初中數(shù)學(xué)九大幾何模型解題思路

1、v1.0可編輯可修改九大幾何模型、手拉手模型旋轉(zhuǎn)型全等(1)等邊三角形D4【條件】： OABHA OCD均為等邊三角形;【結(jié)論】：厶OA3A OBD/ AEB=60 :OE平分/(2 )等腰直角三角形AED【條件】： OABHA OCD均為等腰直角三角形;【結(jié)論】： OACA OBD/ AEB=90 :OE平分/ AEDCDE(3 )頂角相等的兩任意等腰三角形【條件】： OABHA OCD勻?yàn)榈妊切?且/ CODM AOB【結(jié)論】：厶OA3A OBD / AEB=M AOB OE平分/ AED:、模型二：手拉手模型(1 )一般情況【條件】：CD/ AB,將厶OCD旋轉(zhuǎn)至右圖的位置【結(jié)論】：

2、右圖中 OC3A OABnA OASA OBD【條件】：CD/ AB, / AOB=90將厶OCD旋轉(zhuǎn)至右圖的位置【結(jié)論】：右圖中 OC3A OABnA OACA OBD延長 AC交BD于點(diǎn)E,必有/ BECN BOA AC OD OBtan / ocd bd丄AC2連接AD BC,必有AD2 BC2 AB三、模型三、對角互補(bǔ)模型BCD : SABCD(1) 全等型-90 【條件】：/ AOB=/ DCE=90 : 0C平分/AOB【結(jié)論】： CD=CE OD+OE=2 OC ScE2oc2證明提示:作垂直,如圖 2,證明 CDMA CEN圖2SOCDSAOCE過點(diǎn)C作CF丄0C如圖3,證明

3、ODA FEC當(dāng)/ DCE的一邊交A0的延長線于 D時(shí)(如圖4):以上三個(gè)結(jié)論：CD=CE OE-OD=；2 0C SAOCESOCD(2) 全等型-120【條件】：/ AOB=N DCE=120 :。平分/ AOBF3I 結(jié)論 CD=CE OD+OE=OC Sg s Ss 計(jì)。C2證明提示：可參考“全等型 -90?！弊C法一；如右下圖：在 OB上取一點(diǎn)F,使OF=OC證明 OCF為等邊三角形。9(3) 全等型-任意角a【條件】：/ AOB=2i,/DCE=180-2a;CD=CE【結(jié)論】：OC平分/ AOBOD+OE=2OCcos a; DCEOCDOCEOC2 sin a cos a當(dāng)/ D

4、CE的一邊交AO的延長線于 D時(shí)(如右下圖)：原結(jié)論變成：；可參考上述第種方法進(jìn)行證明。請思考初始條件的變化對模型的影響。對角互補(bǔ)模型總結(jié):常見初始條件：四邊形對角互補(bǔ)，注意兩點(diǎn)：四點(diǎn)共圓有直角三角形斜邊中線; 初始條件“角平分線”與“兩邊相等”的區(qū)別; 注意0C平分/ AOB寸，/ CDEN CED2 COAK COE如何引導(dǎo)四、模型四：角含半角模型90(1)角含半角模型 90 -1【條件】：正方形ABCD/ EAF=45;【結(jié)論】：EF=DF+BE厶CEF的周長為正方形 ABCD周長的一半;也可以這樣：(3)角含半角模型 90-3【條件】：Rt ABC/ DAE=45 ;【結(jié)論】：BD2

5、CE2 DE2 (如圖1)v1.0可編輯可修改若/ DAE旋轉(zhuǎn)到 ABC外部時(shí)，結(jié)論 BD 2 CE2 DE2仍然成立（如圖2）AAAD18/ DAC=/ EAF=45,/ DAH=/ CAE 又 I / ACB玄 ADB=45 ;DAAHACAE AHEA ADC AHE為等腰直角三角形模型五：倍長中線類模型(1 )倍長中線類模型-1【條件】：矩形ABCDBD=BEDF=EF【結(jié)論】：AF丄CF模型提?。河衅叫芯€ AD/ BE平行線間線段有中點(diǎn) DF=EF可以構(gòu)造“ 8”字全等厶ADFA HEF。(2 )倍長中線類模型-2【條件】：平行四邊形 ABCDBC=2ABAM=DMCEL AB;【結(jié)

6、論】：/ EMD=M MEA輔助線：有平行 AB/ CD 有中點(diǎn) AM=DM延長 EM構(gòu)造 AMEA DMF連接 CM構(gòu)造模型六：相似三角形360 旋轉(zhuǎn)模型(1)相似三角形(等腰直角)360。旋轉(zhuǎn)模型-倍長中線法【條件】：厶ADE ABC均為等腰直角三角形； EF=CF；【結(jié)論】：DF=BF；DFL BF輔助線：延長 DF到點(diǎn)G,使FG=DF連接CG BG BD,證明 BDG為等腰直角三角形;突破點(diǎn)： ABDA CBG難點(diǎn)：證明/ BAO=/ BCG(3)任意相似直角三角形360。旋轉(zhuǎn)模型-補(bǔ)全法【條件】：厶 OABA ODC / OABM ODC=90 : BE=CE【結(jié)論】：AE=DE/

7、AED=2/ ABO輔助線:延長 BA到G,使AG=AB延長 CD到點(diǎn)H使DH=CD補(bǔ)全 OGB OCH構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模H型。轉(zhuǎn)化 AE與DE到CG與BH 難點(diǎn)在轉(zhuǎn)化/ AED(4) 任意相似直角三角形360。旋轉(zhuǎn)模型-倍長法【條件】：厶 OABA ODC / OAB=/ ODC=90 : BE=CE【結(jié)論】：AE=DE/ AED=2/ ABO輔助線：延長 DE至M,使ME=DE將結(jié)論的兩個(gè)條件轉(zhuǎn)化為證明厶AMDo ABQ此為難點(diǎn),模型七：最短路程模型(1 )最短路程模型一(將軍飲馬類)總結(jié)：右四圖為常見的軸對稱類最短路程問題,最后都轉(zhuǎn)化到：“兩點(diǎn)之間，線段最短：解決;特點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)在直線上；起點(diǎn)，終點(diǎn)

8、固定11I 2（2 ）最短路程模型二（點(diǎn)到直線類1）【條件】：0C平分/ AOBM為0B上一定點(diǎn)；P為0C上一動(dòng)點(diǎn)； Q為0B上一動(dòng)點(diǎn);【問題】：求MP+PQI小時(shí)，P、Q的位置輔助線：將作 Q關(guān)于0C對稱點(diǎn)Q,轉(zhuǎn)化PQ =PQ過點(diǎn)M作MHL OA則MP+PQ=MP+PQ MH垂線段最短）(3 )最短路程模型二(點(diǎn)到直線類2)【條件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n),.5【冋題】：n為何值時(shí)，PB -PA最小5；5求解方法：x軸上取C(2,0),使sin / OAC ;過B作BD丄AC交y軸于點(diǎn)E,即為51所求； tan / EBO=tan/ OAC ,2(4 )最短路程模型三(旋

9、轉(zhuǎn)類最值模型)【條件】：線段OA=4 OB=2OB繞點(diǎn)O在平面內(nèi)360旋轉(zhuǎn);【問題】：AB的最大值，最小值分別為多少【結(jié)論】：以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑作圓，如圖所示，將問題轉(zhuǎn)化為“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊最大值：OA+OB最小值：OA-OB【條件】：線段0A=4 OB=2以點(diǎn)0為圓心，OB 0C為半徑作圓;點(diǎn)P是兩圓所組成圓環(huán)內(nèi)部（含邊界）一點(diǎn)；【條件】：Rt OBC / OBC=30 ;0C=20A=1;點(diǎn)P為BC上動(dòng)點(diǎn)（可與端點(diǎn)重合）厶OBC繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)【結(jié)論】：PA最大值為OA+OB= 2 3 ; PA的最小值為-OB OA 312如下圖，圓的最小半徑為 O到BC垂線段

10、長。v1.0可編輯可修改模型八：二倍角模型【條件】：在厶ABC中，/ B=2/ C;BA 、 CA 、輔助線：以BC的垂直平分線為對稱軸，作點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A，連接AA、則BA=AA =CA （注意這個(gè)結(jié)論）AC20此種輔助線作法是二倍角三角形常見的輔助線作法之一，不是唯一作法。C模型九：相似三角形模型（1 ）相似三角形模型-基本型平行類：DE/BC;字型字型 A字型結(jié)論：ADABAEDE注意對應(yīng)邊要對應(yīng)）v1.0可編輯可修改B斜交型C B 雙垂型 C(2 )相似三角形模型-斜交型【條件】：如右圖，/ AEDN ACB=90 ;【結(jié)論】：AEX AB=AC AD【條件】：如右圖，/ ACEN ABC2【結(jié)論】：AC=AEX AB第四個(gè)圖還存在射影定理:AEX EC=BC AC;2 2BC=BEX BA CE=AEX BE;圖(1)(3)相似三角形模型-一線三等角型【條件】：(1)圖：/ ABCN ACE=/ CDE=90 ;(2) 圖：/ ABCh ACE=/ CDE=60 ;(3) 圖：/ ABCN ACE=/ CDE=45 ;【結(jié)論】： AB3A CDE