不等式有解和恒成立問題

1、不等式有解和恒成立問題本節(jié)重點 （知識點的羅列，文字不宜太多，簡潔明了最好 ）知識點一：不等式恒成立問題知識點二：不等式有解問題考情分析 （ 分析該知識點在中高考中的體現(xiàn)，包含但不僅限于：考察分值、考察題型（單選、填空、 解答題）、考察方式：考場難度、和哪些知識點在一起考察，參考中高考真題 ） 含參不等式的恒成立與有解問題是高考與會考考察不等式的一個重點內(nèi)容， 也是?？嫉膬?nèi)容， 難度中 等偏上，考察綜合性較強， 該知識點在填空選擇解答題里都有涉及， 經(jīng)常和函數(shù)的最值問題在一起考 察，需要同學(xué)對典型函數(shù)的值域求法有熟悉的掌握。例題精講 （ 注意題目的答案，不要展示給學(xué)生看，這里答案和解析是幫助老

2、師自己分析的 ）一、不等式有解問題例題：當 m為何值時，2x mx 12x2 2x 31對任意的 x R 都成立？解法 1：二次函數(shù)法： 移項、通分得：2x2 (m 2)x 42x2 2x 3又2x2 2x 3 0 恒成立，故知：x2 (m 2)x 4 0 恒成立。所以： (m 2)2 16 0，得到 6 m 2解法 2：分離參數(shù)法：注意到 x（m 2）x 4 0恒成立，從而有：2mx x2 2x 4 恒成立，那么：442mxx2,x0mmin xx0x42,x04mxmmax x2xx0x注意到，在上式中我們用到了這樣一個性質(zhì)：4226m2m f(x) m f(x) 對于任意x A R成立

3、m maxf(x) m min f(x)x A x A總結(jié)：解決恒成立問題的方法 : 二次函數(shù)法和分離參數(shù)法變式練習：(初三或者高三學(xué)生必須選取學(xué)生錯題或者學(xué)生所在地區(qū)的中高考真題或者當?shù)氐慕y(tǒng)考題 目)【試題來源】(上海 2016 楊浦二模卷)【題目】設(shè)函數(shù) g(x) 3x ， h(x) 9x ， 若 f(x) g(x 1) a 是 實數(shù)集上的奇函數(shù) ，且 g( x) bf(h(x) 1) f(2 k g(x) 0對任意實數(shù) x恒成立，求實數(shù) k的取值范圍 .【答案】：因為 f (x) g(x 1) a是實數(shù)集上的奇函數(shù)，所以 a 3,b 1.g( x) b2f (x) 3(1 x2 ) ，

4、f (x) 在實數(shù)集上單調(diào)遞增 .3 x 1由 f (h(x) 1) f(2 k g(x) 0得 f (h(x) 1) f (2 k g( x) ，又因為 f (x)是實數(shù)集上的奇函數(shù)， 所以， f (h(x) 1) f (k g(x) 2)，又因為 f ( x)在實數(shù)集上單調(diào)遞增，所以 h(x) 1 k g(x) 2即 32x 1 k 3x 2 對任意的 x R 都成立， 即 k 3x 1x 對任意的 x R都成立， k 2 .3x二、不等式有解問題例題：已知函數(shù) f(x)在定義域,1 上是遞減函數(shù)，是否存在實數(shù) k使22f (k sinx) f (k2 sin2 x)對 x R恒成立？并說

5、明理由。 【答案】：由 f (x)遞減以及 f(k sinx) f(k2 sin2 x)可知： k sinx k2 sin2 x對于x R恒成立，也即： sin2x sinx k2 k對于 x R恒成立。再考慮到函數(shù) f(x) 的定義域，我們?nèi)菀字溃?2 k k sin x sin xk 1 sin x 對于 x R 恒成立，而： 22k2 1 sin2 xk 2 k sin 2 x sin x 2maxk 1 sin x 0 k 1min 22k2 1 sin2 x1min變式練習：試題來源】 (上海 2015 年閘北一模)題目】存在實數(shù) a使不等式 a 2 x 1 在 1,2 成立,則a

6、的范圍為解析】有解問題， a 2 x 1 2 ( 1) 1 4max課堂總結(jié)：解決不等式有解和恒成立問題的方法二次函數(shù)法。在之前的講義中，我們在二次函數(shù)那一節(jié)已經(jīng)適當討論了一些一元二次不等式的恒 成立(有解)問題。事實上，在高考中，很多不等式可以通解變形為一元二次不等式。因此利用 二次函數(shù)來求解不等式的恒成立(有解)問題是一個非常有用的方法。分離參數(shù)法。所謂分離參數(shù)法就是將不等式同解變形為 a f (x)或者 a f ( x)的形式，然后再利 用以下命題進行求解。a f ( x)恒成立(有解) a fmax(x) (a fmin (x) ；a f (x)恒成立(有解) a fmin (x) (a fmax(x) .課后作業(yè) (課后作業(yè)的題目需要和本節(jié)課的知識點相關(guān)，作業(yè)量不宜太多，難度上有所控制)1、若不等式 1 log a (10 ax) 0有解，則實數(shù) a 的范圍是 2、函數(shù) f (x) ) 對一切實數(shù) x,y均有 f (x y) f(y) (x 2y 1)x 成立，且 f(1) 0 (1) 求 f (0) 的值；1(2) 求 f (x) 2 loga x, x 0,12 恒成立時，求 a 的取值范圍3、若不等式 對一切 x 恒成立，求實數(shù) m的范圍。4、已知 f (x) x2 (1 p)x p (p 0)2x p(1)若 p 1