線性二次型最優(yōu)控制器設(shè)計(jì) 文檔

1、線性二次型最優(yōu)控制器設(shè)計(jì),講解人：胡玲笑,線性二次型最優(yōu)控制器設(shè)計(jì),本節(jié)主要內(nèi)容：,?,線性二次型最優(yōu)控制器概述,?,連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制,?,離散系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制,?,線性二次型,Gauss,最優(yōu)控制,應(yīng)用經(jīng)典控制理論設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)，能夠解決很,多簡(jiǎn)單、確定系統(tǒng)的實(shí)際設(shè)計(jì)問題。但是對(duì)于諸多,新型而復(fù)雜的控制系統(tǒng)，例如多輸入多輸出系統(tǒng)與,階次較高的系統(tǒng)，往往得不到滿意的結(jié)果。這時(shí)就,需要有在狀態(tài)空間模型下建立的最優(yōu)控制策略。,最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制理論的核心。所謂最優(yōu)控,制，就是在一定條件下，在完成所要求的控制任務(wù),時(shí)，使系統(tǒng)的某種性能指標(biāo)具有最優(yōu)值。根據(jù)系統(tǒng),不同的用途，可提出各種不用

2、的性能指標(biāo)。最優(yōu)控,制的設(shè)計(jì)，就是選擇最優(yōu)控制，以使某一種性能指,標(biāo)為最小。,一、線性二次型最優(yōu)控制概述,線性二次型最優(yōu)控制設(shè)計(jì)是基于狀態(tài)空間技術(shù)來,設(shè)計(jì)一個(gè)優(yōu)化的動(dòng)態(tài)控制器。系統(tǒng)模型是用狀態(tài)空間,形式給出的線性系統(tǒng)，其目標(biāo)函數(shù)是狀態(tài)和控制輸入,的二次型函數(shù)。二次型問題就是在線性系統(tǒng)約束條件,下選擇控制輸入使二次型目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小。,線性二次型最優(yōu)控制一般包括兩個(gè)方面：線性二,次型最優(yōu)控制問題（,LQ,問題），具有狀態(tài)反饋的線,性最優(yōu)控制系統(tǒng)；線性二次型,Gauss,最優(yōu)控制問題，,一般是針對(duì)具體系統(tǒng)噪聲和量測(cè)噪聲的系統(tǒng)，用卡爾,曼濾波器觀測(cè)系統(tǒng)狀態(tài)。,二、連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制,1.,連

3、續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制原理,假設(shè)線性連續(xù)定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：,要尋求控制向量,使得二次型目標(biāo)函數(shù),為最小。式中，,Q,為半正定是對(duì)稱常數(shù)矩陣，,R,為正定實(shí)對(duì)稱常數(shù)矩陣，,Q,、,R,分別為,X,和,U,的加權(quán)矩陣。,(,),t,u,?,(),(),(),xt,A,xt,B,ut,?,?,?,0,1,(,),2,T,T,J,Q,x,R,ud,t,x,u,?,?,?,?,根據(jù)極值原理，我們可以導(dǎo)出最優(yōu)控制律：,式中，,K,為最優(yōu)反饋增益矩陣；,P,為常值正定矩陣，必須,滿足黎卡夫（,Riccati,）代數(shù)方程,因此，系統(tǒng)設(shè)計(jì)歸結(jié)于求解黎卡夫（,Riccati,）方程的問題，并,求出反饋增益矩

4、陣,K,。,1,T,P,x,K,x,u,R,B,?,?,?,?,?,?,1,0,T,P,A,P,P,BB,P,Q,A,R,?,?,?,?,?,2.,連續(xù)系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制的,MATLAB,函數(shù),在,MATLAB,工具箱中，提供了求解連續(xù)系統(tǒng),二次型最優(yōu)控制的函數(shù)：,lqr(),、,lqr2(),、,lqry(),。,其調(diào)用格式為：,?,?,?,?,?,?,(,),2(,),(,),K,S,E,lqr,A,B,Q,R,N,K,S,lqr,A,B,Q,R,N,K,S,E,lqry,sys,Q,R,N,?,?,?,其中，,A,為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣；,B,為系統(tǒng)的輸出矩,陣；,Q,為給定的半正定實(shí)對(duì)稱常數(shù)

5、矩陣；,R,為給,定的正定實(shí)對(duì)稱常數(shù)矩陣；,N,代表更一般化性,能指標(biāo)中交叉乘積項(xiàng)的加權(quán)矩陣；,K,為最優(yōu)反饋,增益矩陣；,S,為對(duì)應(yīng),Riccati,方程的唯一正定解,P,（若矩陣,A-BK,是穩(wěn)定矩陣，則總有正定解,P,存,在）；,E,為矩陣,A-BK,的特征值。,其中，,lqry(),函數(shù)用于求解二次型狀態(tài)調(diào)節(jié)器的特,例，是用輸出反饋代替狀態(tài)反饋，即其性能指標(biāo)為：,這種二次型輸出反饋控制叫做次優(yōu)控制。,此外，上述問題要有解，必須滿足三個(gè)條件：,（,1,）,（,A,，,B,）是穩(wěn)定的；,（,2,）,R,0,且,Q-NR,-1,N,T,0;,（,3,）,（,Q-NR,-1,N,T,，,A-B

6、R,-1,N,T,）在虛軸上不是非能觀,模式。,當(dāng)上述條件不滿足時(shí)，則二次型最優(yōu)控制無解，函數(shù),會(huì)顯示警告信號(hào)。,0,1,(,),2,T,T,J,Q,x,R,ud,t,x,u,?,?,?,?,3.,連續(xù)系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制設(shè)計(jì)實(shí)例,【例,8.7,】設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：,(1),采用輸入反饋，系統(tǒng)的性能指標(biāo)為：,取,，,R=1,?,?,0,1,0,0,0,0,1,0,1,4,6,1,1,0,0,x,u,y,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,1,(,),2,T,T,J,Q,x,R,ud,t,x,u,?,?,?,

7、?,1,0,0,0,1,0,0,0,1,Q,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,(2),采用輸出反饋，系統(tǒng)的性能指標(biāo)為：,，取,Q=1,R=1,試設(shè)計(jì),LQ,最優(yōu)控制器，計(jì)算最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣,，并對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行單位階躍的,仿真。,【解】,（,1,）我們可以用,MATLAB,函數(shù),lqr(),來求解,LQ,最,優(yōu)控制器，程序清單如下：,0,1,(,),2,T,T,J,Q,y,R,u,d,t,y,u,?,?,?,?,1,2,3,K,k,k,k,?,A=0,1,0;0,0,1;-1,-4,-6;,B=0,0,1;C=1,0,0;D=0;,Q=diag(1,1,1);,R=1;,K=lqr(A

8、,B,Q,R),k1=K(1);,Ac=A-B*K;Bc=B*k1;Cc=C;Dc=D;,Step(Ac,Bc,Cc,Dc),程序運(yùn)行結(jié)果如下：,K =0.4142 0.7486 0.2046,同時(shí)得到閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線，如圖,1-1,所示。,圖,1-1,閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線,由圖,1-1,可知，閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線略微,超調(diào)后立即單調(diào)衰減，仿真曲線是很理想的，反,映了最優(yōu)控制的結(jié)果。,（,2,）我們可以用,MATLAB,函數(shù),lqry(),來求解,LQ,最優(yōu)控,制器，給出程序清單如下：,A=0,1,0;0,0,1;-1,-4,-6;,B=0,0,1;C=1,0,0;D=0;,Q=1;,R=

9、1;,K=lqry(A,B,C,D,Q,R),k1=K(1);,Ac=A-B*K;Bc=B*k1;Cc=C;Dc=D;,Step(Ac,Bc,Cc,Dc),程序運(yùn)行結(jié)果如下：,K =0.4142 0.6104 0.1009,同時(shí)得到閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線，如圖,1-2,所示。,圖,1-2,閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線,由圖,1-1,和圖,1-2,知，經(jīng)最優(yōu)輸出反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線與經(jīng)最優(yōu)狀態(tài)反,饋后的階躍響應(yīng)曲線很接近。,三、離散系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制,下面對(duì)離散系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制進(jìn)行詳細(xì)介紹。,1,、離散系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制原理,假設(shè)完全可控離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：,要尋求控制向量,使得二次型

10、目標(biāo)函數(shù),為最小。,(,1,),(,),(,),(,0,1,1,),k,A,x,kB,u,k,k,N,x,?,?,?,?,?,?,?,?,(,),t,u,?,0,1,(),(),(),(),2,T,T,k,J,k,Q,x,k,k,R,u,k,x,u,?,?,?,?,?,式中，,Q,為半正定實(shí)對(duì)稱常數(shù)矩陣；,R,為正定實(shí)對(duì)稱,常數(shù)矩陣；,Q,、,R,分別為,X,和,U,的加權(quán)矩陣。,根據(jù)極值原理，我們可以導(dǎo)出最優(yōu)控制律：,式中，,K,為最優(yōu)反饋增益矩陣；,P,為常值正定矩陣，必,須滿足黎卡夫（,Riccati,）代數(shù)方程,因此，系統(tǒng)設(shè)計(jì)歸結(jié)于求解黎卡夫（,Riccati,）方程,的,問題，并求出

11、反饋增益矩陣,K,。,(,),T,T,R,P,BP,A,x,k,K,x,u,B,B,?,?,?,?,?,?,1,0,T,P,A,P,P,BB,P,Q,A,R,?,?,?,?,?,2.,離散系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制的,MATLAB,函數(shù),在,MATLAB,工具箱中，提供了求解離散系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制的函,數(shù),dlqr(),與,dlqry(),。其調(diào)用格式為：,其中，,A,為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣；,B,為系統(tǒng)的輸出矩陣；,Q,為給定的半正定,實(shí)對(duì)稱常數(shù)矩陣；,R,為給定的正定實(shí)對(duì)稱常數(shù)矩陣；,N,代表更一般化性,能指標(biāo)中交叉乘積項(xiàng)的加權(quán)矩陣；,K,為最優(yōu)反饋增益矩陣；,S,為對(duì)應(yīng),Riccati,方程的唯一正定

12、解,P,（若矩陣,A-BK,是穩(wěn)定矩陣，則總有正定解,P,存在）；,E,為矩陣,A-BK,的特征值。,(,),(,),K,SE,d,l,q,rA,B,Q,R,N,K,SE,d,l,q,r,ys,y,sQ,R,N,?,?,其中，,dlqr(),函數(shù)用于求解二次型狀態(tài)調(diào)節(jié)器的特例，,是用輸出反饋代替狀態(tài)反饋，即,，則其,性能指標(biāo)為：,3.,離散系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制設(shè)計(jì)實(shí)例,【例,2,】設(shè)離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程,試計(jì)算穩(wěn)態(tài)最優(yōu)反饋增益矩陣，并給出閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍,響應(yīng)曲線。,(,),(,),uk,K,yk,?,?,0,1,(),(),(),(),2,T,T,k,J,k,Q,y,k,k,R,u,k,y,u

13、,?,?,?,?,?,(,1,),2,(,),(,),(,),(,),x,k,x,k,uk,y,k,x,k,?,?,?,?,【解】,設(shè)定性能指標(biāo)為,，,取,R=1,。,用,MATLAB,函數(shù),dlqr(),來求解最優(yōu)控制器，給出程序清,單如下：,%,求解最優(yōu)控制器,a=2;b=1;c=1;d=0;,Q=1000,0;0,1; R=1;,A=a,0;-c*a,1;,B=b;-c*b;,Kx=dlqr(A,B,Q,R),k1=-Kx(2);k2=Kx(1);,axc=(a-b*k2),b*k1;(-c*a+c*b*k2),(1-c*b*k1);,bxc=0;1;cxc=1,0;dxc=0;,dst

14、ep(axc,bxc,cxc,dxc,1,100),0,1,(),(),(),(),2,T,T,k,J,k,Q,x,k,k,R,u,k,x,u,?,?,?,?,?,1000,0,0,1,Q,?,?,?,?,?,?,?,程序運(yùn)行后得到系統(tǒng)最優(yōu)狀態(tài)反饋增益矩陣,K,X,為：,Kx =1.9981 -0.0310,以及閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線，如圖,1-3,所示。,圖,1-3,閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線,四、,線性二次型,Gauss,最優(yōu)控制,考慮系統(tǒng)隨機(jī)輸入噪聲與隨機(jī)量測(cè)噪聲的線性二次型的最優(yōu)控制叫,做線性二次,Gauss(LQG),最優(yōu)控制。這是一種輸出反饋控制，對(duì)解決線性,二次型最優(yōu)控制問題更具有實(shí)用

15、性。,1.LQG,最優(yōu)控制原理,假設(shè)對(duì)象模型的狀態(tài)方程表示為：,式中，,(t),和,(t),為白噪聲信號(hào)，,(t),為系統(tǒng)干擾噪聲，,(t),為傳感器帶來的,量測(cè)噪聲。假設(shè)這些信號(hào)為零均值的,Gauss,過程，它們的協(xié)方差矩陣為：,式中，,E,x,為向量,x,的均值。,E,xx,T,為零均值的,Gauss,信號(hào),x,的協(xié)方差。,進(jìn)一步假設(shè),(t),和,(t),為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，使得,E,(t),T,(t),=0,。定義最,優(yōu)控制的目標(biāo)函數(shù)為：,式中，,Q,為給定的半正定實(shí)對(duì)稱常數(shù)矩陣，,R,為給定的正定實(shí)對(duì)稱常數(shù)矩陣。,(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),t,A,x,t

16、,B,u,t,G,wt,y,t,C,x,t,v,t,x,?,?,?,?,?,?,(,),(,),0,(,),(,),0,T,T,E,t,t,E,t,t,?,?,?,?,?,?,0,(,),(,),(,),(,),T,T,JE,t,Q,x,t,t,R,u,td,t,x,u,?,?,?,?,根據(jù),LQG,問題的分離原理，典型的線性二次型,Gauss,最優(yōu)控制的解,可以分解為下面兩個(gè)問題：,?,LQ,最優(yōu)狀態(tài)反饋控制問題；,?,帶有擾動(dòng)的狀態(tài)估計(jì)問題。,設(shè)計(jì),LQG,控制器的一般步驟如下。,（,1,）根據(jù)二次型的性能指標(biāo),J,，尋求最優(yōu)狀態(tài)反饋增益矩陣,K,。,（,2,）設(shè)計(jì)一個(gè)卡爾曼濾波器來估計(jì)系

17、統(tǒng)狀態(tài)。,（,3,）構(gòu)建,LQG,控制器。,下面介紹,Kalman,濾波器和,LQG,控制器設(shè)計(jì)的,MATLAB,實(shí)現(xiàn)。,2. Kalman,濾波器,在實(shí)際應(yīng)用中，若系統(tǒng)存在隨機(jī)擾動(dòng)，通常系統(tǒng)的狀態(tài)需要由狀態(tài)方,程,Kalman,濾波器的形式給出。,Kalman,濾波器就是最優(yōu)觀測(cè)器，能夠抑,制或?yàn)V掉噪聲對(duì)系統(tǒng)的干擾和影響。利用,Kalman,濾波器對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行最優(yōu),控制是非常有效的。,在,MATLAB,的工具箱中提供了,Kalman(),函數(shù)來求解系統(tǒng)的,Kalman,濾波,器。其調(diào)用格式為：,對(duì)于一個(gè)給定系統(tǒng),sys,，噪聲協(xié)方差,Q,，,R,，,N,函數(shù)返回一個(gè),Kalman,濾波器,的狀

18、態(tài)空間模型,kest,濾波器反饋增益為,L,，狀態(tài)估計(jì)誤差的協(xié)方差為,P,。用,MATLAB,構(gòu)建的,Kalman,狀態(tài)觀測(cè)器模型為：,【例,3,】已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：,已知,，試設(shè)計(jì)系統(tǒng),Kalman,濾波器。,【解】,為計(jì)算系統(tǒng),Kalman,濾波器的增益矩陣與估計(jì)誤差的協(xié)方差，給出一下程序：,(,),k,e,s,t,L,P,k,a,l,m,a,n,s,y,s,Q,R,N,?,?,(),(,),(),(,),(),(),?,(),?,(),(),?,(),0,t,A,L,Cxt,B,L,D,ut,L,yt,yt,C,D,xt,ut,xt,I,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?

19、,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,0,1,6,1,1,0,0,1,0,4,9,2,1,0,(0,0,1,),x,u,y,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,3,(,),(,),0,.,1,1,0,t,t,?,?,?,?,?,% Kalman,濾波器,A=-1,0,1;1,0,0;-4,9,-2;,B=6,1,1;C=0,0,1;D=0;,S=ss(A,B,C,D);,Q=0.001;R=0.1;,kest,L,P=kalman(S,Q,

20、R);,L,P,運(yùn)行程序，得到系統(tǒng),Kalman,濾波器的增益矩陣,L,與估計(jì)誤差的協(xié)方差,P,為：,L =,1.0641,1.1566,2.0393,P =,0.0678 0.0664 0.1064,0.0664 0.0695 0.1157,0.1064 0.1157 0.2039,3.LQG,最優(yōu)控制器的,MATLAB,實(shí)現(xiàn),我們已經(jīng)知道，,LQG,最優(yōu)控制器是由系統(tǒng)的最優(yōu)反饋增益,K,和,Kalman,濾波器構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)如圖,1-4,所示。,圖,1-4 LQG,最優(yōu)控制器框圖,被控對(duì)象,Kalman,濾波,-K,W,V,Y,x,u,+,+,LQG,控制器,在系統(tǒng)最優(yōu)反饋,K,和,Kalman,濾波器設(shè)計(jì)已經(jīng)完成的情況下，可借助,MATLAB,工具箱函數(shù),reg(),來實(shí)現(xiàn),LQG,最優(yōu)控制。函數(shù)調(diào)用格式為：,rlqg=reg(sys,K,L),其中，,sys,為系統(tǒng)狀態(tài)空間模型，,K,為用函數(shù),lqr(),等設(shè)計(jì)的最優(yōu)反饋增益