2019教育例題與探究(§51數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入).doc

1、高手支招3綜合探究1含有參數(shù)形式的復(fù)數(shù)何時(shí)表示實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)此類問題是涉及到復(fù)數(shù)的分類及各自概念，在理解的基礎(chǔ)上注意它們的聯(lián)系與區(qū)別，以此作為判斷它們?yōu)閷?shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的條件復(fù)數(shù)z=a+bi當(dāng)且僅當(dāng)b0時(shí)為虛數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)為實(shí)數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)a=O,b工(為純虛數(shù)，當(dāng)且 僅當(dāng)a=0,b=0時(shí)為0.下面以3m+9+(m 2+5m+6)i,m為何值時(shí)表示實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)為例說明2(1) 若表示實(shí)數(shù)則:m +5m+6=0(即虛部必須為零);(2) 若表示虛數(shù)則：m2+5m+6z 0即虛部不能為零);(3) 若表示純虛數(shù)則:3m+9=0且m2+5m+6M 0即實(shí)部必須為零，虛部不能為零).2

2、兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件及應(yīng)用時(shí)應(yīng)特別注意的問題因?yàn)閺?fù)數(shù)可以用向量來表示，所以可以結(jié)合向量相等來理解在向量坐標(biāo)表示中，兩個向量相等則對應(yīng)坐標(biāo)要相等.兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是實(shí)部與虛部分別相等在兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件中，注意前提條件是a、b、c、d R,即當(dāng)a、b、c、d Ra =c,時(shí),a+bi=c+di二丿 但忽略條件后，則不能成立，因此解決復(fù)數(shù)相等問題，一定要把復(fù)數(shù)的b = d.實(shí)部與虛部分離出來再利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，化復(fù)數(shù)問題為實(shí)數(shù)問題3復(fù)系數(shù)一元二次方程根的問題與實(shí)系數(shù)一元二次方程根的問題利用復(fù)數(shù)相等可解決復(fù)系數(shù)方程根的問題，如果復(fù)系數(shù)方程有實(shí)根，我們將其中的未知數(shù)視為等式中的一個實(shí)

3、數(shù)，將方程變形化簡為a+bi=0(a,b R)的形式撚后利用復(fù)數(shù)相等即可解決相關(guān)問題這里要特別注意，方程有實(shí)根務(wù)必注意不能用判別式40來處理方程的根的問題，否則出錯如果復(fù)系數(shù)一元二次方程無實(shí)根，則同樣不能用 0來處理此時(shí)，方程有復(fù)數(shù)根，可設(shè)方 程的根為z=m+ni(m,n R)，然后，化簡方程，使方程變形化簡為 a+bi=0(a,b R)的形式，然后利 用復(fù)數(shù)相等即可解決相關(guān)問題 另外，當(dāng)實(shí)系數(shù)一元二次方程無實(shí)根時(shí)，方程的判別式 0此時(shí)雖無實(shí)根，但有虛數(shù)根，如實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c R)無實(shí)根，則其有兩個虛根，分別為- b _ . 4ac - b2i：x=2a第6頁

4、當(dāng)然,也可以設(shè)方程的根為z=m+ni (m, n R),然后,化簡方程,使方程變形化簡為 s+ti=0(s,t R)的形式，然后利用復(fù)數(shù)相等即可解決相關(guān)問題高手支招4典例精析【例1】如果用C、R和I分別表示復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集和純虛數(shù)集，其中C為全集，那么有()A.C = R U IB.R ni= 0 C.R= cn Id.r n 1=-思路分析：復(fù)數(shù)系的構(gòu)成是復(fù)數(shù) z=a+bi(a,b R)(b =0)純虛數(shù)(a = 0)、非純虛數(shù)(a工0)由此不難判斷正確答案為D項(xiàng).【例 2】 若 Zi=sin2 0 +icos2=fcos 0 +i 3 sin 當(dāng) zi=Z2 時(shí) B 的值為(A.k nJiB

5、.2k n3答案：Dn:C.2k n3思路分析：由已知D.2k n + (以上 k Z)6Z1=Z2,利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，然后解三角方程即得./ Zi=Z2, /si n2日=cos8, cosT =T3s in,si n從而得tanr0 =2kn+ ( k Z ).故選 D 項(xiàng).6答案：D【例3】m為何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)Z=2m2 -3m -2m2 -252+(m +3m-10)i(1)是實(shí)數(shù);(2)是虛數(shù);(3)是純虛數(shù).思路分析：利用復(fù)數(shù)分類，是實(shí)數(shù)，只要令復(fù)數(shù)z的虛部為零即可；是虛數(shù)，只要令復(fù)數(shù)z的虛部 不為零即可；是純虛數(shù)，只要令復(fù)數(shù)Z的實(shí)部為零，虛部不為零即可.2 2 2解:(1)令

6、 m +3m-10=0,得 m=2 或 m=-5. ：分母 m -25 工 0；. m-5. / m=2;(2)令 m +3m-10 工又分2m2 - 3m - 2-廠2,2 0，母 m -25 工 0# m 2且 m-5，且 m 5;(3令 m-252、m +3m100，2m +3m-10 豐22 2【例4】當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)(m -8m+15)+(m +3m-28)i在復(fù)平面中的對應(yīng)點(diǎn)(1)位于第四 象限;(2)位于x軸的負(fù)半軸上：思路分析：復(fù)數(shù)a+bi(a，b R)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)：對于(1)應(yīng)滿足丿a Mb 0;對于(2)應(yīng)滿足嚴(yán)0,b = 0.丁2m 8m +15 v 0,解:

7、(1)由已知2m + 3m - 28 = 0,/ -7m 3(a2-2a+2)=-(a-1)2-1 3),復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)的y = -(a -2a+2),軌跡是一條射線，其方程為y=-x+2(x 3).【例6】用復(fù)數(shù)表示下圖各題的陰影部分.思路分析：本題關(guān)鍵在于要設(shè)出復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y C),并利用其坐標(biāo)在復(fù)平面內(nèi)的范圍寫出用復(fù)數(shù)表示平面區(qū)域中陰影部分的圖形.解:設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y R)，則有:(1)z|z=x+yi,1x3;z|z=x+yi,x(3) z|z=x+yi,1(4) z|z=x+yi,|y| 1; |z| 0,y 0; 0.【例7】1z|C,A= z|z|z C， 2

8、2設(shè) z1= 6-3 i,Z2=- i,z C.若全集 l=z|z|那么A中所有z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)的集合是什么圖形?思路分析：解決復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的幾何圖形問題，要熟練掌握兩點(diǎn)：復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y R)在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn) Z(x,y);|z|的幾何含義為z在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn) Z與原點(diǎn)的距離.本題關(guān)鍵 是求出|z|的取值范圍，就可確定z在復(fù)平面上的圖形.解：由已知：|Z1 |= .( 6)2(-“3)2=1, l= z|z| 3,zC,A=z|z| EzC, A=z|1|z| 3,zC, A中的z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn) Z的集合應(yīng)是與原點(diǎn)距離大于1而不大于3的所有點(diǎn). A中的所有z在復(fù)平面上對

9、應(yīng)的點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)為圓心，以1和3為半徑的圓所夾的圓環(huán),但不包括小圓的邊界(如圖).【例8】 設(shè)z C，滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？(1)|z|=2;(2)2|z|3.解:(1)因?yàn)閨z|=2，即 | OZ |=2,如果設(shè)z=x+yi(x,y R)，所以滿足|z|=2的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)為 圓心，以2為半徑的圓.(2)不等式2|z|2的點(diǎn)的集J z 3.合是圓|z|=2外部所有的點(diǎn)組成的集合，滿足不等式|z|3的點(diǎn)的集合是圓|z|=3內(nèi)部所有的點(diǎn)組 成的集合，這兩個集合的交集就是上述不等式組的解所對應(yīng)點(diǎn)的集合.因此，滿足條件2|z|3的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)為圓心，分別以2和3為半徑的兩

10、個圓所夾的圓環(huán)，但不包括圓環(huán)的邊 界.如下圖所示.高手支招5思考發(fā)現(xiàn)1. 對于復(fù)數(shù)用非標(biāo)準(zhǔn)形式給出，應(yīng)先化成標(biāo)準(zhǔn)形式a+bi的形式，使復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化，這是解復(fù)數(shù) 問題的基本思想，也是化歸思想的重要表現(xiàn).2. 對于復(fù)數(shù)分類問題的求解，主要包含四類：是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)，是純虛數(shù)，是零.是實(shí)數(shù)就必須使復(fù) 數(shù)的虛部為零；是虛數(shù)就必須使復(fù)數(shù)的虛部不為零；是純虛數(shù)就必須使復(fù)數(shù)的虛部不為零，同時(shí)要使復(fù)數(shù)的實(shí)部為零；是零就必須使復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部均為零.3. 對于涉及到利用復(fù)數(shù)相等的問題，求解時(shí)關(guān)鍵是要抓住兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件，從而將復(fù) 數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題的主要方法.此外，要明確由一個復(fù)數(shù)等式可得到兩個實(shí)數(shù)等式這一性質(zhì),并在解題中會運(yùn)用它.4. 在設(shè)復(fù)數(shù)的過程中常設(shè)為z=a+bi(a，b R);在有關(guān)的解決軌跡問題中常設(shè)z=x+yi從而與解析幾何聯(lián)系起來；當(dāng)復(fù)數(shù)的模為1時(shí)也可以設(shè)為z=cosB +isin用三角函數(shù)解決相關(guān)最值等.5. 復(fù)數(shù)相等是