正方形的性質(zhì)與判定課件[向陽(yáng)教學(xué)]

1、 四邊形四邊形 兩組對(duì)邊分別平行兩組對(duì)邊分別平行 平行四邊形平行四邊形 矩矩 形形 菱菱 形形 一角為一角為9090 一組鄰邊相等一組鄰邊相等 1基礎(chǔ)教學(xué) 你覺(jué)得什么樣的四你覺(jué)得什么樣的四 邊形是正方形呢邊形是正方形呢? ? 2基礎(chǔ)教學(xué) 矩矩 形形正方形 矩形怎樣變化后就成了正方形呢矩形怎樣變化后就成了正方形呢? 探究（一）探究（一） 3基礎(chǔ)教學(xué) 2 2、要使一個(gè)矩形成為正方形需、要使一個(gè)矩形成為正方形需 添加的條件是添加的條件是 （填上一個(gè)條件即可）（填上一個(gè)條件即可） 有一組鄰邊相等 4基礎(chǔ)教學(xué) 菱形怎樣變化后就成了正方形呢菱形怎樣變化后就成了正方形呢? 正方形正方形 5基礎(chǔ)教學(xué) 1 1、

2、要使一個(gè)菱形成為正方形需、要使一個(gè)菱形成為正方形需 增加的條件是增加的條件是 （填上一個(gè)條件即可）（填上一個(gè)條件即可） 有一個(gè)角是直角 6基礎(chǔ)教學(xué) 探究小結(jié)探究小結(jié) 矩 形 正方形 鄰邊鄰邊相等相等 發(fā)現(xiàn)：發(fā)現(xiàn)： 一組鄰邊相等的矩形一組鄰邊相等的矩形 叫正方形叫正方形 菱菱 形形 一個(gè)角一個(gè)角是直角是直角 正方形 發(fā)現(xiàn)：發(fā)現(xiàn)： 一個(gè)角為直角的菱形叫一個(gè)角為直角的菱形叫 正方形正方形 正方形定義正方形定義 有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形 討論總結(jié)討論總結(jié):正方形有那些性質(zhì)正方形有那些性質(zhì)? 7基礎(chǔ)教學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一： n正方形

3、的性質(zhì) 8基礎(chǔ)教學(xué) 觀察思考：正方形是中心對(duì)稱圖形嗎觀察思考：正方形是中心對(duì)稱圖形嗎? 9基礎(chǔ)教學(xué) 性性 質(zhì)質(zhì) 邊邊角角對(duì)角線對(duì)角線 對(duì)稱性對(duì)稱性 圖圖 形形 語(yǔ)語(yǔ) 言言 文文 字字 語(yǔ)語(yǔ) 言言 符符 號(hào)號(hào) 語(yǔ)語(yǔ) 言言 A C D B A C D B A C D B O 對(duì)邊平行，對(duì)邊平行， 四條四條邊都邊都 相等相等 四四 個(gè)個(gè) 角角 都是直角都是直角 對(duì)角線互相垂直對(duì)角線互相垂直 平分且相等，每平分且相等，每 條對(duì)角線平分一條對(duì)角線平分一 組對(duì)角組對(duì)角 四邊形四邊形ABCD 是正方形是正方形 ABCD ADBC, AB=BC=CD=AD 四邊形四邊形ABCD 是正方形是正方形 A=B=C

4、=D=90 四邊形四邊形ABCD是正是正 方形方形 ACBD,AC=BD, OA=OB=OC=OD 軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形 中心對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形 10基礎(chǔ)教學(xué) 二、二、 正正 方方 形形 的的 性性 質(zhì)質(zhì) 的的 應(yīng)應(yīng) 用用 例例1 1、如圖，正方形、如圖，正方形ABCDABCD中，中， （1 1）一條對(duì)角線把它分成）一條對(duì)角線把它分成 個(gè)全等的三個(gè)全等的三 角形。角形。 問(wèn)：這些三角形是什么三角形？問(wèn)：這些三角形是什么三角形？ （2 2）兩條對(duì)角線把）兩條對(duì)角線把 它分成它分成 個(gè)全等的個(gè)全等的 三角形。三角形。 2 4 等腰直角等腰直角 AB D C O （3 3）對(duì)角線）對(duì)角線ACAC與

5、正與正 方形的一邊所成的角方形的一邊所成的角 為為 度。度。45 11基礎(chǔ)教學(xué) 例例2、如圖，正方形、如圖，正方形ABCD中，中， A B DC O 正方形的面積為正方形的面積為64平方厘米，則平方厘米，則 正方形對(duì)角線正方形對(duì)角線AC= 。 82 cm 12基礎(chǔ)教學(xué) 1.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（ ） A.對(duì)角線互相垂直 B.對(duì)角線互相平分 C.對(duì)角線相等 D.對(duì)角線平分一組對(duì)角 C 2.2.已知正方形的一條邊長(zhǎng)為已知正方形的一條邊長(zhǎng)為2cm,2cm,則這個(gè)正方形的則這個(gè)正方形的 周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為 , ,對(duì)角線長(zhǎng)為對(duì)角線長(zhǎng)為 , ,面積為面積為 . . 8cm cm22 3.3.正方形

6、的對(duì)角線和它的邊所成的角是正方形的對(duì)角線和它的邊所成的角是 度度. . 45 4.4.已知正方形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為已知正方形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為4cm,4cm,則它的邊長(zhǎng)則它的邊長(zhǎng) 為為 ， 面積為面積為 。cm22 5.5.已知正方形已知正方形ABCDABCD中中, ,對(duì)角線對(duì)角線AC=10cm,PAC=10cm,P為為ABAB上任意一上任意一 點(diǎn)點(diǎn),PEAC,PFBD,E,PEAC,PFBD,E、F F為垂足為垂足, ,則則PE+PF=PE+PF= 。 5cm 2 4cm 2 8cm A B C D F P E O 13基礎(chǔ)教學(xué) 求證求證: 正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等正方形的兩條

7、對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等 的等腰直角三角形的等腰直角三角形. AD CB O 已知已知:如圖如圖,四邊形四邊形ABCD是正方形是正方形, 對(duì)對(duì) 角線角線AC、BD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O. 求證求證:ABO、 BCO、 CDO、 DAO是全等的等腰直角三角形是全等的等腰直角三角形. 證明證明: 四邊形四邊形ABCD是正方形是正方形, ACBD, 即即 AOB=BOC=COD=DOA=90 AO=BO=CO=DO. ABO、 BCO、 CDO、 DAO都是等都是等 腰直角三角形腰直角三角形,并且并且 ABO BCO CDO DAO(SAS) 14基礎(chǔ)教學(xué) AD C B O 正方形對(duì)角線把正方形分

8、成多少個(gè)等腰直角三角形？正方形對(duì)角線把正方形分成多少個(gè)等腰直角三角形？ 拓展討論拓展討論: 結(jié)論：結(jié)論： 分成八個(gè)等腰直角三角形，分別是分成八個(gè)等腰直角三角形，分別是ABC、 ADC、 ABD、 BCD ； AOB、 BOC、 COD、 DOA. 15基礎(chǔ)教學(xué) 平行四邊形平行四邊形 矩矩 形形 菱菱 形形 正正 方方 形形 正方形、矩形、菱形、平行四邊形四者之間有什么關(guān)系？正方形、矩形、菱形、平行四邊形四者之間有什么關(guān)系？ 16基礎(chǔ)教學(xué) 對(duì)邊平行且相等對(duì)邊平行且相等 每條對(duì)角線平分每條對(duì)角線平分 一組對(duì)角一組對(duì)角 對(duì)角線相等對(duì)角線相等 對(duì)角線互相垂直對(duì)角線互相垂直 對(duì)角線互相平分對(duì)角線互相平分

9、 四個(gè)角都是直角四個(gè)角都是直角 對(duì)角相等對(duì)角相等 四條邊都相等四條邊都相等 性質(zhì)性質(zhì) 正方形正方形菱形菱形矩形矩形 平行四平行四 邊形邊形 圖形圖形 小結(jié)小結(jié) 17基礎(chǔ)教學(xué) 知識(shí)拓展知識(shí)拓展:與同學(xué)討論后填寫(xiě)下表：與同學(xué)討論后填寫(xiě)下表： 邊邊角角對(duì)對(duì) 角角 線線對(duì)對(duì) 稱稱 性性 平平 行行 四邊形四邊形 矩矩 形形 菱菱 形形 正方形正方形 幾種特殊四邊形的性質(zhì)幾種特殊四邊形的性質(zhì) 對(duì)邊平行對(duì)邊平行 且相等且相等 對(duì)邊平行對(duì)邊平行 且相等且相等 對(duì)邊平行，對(duì)邊平行， 四邊都相四邊都相 等等 對(duì)邊平行，對(duì)邊平行， 四條邊四條邊 都相等都相等 對(duì)角相等，對(duì)角相等， 鄰角互補(bǔ)鄰角互補(bǔ) 四個(gè)角四個(gè)角

10、都是直角都是直角 對(duì)角相等，對(duì)角相等， 鄰角互補(bǔ)鄰角互補(bǔ) 四個(gè)角四個(gè)角 都是直角都是直角 對(duì)角線互相平分對(duì)角線互相平分 對(duì)角線相等對(duì)角線相等 且互相平分且互相平分 對(duì)角線互相垂直對(duì)角線互相垂直 平分，每條對(duì)角平分，每條對(duì)角 線平分一組對(duì)角線平分一組對(duì)角 對(duì)角線互相垂直平對(duì)角線互相垂直平 分且相等，每條對(duì)分且相等，每條對(duì) 角線平分一組對(duì)角角線平分一組對(duì)角 中心對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形 軸對(duì)稱圖形、軸對(duì)稱圖形、 中心對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形 軸對(duì)稱圖形、軸對(duì)稱圖形、 中心對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形 軸對(duì)稱圖形、軸對(duì)稱圖形、 中心對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形 18基礎(chǔ)教學(xué) 知識(shí)點(diǎn)二： n正方形的判定 19基礎(chǔ)教學(xué) 正方形

11、正方形 矩形矩形 有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等 菱形菱形 有一個(gè)角是直角有一個(gè)角是直角 有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等 有一個(gè)角是直角有一個(gè)角是直角 平行四邊形平行四邊形 有一個(gè)角是直角有一個(gè)角是直角 有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等 圖形之間的變化關(guān)系圖形之間的變化關(guān)系 20基礎(chǔ)教學(xué) 正方形的判定方法： n2、有一組鄰邊相等的矩形是正方形 n3、有一個(gè)角是直角的菱形是正方形 n1、一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行 四邊形是正方形 （對(duì)角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形） 21基礎(chǔ)教學(xué) 鞏固練習(xí)：判斷下列命題是否正確，不是正 方形的補(bǔ)充什么條件能讓它成為正方形？ n四個(gè)角都相等的四邊形是正方形

12、；四個(gè)角都相等的四邊形是正方形； ( ) n四條邊都相等的四邊形是正方形；四條邊都相等的四邊形是正方形； ( ) n對(duì)角線相等的菱形是正方形；對(duì)角線相等的菱形是正方形； ( ) n對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形；對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形； ( ) n對(duì)角線垂直且相等的四邊形是正方形對(duì)角線垂直且相等的四邊形是正方形; ( ) n四邊相等，有一個(gè)角是直角的四邊形四邊相等，有一個(gè)角是直角的四邊形 是正方形是正方形. ( ) 22基礎(chǔ)教學(xué) 已知已知: :正方形正方形ABCDABCD中中, ,點(diǎn)點(diǎn)E E、F F、G G 、H H分別在分別在 AB AB 、BC BC 、CD CD 、DADA上上, ,

13、且且AE=BF=CG=DH,AE=BF=CG=DH,試判試判 斷四邊形斷四邊形EFGHEFGH是正方形嗎是正方形嗎? ?為什么為什么? ? 1 2 3 證明：證明： 四邊形四邊形ABCD是正方形是正方形 ABC=BCD=90； AB=AD=DC=BC （正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角）（正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角） 又又 AE=BF=CG=DH AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF 即即BE=AH=DG=CF AEH BFE CGF DHG EH=EF=FG=GH 四邊形EFGH是菱形 又又 3+2=90且且 13 1+2=90 EFG=90 四邊形四邊形EFGH是正

14、方形（有一個(gè)角是直角的是正方形（有一個(gè)角是直角的 菱形是矩形）菱形是矩形） 23基礎(chǔ)教學(xué) 練習(xí)練習(xí). .如圖，四邊形是正如圖，四邊形是正 方形，、分別是四方形，、分別是四 邊的中點(diǎn)。你知道四邊形邊的中點(diǎn)。你知道四邊形EFGHEFGH的的 形狀嗎？為什么？形狀嗎？為什么？ 24基礎(chǔ)教學(xué) 2.已知已知:如圖如圖,ABC中中.ABC=90,BD是角是角 平分線平分線,DEAB,DFBC,垂足分別是垂足分別是E、F. F A B C D E 試說(shuō)明：四邊形試說(shuō)明：四邊形DEBF是正方形是正方形. 解解: DFBC,DEAB, DEB= DFB=90, 又又 ABC=90, 四邊形四邊形DEBF是矩形是

15、矩形 BD平分平分ABC, DFBC , DEAB, DE= DF 四邊形四邊形DEBF是正方形是正方形 25基礎(chǔ)教學(xué) n如圖，在矩形中，四個(gè)如圖，在矩形中，四個(gè) 角的平分線相交于點(diǎn)、角的平分線相交于點(diǎn)、 ，試說(shuō)明四邊形，試說(shuō)明四邊形EFGH是正方是正方 形。形。 26基礎(chǔ)教學(xué) 小結(jié)小結(jié) 1、正方形定、正方形定 義義 有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形 2、正方形有那些性質(zhì)、正方形有那些性質(zhì) 對(duì)邊平行，四條邊都相等對(duì)邊平行，四條邊都相等 四個(gè)角都是直角四個(gè)角都是直角 對(duì)角線互相垂直平分且相等，對(duì)角線互相垂直平分且相等， 每條

16、對(duì)角線平分一組對(duì)角等于每條對(duì)角線平分一組對(duì)角等于45 邊：邊： 角：角： 對(duì)角線：對(duì)角線： 3、正方形有那些判定方法（請(qǐng)各同學(xué)根、正方形有那些判定方法（請(qǐng)各同學(xué)根 據(jù)自己的實(shí)際具體分類）據(jù)自己的實(shí)際具體分類） 27基礎(chǔ)教學(xué) 正方形的判定方法： n2、有一組鄰邊相等的矩形是正方形 n3、有一個(gè)角是直角的菱形是正方形 n1、一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行 四邊形是正方形 （對(duì)角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形） 28基礎(chǔ)教學(xué) 例：正方形例：正方形ABCD中中DAF=25,AF交對(duì)交對(duì) 角線角線BD于于E,交交CD于于F,求求 BEC的度數(shù)的度數(shù). A B C D E F 若若FEC=30則

17、則DAF= 25 30 29基礎(chǔ)教學(xué) 例例3已知：如圖已知：如圖(4)在正方形在正方形ABCD中，中，F(xiàn)為為CD延長(zhǎng)線延長(zhǎng)線 上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，CEAF于于E，交，交AD于于M， 求證：求證：MFD45 分析：分析： 欲證欲證MFD45，由于，由于 MDF是直角三角形是直角三角形,只須證只須證 MDF是等腰三角形是等腰三角形,即只要證即只要證 _=_ 要證要證MDFD，大家只須證得哪兩個(gè)三角形全等，大家只須證得哪兩個(gè)三角形全等? CMD ADF 30基礎(chǔ)教學(xué) 練習(xí)練習(xí)如圖如圖(5)，在，在AB上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)C，以，以 AC、BC為正方形的一邊在同一側(cè)作正為正方形的一邊在同一側(cè)作正 方形方形AE

18、DC和和BCFG連結(jié)連結(jié)AF、BD延長(zhǎng)延長(zhǎng) BD交交AF于于H。 求證：求證：(1) ACF DCB (2) BHAF 證明：證明： 31基礎(chǔ)教學(xué) 如圖，已知四邊形ABCD和四邊形DEFG是正方形，那 么線段AE和CG有什么大小關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由。 A E F G D C B 1 2 3 32基礎(chǔ)教學(xué) 例題賞析例題賞析 在正方形在正方形ABCDABCD中中,AC,AC是對(duì)角線是對(duì)角線,AE,AE平分平分 BAC,BAC,試猜想試猜想ABAB、BE BE 、ACAC之間的大小關(guān)之間的大小關(guān) 系，并證明你的猜想系，并證明你的猜想 G F E DA B C 33基礎(chǔ)教學(xué) 例例2如圖如圖(3)，正方形，正方形ABCD中，中，AC、BD相交于相交于O， 分析：分析：要證明要證明BMCN， MNAB且且MN分別交分