第二章導(dǎo)數(shù)與微分(20201207202653)

1、第二章 導(dǎo)數(shù)與微分一、教學(xué)目標(biāo)與基本要求1. 理解函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的三種等價(jià)定義和左、右導(dǎo)數(shù)的定義；了解導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的區(qū)別和 聯(lián)系；會用導(dǎo)數(shù)的定義求一些極限，證明一些有關(guān)導(dǎo)數(shù)的命題，驗(yàn)證導(dǎo)數(shù)是否存在；了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義 及平面曲線的切線和法線的求法。2. 掌握常數(shù)、基本初等函數(shù)及雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的 求導(dǎo)法則。3. 理解高階導(dǎo)數(shù)定義； 掌握兩函數(shù)乘積高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茲公式； 綜合運(yùn)用基本初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式， 兩函數(shù)和、差、積的高階導(dǎo)數(shù)公式及萊布尼茲公式等，求函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)。4. 理解隱函數(shù)定義并會求隱函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)；掌握反函數(shù)的

2、求導(dǎo)法則。5. 掌握參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一、 二階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式； 會用對數(shù)求導(dǎo)法求冪指函數(shù)和具有復(fù)雜乘、 除、 乘方、開方運(yùn)算的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。6. 理解微分的定義以及導(dǎo)數(shù)與微分之間的區(qū)別和聯(lián)系；掌握基本初等函數(shù)的微分公式；理解微分形式的不 變性；了解微分在近似計(jì)算及誤差估計(jì)中的應(yīng)用。7. 理解函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)、可微和連續(xù)之間的關(guān)系。二、教學(xué)內(nèi)容與學(xué)時(shí)分配第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念，計(jì)劃 3.5 學(xué)時(shí)；第二節(jié) 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則，計(jì)劃 1.5 學(xué)時(shí)；第三節(jié) 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，計(jì)劃 3.5 學(xué)時(shí)；第四節(jié) 初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題，計(jì)劃 1 學(xué)時(shí)；第五 節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)，計(jì)劃 2.5 學(xué)

3、時(shí)；第六節(jié) 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)劃 3.5 學(xué)時(shí)； 第七節(jié)函數(shù)的微分，計(jì)劃 2.5 學(xué)時(shí)；第八節(jié) 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用，計(jì)劃 1.5 學(xué)時(shí)；共計(jì) 20 學(xué)時(shí)。三、重點(diǎn)與難點(diǎn)1. 導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義及物理意義；2. 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系；3. 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則與基本求導(dǎo)公式；4. 微分的概念與微分的運(yùn)算法則；5. 可微與可導(dǎo)的關(guān)系。四、內(nèi)容的深化與拓寬1. 導(dǎo)數(shù)概念的深刻背景2. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的應(yīng)用3. 綜合運(yùn)用基本初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式，兩函數(shù)和、差、積的高階導(dǎo)數(shù)公式及萊布尼茲公式等，求函數(shù) 的高階導(dǎo)數(shù)。4. 綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及求導(dǎo)法則，解決幾何方面的曲線切

4、線與法線的問題及相關(guān)變化率問題。五、教學(xué)手段以教師講解為主，輔以學(xué)生練習(xí)，適當(dāng)提問增強(qiáng)學(xué)生互動，引發(fā)學(xué)生積極思考。六、注意內(nèi)容1. 對導(dǎo)數(shù)與微分概念的理解2. 求導(dǎo)及求微分方法的靈活運(yùn)用3. 對函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)、可微和連續(xù)之間的關(guān)系的理解。七、參考書目八、思考題與習(xí)題 2-1導(dǎo)數(shù)的概念一、導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的背景1. 非勻速運(yùn)動物體的速度問題2. 平面曲線的切線問題例1.力學(xué)中的線密度問題非勻速直線問題和曲線的切線的斜率都?xì)w結(jié)為如下的極限：lim f(Xo_勺一丄勺.這里 x與x 0xf (xo x) f (xo)分別是函數(shù)y = f (x)的自變量的增量和函數(shù)的增量y。二、導(dǎo)數(shù)的定義1. 導(dǎo)數(shù)定義2.

5、 左、右導(dǎo)數(shù)定理：f x0a f x0f x0a3. 導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)定義顯然導(dǎo)數(shù)f(X0)是導(dǎo)函數(shù)f(X)在x X0處的函數(shù)值，即f(X0)f (x) x x0。三、求導(dǎo)數(shù)舉例1. y C,x R( C 為常數(shù))(C)02. y xn( n為正整數(shù))nn 1(x ) nx一般地，對于幕函數(shù)(x )x 1例 1. (x3)3x21(=) (xy)1 1 2 =x221JJ2 22、xxlx11x01（自變量對其本身的導(dǎo)數(shù)為1）3.三角函數(shù) y sin x(sin x) cosx同理：(cosx) sin x4.指數(shù)函數(shù) y ax(a 0, a 1)(ax)ax l na特別的，(ex) ex例 2

6、. (4x)4xln45.對數(shù)函數(shù)y In x(x 0)1(In x)x例 3. Ioga x(a 0,a1,x0)，求 y解: y loga xlim匹x 0lOga x1ln aln limx 01(log a x) xln a1例 4. (log 5 x)x l n 5四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義1,1處的切線方程例5.求曲線y x2上任意一點(diǎn)處切線的斜率，并求在點(diǎn)五、導(dǎo)數(shù)存在的必要條件定理：若f X在點(diǎn)Xo可導(dǎo)的必要條件是它在點(diǎn) X0連續(xù)。另一方面，如果函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)，卻不一定在該點(diǎn)處可導(dǎo)。見下例:例6. y x在點(diǎn)x 0連續(xù)，但不可導(dǎo)。例7.討論yn .1x sin , xx 0(n N)在

7、點(diǎn)x 0連續(xù)性和可導(dǎo)性。0 ,x 0例&已知ya bx, xe x, x0 .在x 00可導(dǎo)，求a, b之值。 2-2函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則：1. ux v xu xv x例1.2y xsin x cosx1,求 y。例2.設(shè)y a0nn 1xa-ixLan必an，求 y。通常，多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)仍是多項(xiàng)式，其次數(shù)降低一次，系數(shù)相應(yīng)改變。2. (u(x)v(x) u (x)v(x) u(x)v(x)c(v(x)。例 3.設(shè) u C(C 為常數(shù))，v v x 可導(dǎo)，則(Cv(x)(C) v(x) C(v(x)通常，常數(shù)因子可以提到導(dǎo)數(shù)符號外面。例 4.設(shè) y ax b，則 y (ax

8、b) (ax) (b) a(x) a。即線性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為一個常數(shù).直線的切線就是它本身。例 5. y log a x,求y。例 6.已知 y (x 1)(x2)(x 3)，求 y % 33 u(x)u (x)v(x) u(x)v(x) (v(x) 0)v(x)v2(x)例 7. y cotx，求 y。1例8.設(shè)函數(shù)v x可導(dǎo)，且v x0,證明v(x)v(x)v2(x)例 9. y e x，求 y 。例 10. y secx，求 y。一般地，(1)n若函數(shù)u X ,V X均可導(dǎo)，則( ui (x)i 1nd 門ui (x)或 ui (x) i 1dx i 1n dui(x)1 d x(2)(u(

9、x)v(x)u (x)v(x) u(x)v (x)n(ui(x)i 1nu1(X)u2(X)ui (x) un(x)i 1d-ui(x)d x i 1nUi(x)U2(x)i 1警 un(x)d x(3)u(x)v(x)u (x)v(x) u(x)v (x)v2(x) 2-3反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理：設(shè)單調(diào)函數(shù)y在區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo),x 0,則它的反函數(shù)x在相應(yīng)的某區(qū)間J內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且f(X)1o(y)該定理說明：一個函數(shù)單調(diào)、連續(xù)、可導(dǎo)，則它的反函數(shù)存在，且單調(diào)、連續(xù)、可導(dǎo)。例 1. y arcsinx 1 x 1，求 y。例 2. y arccosx 1 x 1，求

10、y。例 3.設(shè) y arctanx x (,)，求 y。二、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理：設(shè)u x在點(diǎn)x處可導(dǎo)，y f u在對應(yīng)點(diǎn)u u x 處也可導(dǎo)，復(fù)合函數(shù) y f x 在U x內(nèi)有定義，則y fx 在點(diǎn)x處是可導(dǎo)的，且亠 d y d y d u(f( (x)f ( (x) (x)或d x d u d x例 4. y sin ax ,求 y。例 5. y e 5x，求 y。1x例6.證明：in7.ln(x . x a )，8.sin2 ，求 y。9.yCOt才，求y。1)10.11.12.sin fIn.x2 1,|x|cos2ln1 x1,求 y。,x ( 1,1),求 y。可導(dǎo)，寫出下列函數(shù)關(guān)于

11、 x的導(dǎo)數(shù)y=cos f x f x2)3)In fy 3f(x)4)f sinxsinx cosx5)6)f ln xy1 f (ln x)-x13.證明：在a, a內(nèi)可導(dǎo)的奇（偶）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶（奇）函數(shù). 2-4初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題(C)0;(x )(sin x) cosx;(cos x)(tan x)sec x;(cot)(secx)secxtan x;(csc x)(ax)ax ln x;(e ) e1(ln x)-;(log a x)常用的基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式xsin x;2CSC x;cscxcot x;xx1(arcsin x)(arcta n x).廠x211 x2(1 x

12、1); (arccos x)x (,) ; (arccot x)1 x211 x2(1x1);x (,).、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)u u X ,v v x都可導(dǎo)，則(1) (u(x)v(x) u (x) v(x)(2) (Cv(x)(C)v(x) C(v(x)C(v(x)(3) (u(x)v(x) u (x)v(x) u(x)v (x)(4) 回u(x)v(x)2 u(x)v(x) ,(v(x) 0)v(x)v (x)三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則x處也可導(dǎo)，復(fù)合函數(shù)y f設(shè)u x 在點(diǎn)x處可導(dǎo)， y f u 在對應(yīng)點(diǎn) u uU x內(nèi)有定義，則y f x 在點(diǎn)x處是可導(dǎo)的，且 (f( (x)

13、 f ( (x) (x)或字 乎乎。d x d u d x 2-5 高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)的概念n階導(dǎo)數(shù)概念f x在區(qū)間I上n階連續(xù)可導(dǎo)無窮次連續(xù)可導(dǎo)例1.求幕函數(shù)y xn， n N的高階導(dǎo)數(shù)” rn例2. y ax b的高階導(dǎo)數(shù)例3.多項(xiàng)式R(x) axn a/1 L a* 1X an的高階導(dǎo)數(shù)。例4.求y ex的各階導(dǎo)數(shù)。例5.求y ax的各階導(dǎo)數(shù)。例6.求y In X的各階導(dǎo)數(shù)。1例7.求y的高階導(dǎo)數(shù)。X例8.求y sinx,y cosx的各階導(dǎo)數(shù)。例9. yIn si n x ,求d2ydx2例 10. yesinx，求 y例11.dx試從dxydy、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則設(shè)f x ,g x

14、有直到n階的導(dǎo)數(shù)，則(1)(f (x)g(x)(n) f (n)(x) g(n)(x)n萊布尼茲公式(f(x) g(x)(n)Cn f(n k)(x)g(k)(x),其中 ckk 0n!k!( n k)!例12.,100十d求 100dx1x2 5x 6例13.設(shè)yx2 sin x,求 y 80。例 14.證明 f xarcsinx 滿足下式(1 x2) f (n 2)(x) (2n 1)xf(n 1(x) n2f (n)(x)0。 2-6 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則如果由方程Fx,y 0確定隱函數(shù)y fx可導(dǎo)，則將y fx代入方程中，得到F x, f x0

15、對此方程兩邊關(guān)于 x求導(dǎo)： F(x, y) 0然后，從這個式子中解出y ,就得到隱函數(shù)dx的導(dǎo)數(shù)。例1.求由方程F(x, y) xy ex ey 0x0所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) y ,并求y x 0。2 2例2.求橢圓占 1在點(diǎn)(x,y)處的切線方程。a b二、參數(shù)方程求導(dǎo)法則 參數(shù)方程求導(dǎo)法則:dy設(shè)X yx(t) t y(t) tI，右y y (t)，x (t)存在，且 x (t)dtdto,則 dyy(t)x tdt dx dt例3.xa cost 亠求橢圓，在t 時(shí)的切線方程。ybsi nt22 2 2例4.星形線x73ya3的參數(shù)方程為3 .acos tasin t(t三、取對數(shù)求導(dǎo)法例

16、5.求y例6.設(shè)y例7.設(shè)y四、隱函數(shù)、數(shù)等的導(dǎo)數(shù)。3參數(shù)方程確定的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)xsinx的導(dǎo)數(shù)。(1 x)(1 2x)(1 x2)，求 y。(1 5x)(1 8x)(1 x4)3 一 2 1 X . 32.x 2 sin xcos x，求 y。1 x2例8設(shè)x2xy y4，求烏。dx9.xyx ye ，求10.tan(xy),11.12.ln(1t2)求叭t arctantdx3a(tsi nt)d2ya(1si nt)，求菽。oxyxy求馬。dx13.已知2y爲(wèi)，x(t)，曲)均有二階導(dǎo)數(shù),求乎。對y f x兩邊同時(shí)取對數(shù)后對方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，常用來求一些復(fù)雜的乘除式、根式、幕指函 2

17、-7 函數(shù)的微分、函數(shù)的微分1. 微分的概念f x在點(diǎn)Xo處可微定義2. 可微與可導(dǎo)的關(guān)系定理：f X在點(diǎn)Xo可微f X在Xo可導(dǎo),且A f Xo 。也就是說,f X在點(diǎn)Xo處可微性與可導(dǎo)性是等價(jià)的，且f x可微,則y f xo x o x，故dy f Xo x。例 1. y x，求 dy。該例說明：自變量的增量就是自變量的微分，函數(shù)的微分可以寫成：dy f x dx 或 df x f x dx此外，當(dāng)X為自變量時(shí)，還可記 X2 dx2， xn dxn等。微商3. 微分的幾何意義二、基本初等函數(shù)的微分公式和微分的運(yùn)算法則1. 微分的基本公式2. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則d(u v) du

18、dvd(cu) cdud (uv) vdu udv/U、 vdu udv,d()2 (v o)vv3. 一階微分形式不變性(復(fù)合函數(shù)微分法則)當(dāng)u為中間變量時(shí)的微分形式與 u為自變量時(shí)的微分的形式相同，均為dy f u du，這種性質(zhì)稱為函數(shù)的一階微分形式不變性。例2.求y x3在x 2處的微分，以及當(dāng) x 0.1時(shí)在x 2處的微分。dx例3.已知y f x的反函數(shù)是x y ，f x在I內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且f x O，則(y) 存在，dy/、 dx 11/亠+工(y)(作為商來看)。dy 業(yè) f (x)dx例4設(shè)x y24y，求魚。dx例 5設(shè) X(t) , x(t),y(t)存在,求 9。 y y(t)dx 2-8 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用f x在處的導(dǎo)數(shù)存在，且很小時(shí)，有y f x0x(1)即 f(xx) f(x)y f (Xo)x或f(x x) f(