專題6.7：等差數(shù)列中前項(xiàng)和的最值問題的研究與拓展

1、專題6.7 :等差數(shù)列中前n項(xiàng)和的最值問題的研究與拓展【探究拓展】探究1 ：設(shè)等差數(shù)列 江 九勺前n項(xiàng)和為Sn，已知d ： 0，a7，S120，S3 : 0.(1)求公差d的取值范圍；(2)求S,S2,S3,_S13中的最大值.變式1 ：等差數(shù)列 也的前n項(xiàng)和為Sn , d : 0，若S9二S23，則前多少項(xiàng)的和最大？變式2 :若把條件改為“ s10 =S23”，有類似的結(jié)論嗎？變式3: 一般地，若a1 0 , d ：0,Sp二Sq，則前多少項(xiàng)的和最大？變式4:若Q是等差數(shù)列，且a1 0 , d : 0, Sp二Sq，求證：Sp .q = 0 ；法1 ：基本量法證明法2 :圖象，由Sp二Sq，

2、可得圖象關(guān)于X二衛(wèi)q對稱，故S0=Spq=02法 3 :由 Sp -Sq =0 可得：aq 1 aq 2 ap =0，即得 a1 apq = 0，易得證.變式5 :探究5的逆命題是否成立？即若fan 是等差數(shù)列，且a1 0 , d . 0，且Sp .q =0，則Sp二Sq成立嗎？為什么？拓展1：已知an為等差數(shù)列，若 並：:：-1,且它的前n項(xiàng)和Sn有最大值，那么當(dāng)Sn取得最小正值時(shí)，a10n = .19拓展2 :等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：S16a0, S17 v0，則當(dāng)n = _時(shí)，Sn最大.8拓展3:在等差數(shù)列an中，公差d 0 , a20n、a2012是方程x2 -3x -5 =0

3、的兩個(gè)根.Sn是數(shù)列a.的 前n項(xiàng)和，那么滿足條件 Sn v0的最大自然數(shù)n= 4021a 1拓展4：已知數(shù)列an為公比為q的等比數(shù)列，其前 n項(xiàng)之積為Tn,且899810。-1 0 ,0，則a100 1下列四個(gè)命題中，真命題的序號(hào)為 (1) 0 : q 1； (2)使得Tn取得最大值的n =199 ；(3)滿足不等式an 1的最大正整數(shù)n =100；探究2:設(shè)Sn是各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)的數(shù)列Bn 的前n項(xiàng)和，給出如下兩個(gè)命題：命題p :111kn 十 b:an f是等差數(shù)列；命題q :等式對任意n( n N * )恒成a1 a2 a2a3anan申 a1an 申立，其中k, b是常數(shù).(1) 若

4、p是q的充分條件，求k,b的值；(2) 對于(1)中的k與b，問p是否為q的必要條件，請說明理由;(3)若p為真命題，對于給定的正整數(shù)n ( n 1)和正數(shù)數(shù)列a滿足條件a； a；.1豈M ，試求Sn的最大值.解：(1)設(shè)的公差為d，當(dāng)d = 0時(shí)原等式可化為1111 川丄kn ba?a3ai an 11,所以 da1 an +ndkn ba1 an 1即k -1 n b = 0對于n N ”恒成立，所以k =1,b =0.當(dāng)d =0時(shí)，也成立(2)當(dāng)k =1, b =0時(shí)假設(shè)命題成立,即“若1 1-IIIaa2a?a3+anan 1a1a n 1對于任意的n nN恒成立，則an 1為等差數(shù)列

5、”當(dāng)n =1時(shí),當(dāng)n _2時(shí),anan 1a1lan 十a(chǎn)n，即 nan-n -1 an 1=a1 .當(dāng)n =2時(shí),a1 a3 = 2a2，即 a1、a2、a3成等差數(shù)列,當(dāng)n 一3時(shí),n -1an4 一 n 一2 an，即2an=an4 am.所以a/f為等差數(shù)列，即p為q的必要顯然成立aa2a a?口，由-得,an 4a“a 1條件.由 a1a； 1 乞 M，可設(shè) a1 = r cos71, an = r sin 二，所以 r 一 M .r sin - - r cos - 設(shè) n的公差為 d，貝U an十一 = nd = r sin二一r cos71，所以d =所以 an=rs in e_

6、rsi-rco& =(a1*an )n = (n I)cos”(n-1 網(wǎng)日22 2n 12n 1，所以Sn的最大值為拓展1：設(shè)數(shù)列3(42,11(,a., |(中的每一項(xiàng)都不為o證明：CaJ為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何111n N，都有-qa：a2a3anan 1a1 an 1拓展2 :已知是等差數(shù)列，對于給定的正整數(shù)* 1 III * Pm - b，m 1的最大值為15 (m1)n拓展3 :在正項(xiàng)數(shù)列 n 中,令Sn二:,ai 厶 ai 1(1 )若an 是首項(xiàng)為25,公差為2的等差數(shù)列，求Soo ；np(2 )若&( p為正常數(shù))對正整數(shù) n恒成立，求證；、aj為等差數(shù)列;Ja1

7、+Ja n 卅(3)給定正整數(shù)k,正實(shí)數(shù)M ,對于滿足a12 a2 M的所有等差數(shù)列求T = ak 1 ak:：2a2k 1的最大值.解：(1)由題意得，ai 1 一 a ,所以S100 =匚=5(2)證:令 n = 1, 一 廠一二一，則 p =1 ,印.a?ga?np所以 Sn=(1) ，S1 1 :i VaVai+VaVan+im Va +Vai4t(n 1)P(2),( 2)( 1),.a an 2(n 1)得丄一 ,.a. an 2a1 an 1. an 1 ； an 2化簡得(n 1)an 1 -na.之=印5 -1)(3)(n 2)an 2-(n1)an 3 =3(n-1) (4) ,(4)(3)得a.1 a. 3 =2an2(n - 1)k(k +1)(3)記 t = ak d，公差為 d ,則 T = ak 巾 ak 2 a2k .J = (