不定積分的概念及其性質(zhì)

1、第一節(jié)不定積分的概念及其性質(zhì)教學(xué)目的：使學(xué)生掌握原函數(shù)與不定積分的概念及性質(zhì)基本積分公式.教學(xué)重點(diǎn)：基本積分公式的推導(dǎo)及應(yīng)用 .教學(xué)過程：一、原函數(shù)與不定積分的概念定義1如果在區(qū)間I上可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x) 即對(duì)任一 xT 都有F (x) =f(x)或 dF(x) =f(x)dx那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的原函數(shù)例如 因?yàn)?sin x)比os x 所以sin x是cos x的原函數(shù)原函數(shù)存在定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I丄連續(xù)那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)又如當(dāng)x (1:)時(shí)因?yàn)?“叮X提問：所以x是2；x的原函數(shù)cos x 和21x還有其它原函數(shù)嗎?F(

2、x) 使對(duì)任一 x T都有F (x) =f(x)簡單地說就是連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)兩點(diǎn)說明第_如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有原函數(shù)F(x) 那么f(x)就有無限多個(gè)原函數(shù)F(x) C都是f(x)的原函數(shù)其中C是任意常數(shù)第二f(x)的任意兩個(gè)原函數(shù)之間只羞一個(gè)常數(shù) 即如果(X)和F(x)都是f(x) 的原函數(shù)則G(x)_F(x) (C為某個(gè)常數(shù))定義2在區(qū)間I上 函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為f(x)(或f(x)dx ) 在區(qū)間I上的不定積分 記作f(x)dx其中記號(hào)稱為積分號(hào)f(x)稱為被積函數(shù)f(x)dx稱為披積表達(dá)式x稱為積分變量根據(jù)定義 如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的個(gè)原函數(shù)

3、那么F(x) C就是f(x) 的不定積分即f (x)dx = F(x) C因而不定積分f(x)dx可以表示f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)因?yàn)閟in x是cos x的原函數(shù) 所以因?yàn)槭?.1x的駆數(shù)所以例2.求函數(shù)f(x)二丄的不定積分Xdx =lnx C (x0)X當(dāng) x0 時(shí) ln( X) =(-i)=-XX-dx =ln(丄)C (x0)X合并上面兩式 得到Idx =ln |x| C (x10)x例3設(shè)曲線通過點(diǎn)(12)且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍求此曲線的方程解 設(shè)所求的曲線方程為y斗(x) 按題設(shè)曲線上任一點(diǎn)(xy)處的切線斜率為 y f (x) =2x,J即f(x)是2x的

4、個(gè)原函數(shù)因?yàn)?2xd xx2 C故必有某個(gè)常數(shù)C使f(x)伙2 C 即曲線方程為y=x 2 C因所求曲線通過點(diǎn)(12) 故2=1 C C=1于是所求曲線方程為yx2積分曲線 函數(shù)f(x)的原函數(shù)的圖形稱為f(x)的積分曲線從不定積分的定義即可知下述關(guān)系乎f(x)dx=f(x)dx或d f (x)dx二 f (x)dx又由于F(x)是F (x)的原函數(shù) 所以F (x)dx=F(x) C或記作 dF(x) =F(x) C由此可見微分運(yùn)算(以記號(hào)d表示與求不定積分的運(yùn)算(簡稱積分運(yùn)算以記號(hào)表示)是互逆的當(dāng)記號(hào)與d連在一丘時(shí)或者抵消或者抵消后差個(gè)常數(shù)、基本積分表(1) kdx 二kx C(k 是常數(shù))

5、(3) -dx =ln |x| Cax(5) axdx - CJ In a(7) sinxdx 二-cosx C(2) “dx=土X)1 C(4) exdx=ex C(6) cosxdx =sin x Cdx =arcta nx 亠C(8) dx 二 sec2 xdx 二 tan x C ，cos2x(9) dx = csc2 xdx = -cot x C sin 2x(11) J dx =arcsinx +C(12) secxtanxdx 二secx C(13) cscxcotdx - -cscx C例 三十- .占dx= x：dx 二才xxd：xdx 二寧 C =-3x C 二 _3 三、

6、不定積分的性質(zhì) C-右 C=-2 x3、x C57xSxdx= x2dxx空 C = x2 C5 41性質(zhì)1函數(shù)的和的不定積分等各個(gè)函數(shù)的不定積分的和即33x C2這是因?yàn)?f (x)dx 亠 ig(x)dx = f(x)dx g(x)dx =f(x) g (x).性質(zhì)2 求不定積分時(shí)被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面來即kf(x)dx =k f (x)dx(k 是常數(shù) k 10)5 丄例 7.! ：,;：x(x2 -5)dx 二(x至-5x)dx522=x2dx 5xdx = xdx-5 xdx73Zx2 -5 ?x2 C73例8冒dx=&_3丄4皿x2x2x x2=xdx-3 dx 3 dx一- dxx23x 31 n|x| 1 Cx x 2x例 9(ex3cosx)dx = exdx3 cosxdx =ex _3sinx C例 102xexdx = (2e)xdx 二CCln (2e)1 l n2例 11Tdxn .x,1(宀x(1 +x )x(1 +x )1 +xx11dxdx=arctanx in|x| C .1 x2x例 12 羊 dx=Tldx = jS/dx1+x21+x21+x2= .(x2-1 七)dx= x2dx- dx +dx=丄疋-x a r c t a nC3例 13tan 2xdx = (sec2 x-1)