A的特征值全不為 0;=ATA是正定矩陣；二A的行(列)向量組是 Rn的一組基；二A是Rn中某兩組基的過渡矩陣；2. 對于n階矩陣A : AA* =A A = AE無條件恒 成立；3. (A節(jié)=(A)丄(A 蘋=(A 尸(A*)T =(AT)*(AB)T =BtAt(AB) = B A(AB)=B 丄A-4. 矩陣是表格，推導符號為波

4、浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和;5. 關于分塊矩陣的重要結論，其中均 A、B可逆：:A若 A =A2 .，則：IrIAs丿I、 A 二 A A2 |l|As ；n、A亠ATAs丄、A00BA00 A亠B 0A0;(主對角分塊)b丄0丿-A 0丄B丄;(副對角分塊);(拉普拉斯)、厶0 TJ 。丄C b-b 丄cab;(拉普拉斯)3、矩陣的初等變換與線性方程組1. 一個m n矩陣A，總可經過初等變換化為標準形，其標準形是唯一確定的：f = Er ；2 0扁 等價類：所有與 A等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標準形為其形狀最簡單的矩陣； 對于同型矩陣 A、B，若r(A) = r(B

5、) = AL B ;2. 行最簡形矩陣： 、只能通過初等行變換獲得； 、每行首個非0元素必須為1; 、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0;3. 初等行變換的應用：(初等列變換類似，或轉置后采用初等行變換)r 、若(A , E)(E , X)，則A可逆，且X = A亠;c 、對矩陣(A, B)做初等行變化，當 A變?yōu)镋時，B就變成A亠B，即：(A B) -(E, A，B); 、求解線形方程組：對于 n個未知數(shù)n個方程Ax二b，如果(A, b (E, x)，則A可逆，且x = Ab ；4. 初等矩陣和對角矩陣的概念： 、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列

6、矩陣； 、人=“，左乘矩陣A ,入乘A的各行元素；右乘，蒼乘A的各列元素；25.6.7.f 1、r r 1 y、對調兩行或兩列，符號 E (i, j)，且E (i, j )-= E (i, j)，例如：1=1 ; 1丿 1丿11自、倍乘某行或某列，、倍加某行或某列，矩陣秩的基本性質:、符號符號E (i (k)，且 E (i (k)-=： E (i(!)，例如: kE(ij(k)，且 E(ij(k)E(ij(_k)，如:qk寧1-k、1=1b11(k = 0);1k0 r(Am n)乞min( m, n) r(AT) = r(A)；若 AJ B，則 r(A) = r(B)；若P、Q可逆，則r(A

7、)二r(PA)二r(AQ)= r(PAQ);(可逆矩陣不影響矩陣的秩max( r (A), r (B) r (A, B ) r (A) r (B) ；( )r(A - B) m +C：丄a1 bn 丄+C：bn(a - b)n展開后有n 1項;n!m!(n _m)!C：=1川、組合的性質：Cnm二、利用特征值和相似對角化:伴隨矩陣:In 、伴隨矩陣的秩：r (A *)=二1【0 、伴隨矩陣的特征值：(AXZn .1、關于、cmAnC； =2；r -0rcnn八 C：ambm zQr (A) r (A) r (A)A* = A A 丄、A* = AA矩陣秩的描述：r(A) =n , A中有n階子

8、式不為0, n 1階子式全部為 r(A) n , A中有n階子式全部為0;0;(兩句話)8.4、r（A） _n , A中有n階子式不為0;線性方程組：Ax =b，其中A為m n矩陣，則： 、m與方程的個數(shù)相同，即方程組Ax=b有m個方程； 、n與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組Ax為n元方程;線性方程組 Ax二b的求解： 、對增廣矩陣B進行初等行變換 、齊次解為對應齊次方程組的解； 、特解：自由變量賦初值后求得；只能使用初等行變換）；由n個未知數(shù)m個方程的方程組構成 n元線性方程:、an x 1a2 x 2ill amXn =ba21 x1a22 X2 I I I a2 n x b2I川IIIH

9、III川III川川III川川am 1 x 1 am2 x2IN anmxn 二bna12x1a11a21am 2amn XmJx 2 n a2 川 a. * ： =P卜兇丿b2 ax（向量方程， A為mxn矩陣,吏m丿（全部按列分塊，其中 p =b）；m個方程,n個未知數(shù)）9.10.11.4、1.2.3.4.5.6.7.8、aX1 a2X2 l|l a.Xn 二：（線性表出） 、有解的充要條件：r （A） （A, -） _ n （ n為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）向量組的線性相關性m個n維列向量所組成的向量組A :彳構成n m矩陣A =.乙川I，-詁）；RTm個n維行向量所組成的向量組B :即，,川，

10、卩；構成m5矩陣B= .2 ；含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應； 、向量組的線性相關、無關二Ax=0有、無非零解；（齊次線性方程組） 、向量的線性表出Ax=b是否有解；（線性方程組） 、向量組的相互線性表示AX二B是否有解；（矩陣方程）矩陣Am n與Bl n行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組Ax = 0和Bx = 0同解；（R01例14）r （ATA） = r （A）；（為例 15）n維向量線性相關的幾何意義： 、:-線性相關0 ； 、.:S,:線性相關=:,-坐標成比例或共線（平行）； 、:, -,線性相關二:, -,共面；線性相關與無關的兩套定理：若：2, -s線性相關，則：

11、1，2川1 = s，亠1必線性相關；若-1, ：2川1，:s線性無關，則2川1，a必線性無關；（向量的個數(shù)加加減減，二者為對偶）若r維向量組A的每個向量上添上n-r個分量，構成n維向量組B :若A線性無關，則B也線性無關；反之若 B線性相關，則 A也線性相關；（向量組的維數(shù)加加減減） 簡言之：無關組延長后仍無關，反之，不確定；向量組A （個數(shù)為r ）能由向量組B （個數(shù)為s）線性表示，且 A線性無關，則r乞s ；向量組A能由向量組B線性表示，則r（A）空r（B）；向量組A能由向量組B線性表示=AX =B有解； r(A) =r(A, B)向量組A能由向量組B等價二r (A) =r(B)二r(A,

12、 B)8. 方陣A可逆=存在有限個初等矩陣 P, P2,l|l, Pi，使A =RP2| Pi ; 、矩陣行等價： A B：= PA=B (左乘， P可逆)u Ax=O與Bx=O同解c 、矩陣列等價： A B：= AQ=B (右乘，Q可逆)； 、矩陣等價： APAQ =B ( P、Q可逆)；9. 對于矩陣Am n與Bl n : 、若A與B行等價，則A與B的行秩相等； 、若A與B行等價，則Ax =0與Bx二0同解，且A與B的任何對應的列向量組具有相同的線性相關性； 、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩； 、矩陣A的行秩等于列秩；10. 若 Am sBs n Cm n，則： 、C的列向量組能由 A的列向

13、量組線性表示，B為系數(shù)矩陣； 、C的行向量組能由B的行向量組線性表示，At為系數(shù)矩陣；(轉置)11. 齊次方程組Bx =0的解一定是 ABx= 0的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明； 、ABx二0只有零解二Bx二0只有零解； 、Bx= 0 有非零解 =ABx =0 定存在非零解；12. 設向量組Bn r : b，br可由向量組 Ans :耳，3 2，線性表示為：(b , b2 J11,b)二(a1, a2,111, as) K ( B = AK)其中K為s r，且A線性無關，則B組線性無關 r(K)= r ； ( B與K的列向量組具有相同線性相關性)(必要性:7r =r(B) = r

14、 (AK) r (K), r (K) rr (K) = r ;充分性：反證法)注：當r =s時，K為方陣，可當作定理使用；13. 、對矩陣Am n，存在Qn m，AQ =Emr(A)=m、Q的列向量線性無關；、對矩陣Amn，存在Pn m，PA二E.= r (A)= n、P的行向量線性無關；14. 訂，2,1 I I，s線性相關：=存在一組不全為0的數(shù)k1, k2,|, ks,使得k&1 k 22 Fl -ks二0成立；(定義)-(Q,%川,8) x2 =0有非零解，即Ax=0有非零解；二r( ：1,2川1,s) :：s，系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù)；15. 設m n的矩陣A的秩為r，貝U n元

15、齊次線性方程組 Ax = 0的解集S的秩為：r(S) = n-r ；16. 若 為Ax =b的一個解，1, 2,l|l, n工為Ax =0的一個基礎解系，則，1, 2, , n_r線性無關；5、相似矩陣和二次型1. 正交矩陣=AtA=E或A AT (定義)，性質：i 1j = j 、A的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即a：aj(j, j =1,2川n)；0心j 、若A為正交矩陣，則 A丄=AT也為正交陣，且|A二1 ； 、若A、B正交陣，則 AB也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化 和單位化；2. 施密特正交化：(d, a2, ab ；b 一 b1, a2】| bb _a b Or |b b Ba b b_r B rb b? a?U -br - a rbb 2b 訂b,bb b 1 b b ,2 jbr_ br1_ , 1 3. 對于普通方陣，不同特征值對應的特征向量線性無關； 對于實對稱陣，不同特征值對應的特征向量正交；4. 、A與B等價二A經過初等變換得到 B ；PAQ = B , P、Q 可逆；r(A) =r(B) , A、B 同型