人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程[講課適用]

1、太太 陽陽 系系 2優(yōu)選課堂 3優(yōu)選課堂 4優(yōu)選課堂 5優(yōu)選課堂 6優(yōu)選課堂 2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 普寧僑中普寧僑中 鄭慶宏鄭慶宏 7優(yōu)選課堂 嘗試實(shí)驗(yàn)，形成概念嘗試實(shí)驗(yàn)，形成概念 1取一條細(xì)繩；取一條細(xì)繩； 2把它的兩端固定在板把它的兩端固定在板 上的兩點(diǎn)上的兩點(diǎn)F1、F2； ； 3用鉛筆尖（用鉛筆尖（M）把細(xì)）把細(xì) 繩拉緊，在板上慢慢移繩拉緊，在板上慢慢移 動(dòng)看看畫出的圖形。動(dòng)看看畫出的圖形。 F1F2 M 觀察做圖過程：觀察做圖過程：1繩長應(yīng)當(dāng)繩長應(yīng)當(dāng) 大于大于F1、F2之間的距離。之間的距離。2 由于繩長固定，所以由于繩長固定，所以 M 到到 兩個(gè)定點(diǎn)的距離和也固

2、定。兩個(gè)定點(diǎn)的距離和也固定。 動(dòng)手畫：動(dòng)手畫： 8優(yōu)選課堂 9優(yōu)選課堂 10優(yōu)選課堂 1. 改變兩圖釘之間的距離，使其與改變兩圖釘之間的距離，使其與 繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？ 2繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？ 11優(yōu)選課堂 1. 改變兩圖釘之間的距離，使其與改變兩圖釘之間的距離，使其與 繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？ 2繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？ 12優(yōu)選課堂 F1F2 M 1 1、橢圓的定義、橢圓的定義 如果設(shè)軌跡上任一點(diǎn)如果設(shè)軌跡上任一點(diǎn)M到兩定點(diǎn)到兩定

3、點(diǎn)的距離和為的距離和為 常數(shù)常數(shù)2a，兩定點(diǎn)之間的距離為，兩定點(diǎn)之間的距離為2c，則橢圓定義還，則橢圓定義還 可以用集合語言表示為：可以用集合語言表示為： P= M| |MF1 |+|MF2|=2a（2a2c） 13優(yōu)選課堂 （1 1）平面曲線；）平面曲線； （2 2）到兩定點(diǎn)）到兩定點(diǎn)F F1 1，F(xiàn) F2 2的距離和等于定長；的距離和等于定長； （3 3）定長）定長|F|F1 1F F2 2| |。 反思：反思：橢圓上的點(diǎn)要滿足怎樣的幾何條件？橢圓上的點(diǎn)要滿足怎樣的幾何條件？ 14優(yōu)選課堂 探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案 Ox y Ox y Ox y M F1 F

4、2 方案一方案一 F1 F2 方案二方案二 O x y M Ox y (對稱、對稱、“簡簡 潔潔”) 15優(yōu)選課堂 x F1F2 ( (x , y) ) 0 y 設(shè)P (x, y)是橢圓上任意一點(diǎn)， 橢圓的焦距|F1F2|=2c(c0)， 則F1、F2的坐標(biāo)分別是(c,0)、(c,0) . P與F1和F2的距離的和為固定值2a(2a2c) （問題：下面怎樣（問題：下面怎樣化簡化簡？）？） aPFPF2| 21 22 2 22 1 )(| ,)(|ycxPFycxPF aycxycx2)()( 2222 由橢圓的定義得，限制條件由橢圓的定義得，限制條件： 由于由于 得方程得方程 16優(yōu)選課堂 2

5、22222 bayaxb 22 ba兩邊除以兩邊除以 得得 ).0(1 2 2 2 2 ba b y a x 設(shè) 所以即 ,0 ,22 22 ca caca ),0( 222 bbca 由橢圓定義可知由橢圓定義可知 整理得整理得 2222222 )()(44)(ycxycxaaycx 222 )(ycxacxa 22222222224 22yacacxaxaxccxaa 兩邊再平方，得兩邊再平方，得 )()( 22222222 caayaxca 移項(xiàng)，再平方移項(xiàng)，再平方 橢圓的標(biāo) 準(zhǔn)方程 17優(yōu)選課堂 剛才我們得到了焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程， 如何推導(dǎo)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？ （問題：下

6、面怎樣（問題：下面怎樣化簡化簡？）？） aPFPF2| 21 22 2 22 1 )(| ,)(|cyxPFcyxPF acyxcyx2)()( 2222 由橢圓的定義得，限制條件由橢圓的定義得，限制條件： 由于由于 得方程得方程 aycxycxx2)()( 2222 軸焦點(diǎn)在 ).0(1 2 2 2 2 ba b y a x 18優(yōu)選課堂 o y x 1 F 2 F ),(yxP o y x 2 F 1 F ),(yxP 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y 如何根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上？如何根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上？ 19優(yōu)選課堂 O

7、X Y F1F2 M (-c,0) (c,0) Y O X F1 F2 M (0,-c) (0 , c) )0(1 2 2 2 2 ba b y a x )0(1 2 2 2 2 ba b x a y 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)： （1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是1。 （2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)a、b、c滿足滿足a2=b2+c2。 （3）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個(gè)參數(shù)）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個(gè)參數(shù)a、b、c的值。反的值。反 之求出之求出a.b.c的值可寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。的值可寫出橢圓的標(biāo)

8、準(zhǔn)方程。 （4）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與與y2的分母哪一個(gè)大，則焦點(diǎn)就在的分母哪一個(gè)大，則焦點(diǎn)就在哪一哪一 個(gè)軸上。并且哪個(gè)大哪個(gè)就是個(gè)軸上。并且哪個(gè)大哪個(gè)就是a2。 。 20優(yōu)選課堂 22 22 +=1 0 xy ab ab 22 22 +=1 0 xy ab ba 分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上。分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上。 222 =+abc 平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等的距離的和等 于常數(shù)（大于于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡。）的點(diǎn)的軌跡。 12 - , 0 , 0，F(xiàn)cFc 1 2 0,-0,，F(xiàn)cFc 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程 不不 同同 點(diǎn)

9、點(diǎn)相相 同同 點(diǎn)點(diǎn) 圖圖 形形 焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo) 定定 義義 a、b、c 的關(guān)系的關(guān)系 焦點(diǎn)位置的判斷焦點(diǎn)位置的判斷 再認(rèn)識(shí)！再認(rèn)識(shí)！ x y F1 1F2 2 P O x y F1 1 F2 2 P O 21優(yōu)選課堂 22 22 1.1 53 xy ，則a ，b ； 22 22 2.1 46 xy ，則a ，b ； 53 46 口答： 則a ，b ； 則a ，b 3 7 1 69 . 3 22 yx 6 1 47 . 4 22 yx 2 22優(yōu)選課堂 快速練習(xí)：快速練習(xí)：1.判定下列橢圓的判定下列橢圓的 焦點(diǎn)在那條軸上焦點(diǎn)在那條軸上?并指出焦點(diǎn)坐并指出焦點(diǎn)坐 標(biāo)。標(biāo)。 1 1625 ) 1

10、( 22 yx 答：在答：在 X 軸。（軸。（-3，0）和（）和（3，0） 1 169144 )2( 22 yx 答：在答：在 y 軸。（軸。（0，-5）和（）和（0，5） 判斷橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上的準(zhǔn)則：判斷橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上的準(zhǔn)則： 哪個(gè)分母大哪個(gè)分母大,焦點(diǎn)就在哪條軸上焦點(diǎn)就在哪條軸上,大的分母就是大的分母就是a2. 23優(yōu)選課堂 變式一變式一:將將上題上題焦點(diǎn)改為焦點(diǎn)改為(0，-4)、(0，4)， 結(jié)果如何？結(jié)果如何？ 1 925 22 xy 將將上題上題改為改為兩個(gè)焦點(diǎn)的距離為兩個(gè)焦點(diǎn)的距離為8 8，橢圓上一點(diǎn)橢圓上一點(diǎn)P P到兩到兩 焦點(diǎn)的距離和等于焦點(diǎn)的距離和等于1010，結(jié)果

11、如何？，結(jié)果如何？ 1 925 22 yx 1 925 22 xy 已知兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是已知兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-4,0)、(4,0)，橢圓上一點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)P到到 兩焦點(diǎn)距離的和等于兩焦點(diǎn)距離的和等于10； 22 1 2 59 xy 2、寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在X X軸時(shí)，方程為：軸時(shí)，方程為： 當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在Y Y軸時(shí)，方程為：軸時(shí)，方程為： 24優(yōu)選課堂 分組練習(xí)：分組練習(xí)：求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)與焦距求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)與焦距 1 615 ) 1 ( 22 yx答：焦點(diǎn)（答：焦點(diǎn)（-3，0）（）（3，0） 焦距焦距 2c=6 1

12、16925 )2( 22 yx答：焦點(diǎn)（答：焦點(diǎn)（0，-12）（）（0，12） 焦距焦距 2c=24 25優(yōu)選課堂 例例1.求下列橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，以及橢圓上每一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離求下列橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，以及橢圓上每一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離 的和。的和。 1 4 ) 1 ( 2 2 y x 1 54 )2( 22 yx 434)3( 22 yx 解：橢圓方程具有形式 1 2 2 2 2 b y a x 其中 1, 2ba 因此314 22 bac兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為)0 , 3(),0 , 3( 橢圓上每一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為42 a 26優(yōu)選課堂 1 1625 )2( 22 yx 1 1 )3( 2 2 2 2

13、m y m x 1 1616 )1( 22 yx 0225259)4( 22 yx 123)5( 22 yx 1 1624 )6( 22 k y k x 練習(xí)練習(xí)1.下列方程哪些表示橢圓？下列方程哪些表示橢圓？ 22 ,ba 若是若是,則判定其焦點(diǎn)在何軸？則判定其焦點(diǎn)在何軸？ 并指明并指明 ，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo). ? 兩個(gè)焦點(diǎn)分別是 (-2，0)， (2，0)， 且過點(diǎn)P 1 F 2 F ),62 , 3( 例例2、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： 法一: c=2 法二: c=2 設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為:1 2 2 2 2 b y a x 2a=P +P 2

14、 F 1 F 28優(yōu)選課堂 寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（ 0 ，-2）和（）和（ 0 ，2），并且經(jīng)），并且經(jīng) 過點(diǎn)過點(diǎn)P 解解： 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，軸上， 設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 )0(1 2 2 2 2 ba b x a y c=2，且 c2= a2 - b2 4= a2 - b2 又又橢圓經(jīng)過點(diǎn)橢圓經(jīng)過點(diǎn)P 2 5 2 3 ， 1 )()( 2 2 2 3 2 2 2 5 ba 聯(lián)立可求得：聯(lián)立可求得：6,10 22 ba 橢圓的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為標(biāo)準(zhǔn)方程為 1 610 22 xy (

15、法一法一) x y F1 F2 P 2 5 2 3 ， 29優(yōu)選課堂 (法二法二) 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的軸上，所以設(shè)它的 標(biāo)準(zhǔn)方程為標(biāo)準(zhǔn)方程為 由橢圓的定義知，由橢圓的定義知， .6410 ,2.10 ,102 10 2 1 10 2 3 )2 2 5 () 2 3 ()2 2 5 () 2 3 (2 222 2222 cab ca a 又 所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.1 610 22 xy )0(1 2 2 2 2 ba b x a y 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟： （1 1）首先要判斷焦點(diǎn)位置，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程）首先要判斷

16、焦點(diǎn)位置，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程（先（先定位） （2 2）根據(jù)橢圓定義或待定系數(shù)法求）根據(jù)橢圓定義或待定系數(shù)法求a a, ,b b （后（后定量） 30優(yōu)選課堂 1.求適合下列條件的橢圓方程 1.a a4 4，b b3 3，焦點(diǎn)在，焦點(diǎn)在x x軸上；軸上； 2.b=1， ，焦點(diǎn)在y軸上 15c 3 3、若橢圓滿足、若橢圓滿足: a: a5 , c5 , c3 , 3 , 求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。 ,10| 21 PFPF 如圖:求滿足下列條件的橢圓方程 解：橢圓具有標(biāo)準(zhǔn)方程 1 2 2 2 2 b y a x 其中 102 , 82ac 因此91625 222 cab , 5, 4ac 所求方程

17、為 1 925 22 yx 例3. 求出剛才在實(shí)驗(yàn)中畫出的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 8| 21 FF 32優(yōu)選課堂 如圖如圖,在圓在圓 上任取一上任取一 點(diǎn)點(diǎn)P，過點(diǎn)，過點(diǎn)P作作x軸的垂線段軸的垂線段PD，D為為 垂足當(dāng)點(diǎn)垂足當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段線段PD的的 中點(diǎn)中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？的軌跡是什么？為什么？ 22 4xy y x o 解：設(shè)所得曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為解：設(shè)所得曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為 （x，y）, ,圓圓 上的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（上的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），）， 由題意可得：由題意可得： 22 4xy 2 xx yy 因?yàn)橐驗(yàn)?即即 為所求軌跡方程為所求軌跡方程 所以所以

18、22 4xy 22 44xy 2 2 1 4 x y 33優(yōu)選課堂 如圖如圖,設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分 別為別為(-5,0)，(5,0)直線直線AM， BM相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是 ，求點(diǎn)的軌跡方程，求點(diǎn)的軌跡方程 4 9 x y OAB M 解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y) , 因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為(-5,0) , 所以，直線所以，直線AM的斜率的斜率(5); 5 AM y kx x 同理，直線同理，直線BM的斜率的斜率 4 (5) 559 yy x xx 由已知有由已知有 22 1(5). 100 25 9 xy x 化簡化簡,得點(diǎn)得點(diǎn)M的軌跡方程為的軌跡方程為 (5); 5 BM y kx x 34優(yōu)選課堂 練習(xí)練習(xí)3.3.已知方程已知方程