傅里葉變換性質(zhì)證明

1、 供參考 2.6傅里葉變換的性質(zhì) 2.6.1線性 若信號和J的傅里葉變換分別為一；和FJ-, 則對于任意的常數(shù)a和b,有 將其推廣，若- -出 ,則 其中匚為常數(shù)，n為正整數(shù)。 由傅里葉變換的定義式很容易證明線性性質(zhì). 顯然傅里葉變換也是一種線性運算， 在第一章我們已經(jīng)知道了，線性有兩個 含義：均勻性和疊加性。均勻性表明，若信號乘以常數(shù) a,則信號的傅里葉變換 也乘以相同的常數(shù)a，即卩 疊加性表明，幾個信號之和的傅里葉變換等于各個信號的傅里葉變換之和 砒心的卜伽）1 2.6.2反褶與共軛性 設(shè) f(t) 的傅里葉變換為 F面我們來討論信 號反褶、共軛以及既反褶又共軛后，新信號的傅里葉變換 （1

2、）反褶 f(-t)是f(t)的反褶，其傅里葉變換為 綁new九 (2) 共軛 =匸施)時論匸加門(幼 因為曲是實數(shù)，所以(dtr=dt 彳尋共覘提到積分之外 根據(jù)傅里葉變換的定義 (3) 既反褶又共軛 町(卯訂:廠(號叫fe 本性質(zhì)還可利用前兩條性質(zhì)來證明： 設(shè) g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，則 *曾筍芳遛凸_苗苫 在上面三條性質(zhì)的證明中，并沒有特別指明f(t)是實函數(shù)還是 復(fù)函數(shù)，因此，無論f(t)為實信號還是復(fù)信號，其傅里葉變換都滿足下面三條性 質(zhì) FLTH) = F 町甘D FLH心FH) 2.6.3奇偶虛實性 已知f(t)的傅里葉變換為。在一般情況下，是復(fù)函數(shù)，因此可以把

3、它表示 成模與相位或者實部與虛部兩部分，即 FQ)=卩(詢片 眄 =盹)+殲詢) 根據(jù)定義，上式還可以寫成 (2-33) 呎弊)=arc tan 制 下面根據(jù)f(t)的虛實性來討論F()的虛實性。 (1) f(t)為實函數(shù) 對比式(2-33)與(2-34)，由FT的唯一性可得 尺(耐=/(f)cosaf址 (1.1)f(t)是實的偶函數(shù)，即f(t)=f(-t) X()的積分項是奇函數(shù)，而奇函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)的積分為零，故 這時X( )=0，于是 (曲)=2 可見，若f(t)是實偶函數(shù)，則F()也是實偶函數(shù)，即 匚】：匚 :左邊反褶，右邊共軛 (1.2)f(t)是實的奇函數(shù)，即-f(t)=f(-t

4、) R()的積分項是奇函數(shù)，而奇函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)的積分為零，故 這時R( )=0，于是 f(唧)=-2小 幷)sin(曲)dt 可見，若f(t)是實奇函數(shù)，則F()是虛奇函數(shù)，即 咆=北)嚴(yán)自=伽沁伽皿左邊反褶，右邊 共軛 有了上面這兩條性質(zhì)，下面我們來看看一般實信號(即可能既不是偶信號，又不 是奇信號，反正不清楚，或者說是沒有必要關(guān)心信號的奇偶特性)的 FT頻譜特 點。 2.6.4對稱性 傅里葉變換與傅里葉反變換之間存在著對稱關(guān)系，稱為傅里葉變換的對稱性 質(zhì)。若已知 F3)=Ff(t) 則有 Ff(t)=2ji f(-町 證明：因為 2 咒 J-* 上式右邊是傅里葉正變換定義式，被變換函數(shù)是

5、F(t) 所以 FF(t)=2j f(-) 若f(t)為偶信號，即f(t)=f(-t) ，則有 FF(t)=2f(巧 從上式可以看出，當(dāng)f(t)為偶信號時，頻域和時域的對稱性完全成立 即f(t)的頻譜是F( )，F(xiàn)(t)的頻譜為f()。 若f(t)為奇信號，即f(t)=-f(-t) ，則有 FF(t)=-2f(小 利用FT的對稱性，我們可以很方便地一些信號的傅里葉變換。下面我們舉 些例子來說明這一點。 試根據(jù)FT的對稱性利用沖瀏信號的僅里葉變換來求直疣信居的傅里葉變換. 石年那卅3軸*?戸*3* 沁乂 (聲呵W號怖孑*5?胡號氣朗層用碼攝Pt F卜Hgk吧*軒翼爍詩延外專宀科丿電 解：已知沖瀏

6、信暑的偉里葉變換為HE(CJ=E,將E視為常數(shù)函數(shù).它是偶函數(shù)，很據(jù)FT的對稱性，F(xiàn)E=27IE0和a 0時 F儉) = -f 代產(chǎn)飪= -F(-) 當(dāng)a 0時一-. 上述兩種情況可綜合成如下表達(dá)式: 0) 由上可見，若信號f（t）在時域上壓縮到原來的1/a倍，則其頻譜在頻域上 將展寬a倍，同時其幅度減小到原來的1/a。 尺度變換性質(zhì)表明，在時域中信號的壓縮對應(yīng)于頻域中信號頻帶的擴展，反 之，信號的時域擴展對應(yīng)于頻域的壓縮。對于a=-1的特殊情況，它說明信號在 時域中沿縱軸反褶等效于在頻域中頻譜也沿縱軸反褶。 對傅里葉變換的尺度變換特性最通俗的解釋可以采用生活中的實例來說明， 在錄音帶快放時，

7、其放音速度比原磁帶的錄制速度要快， 這就相當(dāng)于信號在時間 上受到了壓縮，于是其頻譜就擴展，因而聽起來就會感覺到聲音發(fā)尖，即頻率提 高了。反之，當(dāng)慢放時，放音的速度比原來速度要慢，聽起來就會感覺到聲音渾 厚，即低頻比原來豐富了（頻域壓縮）。 266時間平移（延時） 若Ff（t）=F（）,則 下面進行證明 證明： 因為 Ff （t - tj二 f f （t -, Q GO 則有 =ff J-8 二嚴(yán)廠f （茁 上式右邊的積分項為傅里葉變換定義式, 于是可以得到 同理可以得到: I. .1-. 267時域微分 若 Ff(t)=F()，則 枠卜 (J研盹) 證明: ,兩邊對t求導(dǎo)，可得 饑) di 所

8、以 =屈(由) 7(0 O)嚇) 同理，可以推出 的頻譜F() 的傅里葉變 由上可見，在時域中f(t)對t取n階導(dǎo)數(shù)等效于在頻域中f(t) 乘以(j)n.下面舉一個簡單的應(yīng)用例子。若已知單位階躍信號u(t) 換，可利用此定理求出(t)的FT 268頻域微分 若 Ff(t)=F( ），則 尸警3）并） 尸誓斗二卜內(nèi)幾） 證明：因為，兩邊分別對 求導(dǎo)，可得 所以 (泅 鮮：由于旦磚1 ,根據(jù)頻域徽分特性可得 更噸兩驚V紋耿或* 尸“呻孑麗療盧 嚴(yán)T環(huán)7莎陽卯* -C V. 再由FT的線性可禪 /吐時偸） 2.6.9時域積分 =(丿妙J F田)+曲(O)S(q) 證明： 變換積分汝序 并且利用階麻信

9、號的傅里葉變換關(guān)系式 =匚TV)頤咖*冇+ 何必 4Sfi? =(j(D)lF(af) + 站(0)占(tu) 特別地.如果胞在戲口 Q處有界，則 CD花像* X 解:由于珂叭嘯邕庶L- J-。 由時域積分特性可潯 g脅rF；電申羈叫真飢也峙*號呂算寸申gjf 豈血曲建衢滋） j8 可見，這與利用符號函數(shù)求得的結(jié)果一致 2610頻域積分 若 Ff(t)=F()，則有 菲盹）畑 2.6.11時域卷積定理 證明： 倦稅和FT的定義） 咬換祝分次序 tn定好苴時穆特性） -f/2 （t） fx （丹孚 咲于積分變樹常函數(shù)提出來） 胡適轎聯(lián)g曙綁伽$也釵） 一磚遲長豐一密;理萸鞍滋總愛1二霍.黨:巳恭

10、6込:上遲基遲應(yīng)rr遲；匕55z?5 由上可見兩個時間函數(shù)巻積的頻營等于各個時間函數(shù)頻借的菲積也就是說，兩信號時域卷稅等效于頻譜相 乘口 2.6.12 頻域卷積定理 與時域卷積定理類似，S； I； _ -Ji AT： 證明方法同時域卷積定理，在這里不在重復(fù)，同學(xué)們可自己證明。 由上可見，兩個時間函數(shù)頻譜的卷積等效于兩個時間函數(shù)的乘積。或者說, 兩個時間函數(shù)乘積的頻譜等于各個函數(shù)頻譜乘積乘以1/2。 顯然，時域與頻域卷積定理是對稱的，這是由傅里葉變換的對稱性決定的。 2.6.13帕斯瓦爾定理 前面我們在講信號分解時，提及帕斯瓦爾定理。下面我們來研究一下該定理 在FT中的具體表現(xiàn)形式。 若 Ff(t)=F()，則 M 仏=舟口）% =匚 PW）% 這就是帕斯瓦爾定理在傅里葉變換中體現(xiàn)，它表明了信號的能量在時域與頻 域是守恒的。下面利用FT的定義和性質(zhì)，推導(dǎo)信號能量的求解。 f測必=匸幾）八f）曲 /?_匸尸（妙密皿勻田dt 9 （1FT定梵 【交換積井次序） （PT定義） F*（田）曠血力町迪 =扌丄礦仙）田 =f （紉L