6有限群的分類

1、9有限群的分類1 凱萊定理:設(shè)G是階群，則G定與對稱群S “的某個子群同構(gòu)。凱萊定理表明，理論上講，研究有限群只需把對稱群S”研究透 就夠了，但由于S”的階數(shù)（川）非常大，很難找出G具體與S”的哪 個子群同構(gòu)。實際當(dāng)中采用具體研究的方式。，2。群的直和分解概念定義 設(shè)仏冷,M是群g的正規(guī)子群。如果VxeG,都存在唯 一的禺丘/,使得心牡乙；同時當(dāng)丿時，M中的元素與V 中的元素可交換，則稱G為,矚,的直和，記為G三N、M例如，以克萊茵四元群為例， =,Q,C,取Ni=e,a, N2=e,b,則 NN2K4,且有e = ee,eeNl,eEN2,a = ae,a eNee N“b = eb,eeN

2、rbeN2,c = ab,a w Nbw N“從而根據(jù)定義有 三他再比如，6 階循環(huán)群G = e,a9a2,aa4,a5 , a6 = e o 取N、= e,cr = , N?= e,a2,a4 = ,則不難驗證有 G = N&N?。3 有限群的結(jié)構(gòu)定理群的分類思想就是把復(fù)雜的群分解成簡單的、結(jié)構(gòu)完全已知的 群的直和，而循環(huán)群的結(jié)構(gòu)最簡單、完全清楚，因此，總是將 一般的群分解成循環(huán)群的直和。以下將刃階循環(huán)群記為c”。 情形仁有限|交換群|的情形定理1 每個有限交換群都同構(gòu)于一些循環(huán)群的直和,這些循 環(huán)群的階數(shù)分別為加加2,，叫,滿足“ I，加2 I加3ms- 1 ms ,即G三J仏軋。通常稱叫

3、叫，叫為G的不變因子(Invar iant factors)。定理2 設(shè)正整數(shù)m =-P?,其中P,卩2,，Pt為互不相同的 素數(shù)，坷0,則C Pl1(即循環(huán)群還可以進(jìn)一步分解為更小的循環(huán)群的直和)結(jié)合定理1和定理2得定理3任何有限交換群都可以寫成一些有限循環(huán)群的直和， 其中每個循環(huán)群的階都是素數(shù)的方幕。定理4素幕階循環(huán)群Z“”不可能再分解成階數(shù)更小的循環(huán)群 的直和。定理5若加與斤互素，則qc”三c和。將，加2，.,加$在整數(shù)范圍內(nèi)作因式分解，由于V“ 1加2，加21，, /n5_! Ims,因此,加2,，冬必有相同的素因子，把它們按從高到低的次序 排列如下：加I =沖礙沖,加2 =片冶淖，叫

4、= pFp齊P；，其中有些知可以為0,且Sy稱以上分解出的 真因子p?(叫j h0)都叫g(shù)的一個初等因子(e I ementary factor).定理1, 2, 3可以簡寫成形式G三屹三屹C/=1 /=1 ;=1 例1 確定所有4階和6階交換群。Mo (1) n = 4 = 2x2 = 2 全部初等因子組為2, 2, 22, 因此只有兩種4階交換群：C?q, C4o其中C?G就是克萊茵四元群心(見前面例子)。(2)比= 6 = 2x3,初等因子組只有2, 3,因此6階交換群只有一個：C3 = C6 o但要注意，這里給出的僅僅是交換群的情形，還有6階非交 換群存在：“。例2列出所有1500階的

5、有限交換群蟹。n = 15OO = 22x3x53,全部初等因子組為 22,3,5,5,5,才,3,5,寧,(22,3,532,2,3,5,5,5 ,2,2,3,5,52 ,2,2,3,5* ,因此共有6種1500階的交換群，分別為G, = C4 C3 G C5 C5,G2 = C4 C3 g C25,G3 = C4 C3 G25,G4 = C?C? C3 C5 C5 C5,Gs = C2 C? C3 G G& = G CP5.注意：利用定理5可以將gg2,g3,g4,g5,g6重新改寫成G = C5 G 60，G = GsOO，G4=C5 Go C30 ,q o若q不整除p-，則G三Zpq

6、;若qlp-1,則G同構(gòu)于由C和生成的非交換群：cf，= , （lq = e,de = csd其中，P不整除s 1,pl（，-l）。例子：15=5x3, P=5,q = 3, q不整除p-1,所以15階的群只有 循環(huán)群久。推論設(shè)是奇素數(shù)，則2“階的群要么是循環(huán)群務(wù)，要么是正 邊形的對稱群Dp o例如，6 = 2x3階群只有C&和/= S3）；10 = 2x5階群只有q和比；14 = 2x7階群只有5和D?。定理68階非交換群只有兩個：一個是正四邊形的對稱群Q；另一個是四元數(shù)群2定理712階非交換群有三個：一個是正六邊形的對稱群Q；一個是交錯群州；一個是由兩個元素心生成的群，記為b Cl,ba = ab = crb.總結(jié)：15及15階以下交換和非交換群列表n群個數(shù)1e1?2c213C14C2c29 c425G16c6, 0（即,非交換）27G18c2c2c?,c?c“ c8,d4, 2（非交換）59G c3 f c9210C1O, d5 （非交換）211q112Gg,c12,a4, 2,蘭（非交換）5135114c14, $ （非交換）21551當(dāng)X16時，共