傅里葉變換性質(zhì)證明

1、 供參考 2.6傅里葉變換的性質(zhì) 2.6.1線性 若信號和J的傅里葉變換分別為一；和FJ-, 則對于任意的常數(shù)a和b,有 將其推廣，若- -出 ,則 其中匚為常數(shù)，n為正整數(shù)。 由傅里葉變換的定義式很容易證明線性性質(zhì). 顯然傅里葉變換也是一種線性運(yùn)算， 在第一章我們已經(jīng)知道了，線性有兩個 含義：均勻性和疊加性。均勻性表明，若信號乘以常數(shù) a,則信號的傅里葉變換 也乘以相同的常數(shù)a，即卩 疊加性表明，幾個信號之和的傅里葉變換等于各個信號的傅里葉變換之和 砒心的卜伽）1 2.6.2反褶與共軛性 設(shè) f(t) 的傅里葉變換為 F面我們來討論信 號反褶、共軛以及既反褶又共軛后，新信號的傅里葉變換 （1

2、）反褶 f(-t)是f(t)的反褶，其傅里葉變換為 綁new九 (2) 共軛 =匸施)時論匸加門(幼 因?yàn)榍菍?shí)數(shù)，所以(dtr=dt 彳尋共覘提到積分之外 根據(jù)傅里葉變換的定義 (3) 既反褶又共軛 町(卯訂:廠(號叫fe 本性質(zhì)還可利用前兩條性質(zhì)來證明： 設(shè) g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，則 *曾筍芳遛凸_苗苫 在上面三條性質(zhì)的證明中，并沒有特別指明f(t)是實(shí)函數(shù)還是 復(fù)函數(shù)，因此，無論f(t)為實(shí)信號還是復(fù)信號，其傅里葉變換都滿足下面三條性 質(zhì) FLTH) = F 町甘D FLH心FH) 2.6.3奇偶虛實(shí)性 已知f(t)的傅里葉變換為。在一般情況下，是復(fù)函數(shù)，因此可以把

3、它表示 成模與相位或者實(shí)部與虛部兩部分，即 FQ)=卩(詢片 眄 =盹)+殲詢) 根據(jù)定義，上式還可以寫成 (2-33) 呎弊)=arc tan 制 下面根據(jù)f(t)的虛實(shí)性來討論F()的虛實(shí)性。 (1) f(t)為實(shí)函數(shù) 對比式(2-33)與(2-34)，由FT的唯一性可得 尺(耐=/(f)cosaf址 (1.1)f(t)是實(shí)的偶函數(shù)，即f(t)=f(-t) X()的積分項(xiàng)是奇函數(shù)，而奇函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)的積分為零，故 這時X( )=0，于是 (曲)=2 可見，若f(t)是實(shí)偶函數(shù)，則F()也是實(shí)偶函數(shù)，即 匚】：匚 :左邊反褶，右邊共軛 (1.2)f(t)是實(shí)的奇函數(shù)，即-f(t)=f(-t

4、) R()的積分項(xiàng)是奇函數(shù)，而奇函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)的積分為零，故 這時R( )=0，于是 f(唧)=-2小 幷)sin(曲)dt 可見，若f(t)是實(shí)奇函數(shù)，則F()是虛奇函數(shù)，即 咆=北)嚴(yán)自=伽沁伽皿左邊反褶，右邊 共軛 有了上面這兩條性質(zhì)，下面我們來看看一般實(shí)信號(即可能既不是偶信號，又不 是奇信號，反正不清楚，或者說是沒有必要關(guān)心信號的奇偶特性)的 FT頻譜特 點(diǎn)。 2.6.4對稱性 傅里葉變換與傅里葉反變換之間存在著對稱關(guān)系，稱為傅里葉變換的對稱性 質(zhì)。若已知 F3)=Ff(t) 則有 Ff(t)=2ji f(-町 證明：因?yàn)?2 咒 J-* 上式右邊是傅里葉正變換定義式，被變換函數(shù)是

5、F(t) 所以 FF(t)=2j f(-) 若f(t)為偶信號，即f(t)=f(-t) ，則有 FF(t)=2f(巧 從上式可以看出，當(dāng)f(t)為偶信號時，頻域和時域的對稱性完全成立 即f(t)的頻譜是F( )，F(xiàn)(t)的頻譜為f()。 若f(t)為奇信號，即f(t)=-f(-t) ，則有 FF(t)=-2f(小 利用FT的對稱性，我們可以很方便地一些信號的傅里葉變換。下面我們舉 些例子來說明這一點(diǎn)。 試根據(jù)FT的對稱性利用沖瀏信號的僅里葉變換來求直疣信居的傅里葉變換. 石年那卅3軸*?戸*3* 沁乂 (聲呵W號怖孑*5?胡號氣朗層用碼攝Pt F卜Hgk吧*軒翼爍詩延外專宀科丿電 解：已知沖瀏

6、信暑的偉里葉變換為HE(CJ=E,將E視為常數(shù)函數(shù).它是偶函數(shù)，很據(jù)FT的對稱性，F(xiàn)E=27IE0和a 0時 F儉) = -f 代產(chǎn)飪= -F(-) 當(dāng)a 0時一-. 上述兩種情況可綜合成如下表達(dá)式: 0) 由上可見，若信號f（t）在時域上壓縮到原來的1/a倍，則其頻譜在頻域上 將展寬a倍，同時其幅度減小到原來的1/a。 尺度變換性質(zhì)表明，在時域中信號的壓縮對應(yīng)于頻域中信號頻帶的擴(kuò)展，反 之，信號的時域擴(kuò)展對應(yīng)于頻域的壓縮。對于a=-1的特殊情況，它說明信號在 時域中沿縱軸反褶等效于在頻域中頻譜也沿縱軸反褶。 對傅里葉變換的尺度變換特性最通俗的解釋可以采用生活中的實(shí)例來說明， 在錄音帶快放時，

7、其放音速度比原磁帶的錄制速度要快， 這就相當(dāng)于信號在時間 上受到了壓縮，于是其頻譜就擴(kuò)展，因而聽起來就會感覺到聲音發(fā)尖，即頻率提 高了。反之，當(dāng)慢放時，放音的速度比原來速度要慢，聽起來就會感覺到聲音渾 厚，即低頻比原來豐富了（頻域壓縮）。 266時間平移（延時） 若Ff（t）=F（）,則 下面進(jìn)行證明 證明： 因?yàn)?Ff （t - tj二 f f （t -, Q GO 則有 =ff J-8 二嚴(yán)廠f （茁 上式右邊的積分項(xiàng)為傅里葉變換定義式, 于是可以得到 同理可以得到: I. .1-. 267時域微分 若 Ff(t)=F()，則 枠卜 (J研盹) 證明: ,兩邊對t求導(dǎo)，可得 饑) di 所

8、以 =屈(由) 7(0 O)嚇) 同理，可以推出 的頻譜F() 的傅里葉變 由上可見，在時域中f(t)對t取n階導(dǎo)數(shù)等效于在頻域中f(t) 乘以(j)n.下面舉一個簡單的應(yīng)用例子。若已知單位階躍信號u(t) 換，可利用此定理求出(t)的FT 268頻域微分 若 Ff(t)=F( ），則 尸警3）并） 尸誓斗二卜內(nèi)幾） 證明：因?yàn)椋瑑蛇叿謩e對 求導(dǎo)，可得 所以 (泅 鮮：由于旦磚1 ,根據(jù)頻域徽分特性可得 更噸兩驚V紋耿或* 尸“呻孑麗療盧 嚴(yán)T環(huán)7莎陽卯* -C V. 再由FT的線性可禪 /吐時偸） 2.6.9時域積分 =(丿妙J F田)+曲(O)S(q) 證明： 變換積分汝序 并且利用階麻信

9、號的傅里葉變換關(guān)系式 =匚TV)頤咖*冇+ 何必 4Sfi? =(j(D)lF(af) + 站(0)占(tu) 特別地.如果胞在戲口 Q處有界，則 CD花像* X 解:由于珂叭嘯邕庶L- J-。 由時域積分特性可潯 g脅rF；電申羈叫真飢也峙*號呂算寸申gjf 豈血曲建衢滋） j8 可見，這與利用符號函數(shù)求得的結(jié)果一致 2610頻域積分 若 Ff(t)=F()，則有 菲盹）畑 2.6.11時域卷積定理 證明： 倦稅和FT的定義） 咬換祝分次序 tn定好苴時穆特性） -f/2 （t） fx （丹孚 咲于積分變樹常函數(shù)提出來） 胡適轎聯(lián)g曙綁伽$也釵） 一磚遲長豐一密;理萸鞍滋總愛1二霍.黨:巳恭

10、6込:上遲基遲應(yīng)rr遲；匕55z?5 由上可見兩個時間函數(shù)巻積的頻營等于各個時間函數(shù)頻借的菲積也就是說，兩信號時域卷稅等效于頻譜相 乘口 2.6.12 頻域卷積定理 與時域卷積定理類似，S； I； _ -Ji AT： 證明方法同時域卷積定理，在這里不在重復(fù)，同學(xué)們可自己證明。 由上可見，兩個時間函數(shù)頻譜的卷積等效于兩個時間函數(shù)的乘積?；蛘哒f, 兩個時間函數(shù)乘積的頻譜等于各個函數(shù)頻譜乘積乘以1/2。 顯然，時域與頻域卷積定理是對稱的，這是由傅里葉變換的對稱性決定的。 2.6.13帕斯瓦爾定理 前面我們在講信號分解時，提及帕斯瓦爾定理。下面我們來研究一下該定理 在FT中的具體表現(xiàn)形式。 若 Ff(t)=F()，則 M 仏=舟口）% =匚 PW）% 這就是帕斯瓦爾定理在傅里葉變換中體現(xiàn)，它表明了信號的能量在時域與頻 域是守恒的。下面利用FT的定義和性質(zhì)，推導(dǎo)信號能量的求解。 f測必=匸幾）八f）曲 /?_匸尸（妙密皿勻田dt 9 （1FT定梵 【交換積井次序） （PT定義） F*（田）曠血力町迪 =扌丄礦仙）田 =f （紉L