平面問題的基本理論

1、彈性力學網(wǎng)上輔導(dǎo) 3 平面問題的基本理論 一、兩類平面問題 1. 平面應(yīng)力問題。 這類問題的條件是：彈性體是多厚度的薄板 , 體力、面力和約束都只有 xy 平面內(nèi)的量， 都不沿 Z向變化；并且面力和約束只作用于板邊， 在板面上沒有任 何面力和約束的作用。 平面應(yīng)力問題特征是： 由于板面上無面力和約束作用，以及薄板很薄，可以得出（ z， zx 和 xy）=0（在平面域 A內(nèi)）。因此，只有 x，y，xy 三個平面內(nèi)的應(yīng)力分量。 由于物體形狀和外力、約束沿 z 向均不變化，因此應(yīng)力分量只是 X，y 兩 變量的函數(shù)。以后還可從物理方程得出，應(yīng)變分量也只是 X，y 的函數(shù)；而從幾 何方程積分求位移可見，

2、位移與 Z 有關(guān)。 歸納起來講，所謂平面應(yīng)力問題，就是只有平面應(yīng)力分量（ x， y 和 xy）存在，且僅為 X，y 的函數(shù)的彈性力學問題。例如，厚度較薄的淺梁和深梁， 受上部荷載及自重的墻， 以及有分縫的重力壩等， 都屬于平面應(yīng)力問題， 凡是符 合上述這兩點的問題，均屬于平面應(yīng)力問題。 2. 平面應(yīng)變問題 這類問題的條件是： 彈性體為常截面的很長柱體， 體力、 面力和約束條件與 平面應(yīng)力問題相似，只有 xy 平面內(nèi)的體力、面力和約束的作用，且都不沿 z 向 變化。這個問題可以簡化為平面應(yīng)變問題。 平面應(yīng)變問題特征是： 假想柱體為無限長時，則任一截面（ z 面）都是對稱面，于是 =0，只有 平面

3、位移分量 u 和 v 存在，因此，此問題可稱為平面位移問題； 同樣由于對稱性， z =0和zx，zy=0（相應(yīng)的 zx，和zy=0），只有平面應(yīng)變分量 x ， y, xy 存在，所以此問題又稱為平面應(yīng)變問題。 由于截面形狀、體力、面力及約束沿 z 向均不變，因此，它們只是 X，y 的函數(shù)。 由此可見，所謂平面應(yīng)變問題，就是只有平面應(yīng)變分量（ z ， y 和 xy ，）存在，且僅為 x，y 的函數(shù)的彈性力學問題。進而可認為，凡是符合這兩點 的問題，也都屬于平面應(yīng)變問題。 二、平衡微分方程 平衡微分方程表示區(qū)域內(nèi)任一點（ x，y）的微分體的平衡條件。當物體處于 靜止或勻速直線運動時， 作用于整個物

4、體， 任一有限部分和任一微分體上的力都 應(yīng)該是平衡的。 平面問題應(yīng)有三個平衡條件，即 Mc=0， Fx=0 和 Fy 0，由此得出平衡微分方程 對于上述平衡微分方程，我們應(yīng)強調(diào)說明幾點： 1平衡微分方程表示任一點（ x ，y）的平衡條件，（ x ，y）屬于平面域 A，以也代表 A 中所有點的平衡條件。 2公式（22）第一式中所有的各項都是 x向的力，第二式均是 y 向的力。 3在導(dǎo)出平衡微分方程時，應(yīng)用了兩個基本假定：一是連續(xù)性假定，由此， 應(yīng)力等可以用連續(xù)函數(shù)來表示。 二是小變形假定， 我們可以用變形前的微分體尺 寸代替變形后的尺寸。 4對于平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題，平衡微分方程相同。 我

5、們再比較一下幾門力學是如何考慮平衡條件的：理論力學考慮整體的平 衡，只能用來確定物體是運動還是靜止的狀態(tài)； 材料力學考慮的是有限部分的平 衡；而彈性力學考慮的是微分體的平衡。我們可以看出：每一個微分體的平衡， 必然保證有限部分和整體的平衡， 而反之則不成立。 因此， 彈性力學對平衡條件 的考慮是嚴格和精確的。 三、幾何方程 幾何方程表示任一點的微分線段上形變分量與位移分量之間的關(guān)系式。 注意 幾何方程也是從微分角度導(dǎo)出的，因為這樣導(dǎo)出的結(jié)果才是精確的。 在導(dǎo)出公式時， 我們同樣應(yīng)用了兩個基本假定連續(xù)性和小變形假定。 幾 何方程適用的條件，同平衡微分方程一樣，只要滿足連續(xù)性和小變形假定就行。 所

6、以，平衡微分方程和幾何方程適用的范圍比較廣。 四、物理方程 物理方程表示應(yīng)力分量和形變分量之間的物理關(guān)系式。 在理想彈性體 （滿足 連續(xù)性、完全彈性、均勻性和各向同性）的條件下，物理方程就是材料力學中學 過的胡克定律表達式， 其中包含兩個獨立的彈性常數(shù)。 胡克定律不是從理論上導(dǎo) 出的，而是通過試驗總結(jié)出來的規(guī)律。 其中正應(yīng)力只與線應(yīng)變有關(guān)， 切應(yīng)力只與 切應(yīng)變有關(guān)。 從宏觀試驗得出的物理方程， 當然可以用于微分體上的應(yīng)力和應(yīng)變 之間的關(guān)系。 物理方程有兩種形式： 1x（ ），此式是應(yīng)變用應(yīng)力表示，其中應(yīng)力取為基本未知函數(shù)， 用于按應(yīng)力求解。 2、f （），此式是應(yīng)力用應(yīng)變表示，而應(yīng)變又可以通過

7、幾何方程用位 移表示，因此用于按位移求解。 五、邊界條件 邊界條件表示在邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。 位移邊界條件 : 一般地講，約束位移分量沿 s上各點不一定相同， 是 s 的函數(shù)。上式要求在 s 上任一點，位移分量必須等于對應(yīng)的約束位移分量，這就是彈性力學中的位移 邊界條件。 應(yīng)力邊界條件是： 對于應(yīng)力邊界條件，需強調(diào)幾點； 1應(yīng)力邊界條件表示邊界 S 上任一點的應(yīng)力和面力之間的關(guān)系式，在 S 上每一點都應(yīng)滿足。 2邊界條件只能應(yīng)用于邊界上，因此，必須將邊界線 s 的方程代入應(yīng)力邊 界條件的表達式中。 3注意中應(yīng)力邊界條件的表達式中面力、應(yīng)力都有不同的正負符號規(guī)定， 且分別

8、作用于通過邊界點的不同的面上。 對于應(yīng)力邊界條件，我們可以采用兩種表達方式： 1在邊界點取出一個微分體，考慮其平衡條件，便可得出應(yīng)力邊界條件的 表達式。 2在同一邊界面上，應(yīng)力分量應(yīng)等于對應(yīng)的面力分量（數(shù)值相同，方向一 致）。由于面力的數(shù)值和方向是給定的，因此，在同一邊界面上，應(yīng)力的數(shù)值應(yīng) 等于對應(yīng)的面力的數(shù)值，而面力的方向就是應(yīng)力的方向。 六、按位移求解平面問題 平面問題中共有 8 個未知函數(shù)（ 3個應(yīng)力分量， 3 個形變分量和 2 個位移分 量），它們必須滿足區(qū)域 A 內(nèi)的平衡微分方程、幾何方程和物理方程，以及在邊 界上的應(yīng)力或位移邊界條件。為了求解方便，可以采用消元法進行求解。 位移法（

9、按位移求解的方法） ： 是取位移分量為基本本知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去應(yīng)力和形變分量， 導(dǎo)出只含位移分量的方程和邊界條件。 并由此解出位移分量， 再求出形變分量和 應(yīng)力分量。 平面應(yīng)力問題按位移求解的方法，就是要使位移分量 u，v 滿足區(qū)域 A 內(nèi) 的平衡微分方程， 并在邊界上滿足 S上應(yīng)力邊界條件和 Su 上的位移邊界條件。 求出位移分量后，可求出形變分量和應(yīng)力分量。 七、按應(yīng)力求解平面問題 應(yīng)力法（按應(yīng)力求解的方法） 是取應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)， 從方程和邊 界條件中消去位移和形變分量， 導(dǎo)出只含應(yīng)力分量的方程和邊界條件， 并由此解 出應(yīng)力分量，再求出形變分量和位移分量。 按應(yīng)力來解平

10、面應(yīng)力問題時，應(yīng)力分量 x，y 和 xy 必須滿足下列條件： 1在區(qū)域 A 內(nèi)的平衡微分方程。 2在區(qū)域 A 內(nèi)的相容方程。 3在邊界上的應(yīng)力邊界條件， 其中假設(shè)只求解全部為應(yīng)力邊界條件的問題。 4對于多連體，還須考慮位移的單值條件。 八、常體力情況下的簡化 在常體力情況下， 按應(yīng)力求解可進一步簡化為按應(yīng)力函數(shù) 求解。 必須滿 足下列全部條件： （1）相容方程 4 = 0 。 （2）應(yīng)力邊界條件（假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件， S=S） （3）若為多連體，還須滿足位移單值條件。 求出應(yīng)力函數(shù) 后，便可以求出應(yīng)力分量。 例 1：試考慮下列平面問題的應(yīng)變分量有否可能存在， （ a） x Axy, y By , xy C Dy 22 （b） x Ay2 , y Bxy2, xy Cxy （ C） xy 0, xy Cxy 解： 不計體 例 2 ：如圖所示矩形截面的柱體受到頂部的集中力和力矩的作用， 力，試用應(yīng)力函數(shù) Ay2+Bxy+Cxy 3+Dy 3 求解其應(yīng)力分量。 (3分) (3分) 應(yīng)用上述應(yīng)力函數(shù)求解： (1) 代入相容方程，V40 = O,滿足。 (2) 求應(yīng)力分