《高等數(shù)學(xué)》各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)——第1章

1、第1章函數(shù)與極限總結(jié)1、極限的概念(1 )數(shù)列極限的定義給定數(shù)列xn，若存在常數(shù)a，對(duì)于任意給定的正數(shù)不論它多么小總存在正整數(shù)N 使得對(duì)于n N時(shí)的一切n恒有|xn a | 則稱a是數(shù)列xn的極限 或者稱數(shù)列xn收斂于a 記為 lim xn a 或 xn a (n )n(2 )函數(shù)極限的定義設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo的某一去心鄰域內(nèi)(或當(dāng)x M 0 )有定義，如果存在常數(shù) A對(duì) 于任意給定的正數(shù)(不論它多么小)總存在正數(shù)(或存在 X)使得當(dāng)x滿足不等式0|x xo| 時(shí)(或當(dāng)x X時(shí))恒有|f(x) A|那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)xx0 (或x )時(shí)的極限 記為lim f (x) A或 f(x

2、) a(當(dāng) x x0)(或 lim f (x) A)x X。x類似的有：如果存在常數(shù) A對(duì) 0,0,當(dāng)x : x0x x0 ( x0x x0)時(shí)，恒有f(x) A ，則稱A為f (x)當(dāng)x x時(shí)的左極限(或右極限)記作lim f (x) A(或 lim f (x) A)記作 lim f (x)xA(或 lim f (x) A)xxx0xx0顯然有l(wèi)im f (x)Alim f (x)limf(x) A)x X0xx0x X0如果存在常數(shù)A對(duì)0, X0,當(dāng)xX(或x X)時(shí)，恒有f (x) A則稱A為f (x)當(dāng)x(或當(dāng)x)時(shí)的極限顯然有l(wèi)im f (x) Axlim f (x) lim f (

3、x) A)xx2、極限的性質(zhì)(1) 唯一性若 lim xn a， lim xnb，則 a b若 lim f (x) A lim f (x) B，則 A Bxx(x x0)(x x0)(2) 有界性(i)若lim xn a ,貝yM 0使得對(duì) n N，恒有xnMnn(ii)若 lim f(x) A，貝U MO 當(dāng) x : 0 x x0時(shí)，有 f (x) Mx X。(iii )若 lim f(x) A，則 M 0, X 0 當(dāng) x X 時(shí)，有 f(x) Mx(3) 局部保號(hào)性(i) 若 lim Xn a 且 a 0(或 a 0)則 N N，當(dāng) n N 時(shí)，恒有 xn0(或xn 0)n(ii) 若

4、lim f(x) A，且 A 0(或 A 0)，貝U0 當(dāng) x : 0 x x0時(shí)，有x X。f (x)0(或f (x)0)3、極限存在的準(zhǔn)則(i) 夾逼準(zhǔn)則給定數(shù)列Xn, yn, Zn若n N ,當(dāng)n n時(shí)有yz lim yn lim 召 a，nn則 lim xn an給定函數(shù) f (x), g(x), h( x)，0若當(dāng) x U (x0,r)(或 x X )時(shí)，有 g(x) f (x) h(x)m g(x) Jim h(x) A，(x x0)(x x0)則 lim f (x) Ax(x X)(ii)單調(diào)有界準(zhǔn)則給定數(shù)列Xn，若對(duì) n N 有Xn Xn 1(或Xn Xn 1)M (m)使對(duì)n

5、 N 有 XnM (或xnm)則lim xn存在n若f (X)在點(diǎn)X。的左側(cè)鄰域(或右側(cè)鄰域)單調(diào)有界，貝y lim f(x)(或lim f (x)X X0x X0存在4、極限的運(yùn)算法則A， lim g(x) BX(X X0)g(x) A B(1 )若 lim f (x)X(X X0)則(i)Jim f (x)(X X0)(ii) xlim f(x) g(x) A B(x x)叫:爲(wèi)首(B0)(2)設(shè)(i) u g(x)且 lim g(x) u0 ( ii)當(dāng) xX X00U(x,)時(shí) g(x)Uo(iii) lim f (u)U u0則 lim fg(x)X X0limu uf(u)5、兩個(gè)

6、重要極限/八sin x(1) limxuPmsin u(x)10 u(x)lim沁x Xlimx 1x sinxlim xs in x 0(2) limxlimu(x)1u(x)u(x)e;1lim(1x)7v(x) v(x)e;6、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的概念Jim(x)(x X。)(1)0,0,當(dāng)x: 0x xX )時(shí)有(x)，則稱當(dāng)X(或 x),(x)無(wú)窮小量(2)lim f (x)x(x x0)即對(duì)M 0,0(或X0),當(dāng)x X。(或 xX )時(shí)有f (x)M則稱當(dāng)XX0(或 X),f (x)無(wú)窮大量7、無(wú)窮小量與有極限的量及無(wú)窮大量的關(guān)系,(1)lim f (x)x(X x0)A f(x

7、) A無(wú)窮小量的運(yùn)算法則(x),其中 lim (x)0X(x x0)(2)xlim f (x)(x x0)0(f(x)limx (xX0)(3)xlim g(x)(x x0)limX(X X0)1gW(4)xlim f (x)(X x)則 Jim f (x)g(x)(x x0)且M 0,當(dāng)x :0XX。(或 x時(shí)有g(shù)(x)(5) lim f (x)0且 M 0,當(dāng) x: 0X(X X0)則m f (x) g(x)0(X X0)Xo(或X )時(shí)有g(shù)(x)(6) xm fk (x)0(k1,2丄，n)則 lim(X X0)x(x X。)nfk(x)k 10,limX0)x(xnfk(x) 0,k

8、18、無(wú)窮小量的比較Jim f (x)(X X0)0，xlim g(x)(x X)0, limX(X x)(x)若(1)x(xlimX。)X(或 X)時(shí),f (x)與g(x)是同階無(wú)窮小。(2)limX0)x(xf(x) g(x)1，則稱當(dāng)x0(或 x)時(shí),f (x)與g(x)是等價(jià)無(wú)窮小，記作f(x)：g(x)( xX(或 Xx0(或 x)時(shí),f (x)是g(x)是高階無(wú)窮小，記作f(x)o(g(x)X X(或 X(4)0U(x,)(或)，有f(x) g(x)，則記f (x)O(g(x)X(或 x(5)lim豐(Xx X0)(X)kC 0(k 0)，則稱當(dāng)xx0(或x)時(shí),f (x)是(x)

9、是 k階無(wú)窮小，9、常用的等價(jià)無(wú)窮小當(dāng)x 0時(shí)，有(1)sin x x arcsin x tan x arctanln(1x) ex 1,(2)1 cosx 1 X22.(3) ax1 x ln a(0 a 1), (4)(1 x)10、函數(shù)連續(xù)的概念(1) 函數(shù)連續(xù)的定義設(shè)y f (x)在點(diǎn)x0及其鄰域U(x)內(nèi)有定義，若(i) lim。y lim f (x0x)或(ii) lim f (x) f (x0)X Xq或( iii )0,0,當(dāng) X : X Xo時(shí)，有 f (x) f (Xo則稱函數(shù)y f (x)在點(diǎn)x0處連續(xù)設(shè)y f (x)在點(diǎn)(xq, Xq內(nèi)有定義,若limX Xqf(x)f

10、(X。),則稱函數(shù)yf (x)在點(diǎn)Xq處左連續(xù),設(shè)y f (x)在點(diǎn)x0，X0)內(nèi)有定義,若limX Xqf (x)f (x0),則稱函數(shù)yf (x)在點(diǎn)Xq處右連續(xù)若函數(shù)y f (x)在(a,b)內(nèi)每點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)f (x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)若函數(shù)y f (x)在(a,b)內(nèi)每點(diǎn)都連續(xù)，且limx af(x)f (a)， lim f (x)x bf (b)，則稱函數(shù)y(2)函數(shù)的間斷點(diǎn)f (x)在a, b上連續(xù)，記作 f(x) Ca,bof (x)在點(diǎn)x0的某去心鄰域U (x)內(nèi)有定義若函數(shù)y f(x):(i )在點(diǎn)Xq處沒(méi)有定義(H )雖然在Xq有定義但lim f(x)不存在X X0(

11、3)雖然在Xq有定義且lim f(x)存在但 lim f(x) f(x)x XoX Xq則函數(shù)f(x)在點(diǎn)X0為不連續(xù) 而點(diǎn)x0稱為函數(shù)f(x)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)。設(shè)點(diǎn)Xq為y f (x)的間斷點(diǎn)，(1) lim f (x)= lim f (x) f (x0)，則稱點(diǎn) x0為 y f (x)的可去間斷點(diǎn)，若(2) x Xo_ X Xqlim f (x) lim f (x)，則稱點(diǎn)x0為yf (x)的跳躍間斷點(diǎn)，x XoX Xq可去間斷點(diǎn)與跳躍間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)(3) lim f (x) 或lim f (x) 則稱點(diǎn)x0為y f(x)的無(wú)窮型間斷點(diǎn)，X XqX Xq(4) 若lim f (

12、x)或 lim f (x)不存在且都不是無(wú)窮大，則稱點(diǎn) x0為y f (x)的振蕩型X xoX xo間斷點(diǎn)，無(wú)窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷點(diǎn)11、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算(1) 連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算若函數(shù)f(x) g(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)f ( x)則 f(x) g(x), f (x) g(x),(g(x) 0)在點(diǎn) x處也連續(xù)g(x)(2) 反函數(shù)的連續(xù)性，1若函數(shù)y f (x)在區(qū)間lx上單調(diào)增加(或單調(diào)減少)且連續(xù)，則其反函數(shù)x f (y)在其對(duì)應(yīng)的區(qū)間I y yy f (x),x lx上也單調(diào)增加(或單調(diào)減少)且連續(xù)。(3) 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)y fg(x)由函數(shù)y f(u), ug(x)復(fù)合而成，U(x)Dy，若(1) lim g(x) Uo(或 lim g(x) g(x) u)x xox xo(2) lim f (u) f (u0)則 lim f g(x) f lim g(x)f (u0)u Uox x0x x0(或 lim fg(x) f lim g(x) fg(x。) f(u)X X。x x0(4) 初等函數(shù)的連續(xù)性一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的(5) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(i)有界性