大學(xué)線性代數(shù)典型例題解析

1、大學(xué)線性代數(shù)典型例題解析大學(xué)線性代數(shù)典型例題解析行列式計(jì)算的典型例題分析:1 利用降階法。051W 將第三列期以-3和-5分別加到第一列、第二列然后按第一行展開，得1440-10一110-19一 13-10=(-1嚴(yán)_11-6-19 5-13 20 1再將第三列乘以6加到第一列:按第三行展開，得522019-13020 -19-13= -241 e由以上演算過:程可知，對(duì)于任意n階行列式D,皆可用行列式性質(zhì)變?yōu)榈戎档膎-1階行 列式。2 利用化三角形法計(jì)算。a-b-c 2a2a計(jì)算 D= 2b b-c-a 2b2c2cC - 7 - /)無：將第二仃與第三仃都加到第一仃上，出畏出公因于2),得

2、 a +6卡 c arb c abcD= 2b b-c-a 2b2c=(a + + c) 2ft 5- c- a 2b2c 2r c-a - b再將第一行乘以(-2b)和(-2c)分別加到第二行與第三行，得1 1 10 = (“ 十方十c)0 (口 十b 十c)0= (a +b +c)3 c00-(a +A +c)3 利用升階法。il：越將D加邊升階得這里 020 = 1,2,3,4)1 000011111- AX ?000一血 a-. A也a2=一偽0A fln0033a殆7 300A 730一創(chuàng) 5AA礎(chǔ)000A a4D =第2列 J倍、第3列倍、第4列一一倍、A 6?|X Z7 ?二一農(nóng)

3、3第5列二借加到第一列上01X fl1101010D =00A -00000Aa.00000A- CJ這個(gè)結(jié)論可以推廣到n階行列式的情亂即a坷a, 111 dfl3f n=n 5*4 利用范德蒙公式。優(yōu)10聲方程111248。=0-39-27525125M 將行列式粽置便知它是一人4階范德蒙片列式即1 X X，X31 1 1 11248X 2-351 -39-27x2 49251525125x3 8 -27 125= (2-.v)(-3-.v)(5-.)(-3-2)(5- 2)(5 +3)=0(方程的 x = 2vv=-3vx = 5)e二-矩陣1 1 11 1 1求A0 1 10 0 10儻

4、3已知 J= a00解法1制十0用伴隨矩陣法111力口 = 0 11 = 1, a2 = Al3 = /1H = 00 011 1 111 121 =0 1 1=-1 班=01 I0 0 100 10 0 11 1 111 11 1 1=0 血二-01 10 0 100 1JA42 =0心=一ri一ioo-0 1 -10=PT=0 0 1-1Ai =A000=餌法(4)分塊法1 10 11r11 a0A.111 -01；=1工0可逆，由三角塊求解注初等行變按法111 1:10010001-100011 1:0100a-010001-10001 1:0010門口0010001-1Lo00 1:0

5、001_00010001逆法ad00-101-101 - J1 J J1 力1 =月e.o “其中A；x =叩1 1俠7 :求X便XA二B,這里/= 501、8 0 01-3-2，B = 5 3 01-521 ,12 6 0丿A可逆，則XA=B兩側(cè)冋乘/二即可得0101I012001001001051009-133、11-15,00b分析：根據(jù)矩陣乘法規(guī)則,X應(yīng)為3階方陣。若 X = Bfa 解法一：先求力二(51210-10則X = Bf =- 58b0 03 06 0,210-101lo-31210 10、:75 85 10 113)485114851548丿1-2521323、=.456

6、,)1789丿311注恿：這里別A剰右饑因脫二腫麗不是才伙 嫡上艄于張B等式 兩址同時(shí)右乘八黠二:XH則X二別 可以看成-些初轆狀積，它fl右乘B,相當(dāng)于對(duì)B進(jìn) 行列變換。而這帥等矩陣右乘A, B hWAfilB施行同將刪等殲,址A變?yōu)镮 時(shí)，即把B變?yōu)閄二財(cái)，;50100111001-39-3-110-31-521-9210列交決、-322-800-808-808亠5-30=5亠35-14=3171-2=60 /-2一62 ,“20一 626/(100fl00001102824fl4-141一204869/i3 00、136、儻8:設(shè)/0 1 -1B=1 1J) 14,1、2 -3/26，求

7、 X 使 AX=2X+B解法一;AX=2X+B,則(A2I)X=B若 A-21 可逆,X = (A-21YB (110先求(/J-2Z)-1,因?yàn)锳_2i =_1為準(zhǔn)對(duì)角矩陣，則只需求c =；2丿 ”C110)啟 f 00 1; !0 1-1)1（說明：對(duì)二階方陣用伴隨陳求逆巨很方便）n00、（/一2/宀-2-1lo1Z1 036、 36、X =0 -2一1；11=-41、0 11丿込3-2/超法二：X 十-2IB,因?yàn)椋↗-2/f1相當(dāng)于一些初等陣之積，它們右乘B,相當(dāng)于 對(duì)B送行行初等變換丙此（42JB卜輕A （人X ） Bfl0036、1Too0lo-1-111T0110 0122-3.

8、136X_-41e1* = /)MlMl三向量和線性方程組削卿酣皿泌攤無關(guān)？削刪鈿知皿繩聯(lián)井紅勵(lì)皿”峨帕合.融墟觸旳訓(xùn)6怖i殳蚣地也二0附M只鯛刪硼2峨IH關(guān)削M髀鋼恥也曲烈 聯(lián)理D= 23321一1 3=232一1 3=一7(&-5)0門一5 (1)當(dāng)D=-7( &T) HO時(shí)，方程組只有零餌，因此當(dāng)& H5時(shí)，ana2，勺線性無關(guān). 當(dāng)2T(a-5)丸時(shí)，方程經(jīng)有非零解，因此當(dāng)時(shí)，乙，冬，血線性相關(guān).設(shè)a3 =虬ax十炸2 a2則(3, 2,滬(納+3耳2斜伙2, 3件+2取2)*、+3心=3即：-2k-k = 23護(hù)|+2巧=5可餌出疋嚴(yán)斗A:2冷于是5 =勺十掃伊 g 匕=(1,0,2

9、,3)丁，3 =(1，7衛(wèi)十2,1)丁,久=(1,2,4,a+8)7,*0 = (1 +3,5)問ab為何值時(shí)，那能表示成乙的線性經(jīng)合：a為何值時(shí)，0ST以由“0“儀3皿4線性表示，且表示法唯鎧：如儻6分析,上述問題等價(jià)= g rk2a2 k3a3kAaA是否有韓即1 1012 3_35_11012 33 52耳十口P十q10 001-1a + 2是否有無，丙為11111 -1 2 10 A + 1 0 d00 + 1 OJ11212 力+ 1d + 52其中心+ r.表示矩陣第i行乘以k加到第j行.因此，當(dāng)a=-l,b=0時(shí)，方程統(tǒng)有無窮多館0可以表示成a,a2,a3,aA的線性組合. 當(dāng)a

10、二-1,20時(shí),方程坦有無窮多僕，比時(shí)0可以表示成a,a2,a3,a4的線性塩合. 但表示法不唯一.當(dāng)a H-1時(shí),0可以唯一地表示成門2ba + /?+1h八0 =a, + a2a3 0a“a+1a+1a + b11257123710A -1349131451116求A的秩分析一般求矩陣的秩可以通過兩個(gè)方法來求.方法1.直接用行列式求矩陣的秩即我出矩陣中最高不為零子式的階數(shù).方法2.利用初等變換來求矩陣的秩.采用方法1與方法2 一股根據(jù)矩陣階數(shù)來定，對(duì)于絞高矩陣?yán)贸醯茸儞Q較為方便.契方法一：A有一個(gè)二階子式；二1芒0,而所有包含D的三階子式為1 1 20=123=0,1 4 511 52

11、= 12 7 =0,13 9117Dy =1210=0,13131122=123=0.134115Ds =127=0,1411117D6 =1210=0.1416因比秩A=211002571方法21 2 51125712 3 710(-l)x林+樣0 1123-!L T13 4 913心 2, 3,40 2246l 4 5 11 160 3 36 9(-2)xr2+；3. 0(-3)2+心00從而 r(B) =2.因此 r (A) =2例 5.判斷q嚴(yán)(1, 2 3), J =(3, 2,1), 3=(1, 3, 1)是否線性相關(guān).分析:研究向量組旳，勺，的線性相關(guān)的問題由定義可知，就是考察是

12、否存在加 個(gè)不全為零的數(shù)人,為,，盒，便線性組合.召務(wù)+廐勾+L5 =0a也+冬出十+%出=0即；J 1- 1 g 儀出+紜處+A =因此，向宜組儀“ &2,，J是否線性相關(guān)，等價(jià)于齊次線性方程組(3)是否有非零餌. 若方程組有非零皿，則勺衛(wèi)1,，乙線性相關(guān)，若方程坦只有零鏈，則 內(nèi)宀線性無關(guān)丙此研究向丟間是否線性相關(guān)問題.實(shí)質(zhì)上就是研究齊次線性方程 組看沒有零髏問題.解法一 設(shè)存在一組數(shù)&*空他，使億5 + kiai +仏匕3 - 0即龜(1,2,3) + 柑(3,2,1) + 3(1,3,1)= (0,0,0),亦即(人+3A-, +他,2血+2處+ 3為,3化+ k2 +龜)二(0,0,

13、0)k、+弘2 +為二 0dk + 2仁+3人=03k i + A + A-3 = 0i3r系數(shù)矩陣223=Af可以通過初等行變換求得r(A)=3.則此齊次線性方程組311只有零解，故線性無關(guān).二血0加 P 71柏 Mill、 Mil ilKH I 4 HA 1 Ik例6已知咕伸）心訂M-1廠1）,仆（卜-1沏叩廠1,71）,能仲山） 試粘#表示為角角和川線性組臺(tái)分析:硏究某-向盤0能否用向量偽覘厶的線性表示糠是否有m個(gè)數(shù) 也廣化使和比 +也樸也仏成芷a點(diǎn)+住也+性代胡肚弘占皿曲+5気出強(qiáng) 如屮仏卜仏.代胡因此:向盤儺否用向量姐即紐難表示制于非齊次難方翩（4）是 否有常若方翱（4）有唯-篦則0

14、能用心叫唯-峨性表示若方翱（4）有無 男多解，則0能用勺衛(wèi)廠乙線性表示，但表示法不唯一若方程姒4）無解J 儺用知偽黠蘇解設(shè)”二業(yè)|必2。2“33祁衛(wèi)即（121,1）“山,1,1）珈11）玦（1,1,1廠1）也（1,1,1,1）、H2解冷需也乂冷1T ,5111 即 卩二一 +-ff2 一tt3 一ff4 0四特征值與特征向量即:對(duì)于心F方稚組= 即為-11 一 1、0-11000,ab1 (u)X、M=o =U (r-21 -1、“)、-21 一 1x5=,()、11 -Lloo1=00,丿00H0）是屬于2 = 1的特征向瑩3-1 r1-3紜A =20 14B =4-7 81-1 26-7

15、7z-31-1x-2101 1 0解（一）:|刀-閭二一2 A-1=A-2 z x-1= (x-2)(x-l)1 A 1-217-20 1A - 10 1 1=a-2)(z_1)1 01X-101= (z-2)(A-l)A-i1= (A-2)2(z-1)0 1 1.4的特征值為a1=A2 = 2,23=1.對(duì)于Au = 2,方程組一 A)X=O,即為 iz-l 1 -1心、何-2 2-1解為1 , I；&工0）是屈于2的特征向雖= 衛(wèi)丿0）A的特征值為2,2,1川的屬于2的特征向魚為心1 （*嚴(yán)0）,ro-力的屬于1的特征向旦:為化（k20）= (A-3)12-6-1A7= (A-3)1z + 7 -17 A-1= (A-3)Z-13-4X-13-4z-33-久元-34z + 782X1 Z二2Z1-乂-6斗7x-7-67Z-767Z-7(二)AI - 5| =Uz.=(九一3)(2十 1)二 3的特征值為Z, =4, =-l,Z