2013年高考數(shù)學全解全析-江蘇卷

1、 第5貞共16頁 2013江蘇卷 1 fl一一 1 II1 樣本數(shù)據(jù)小 畑 ，心的方差其中戈=丄為野棱錐的體積公式：V=|s/b其中S是錐 體的底而積，力為高.棱柱的體積公式：V=Sh,S是柱體的底而枳，為髙. 一填空題 1. 函數(shù)y=3sin(2x+尋)的最小正周期為 . 答案兀 解析 co = 2 , T=n. 2. 設z=(2-i)2(i為虛數(shù)單位)，則復數(shù)z的模為 答案5 解析 z=(2-i)2 = 3-4i, lzl= 32 + (-4)2 = 5. 3. 雙曲線土_看=1的兩條漸近線的方程為. 解析 二1的漸近線方程為召- 4. 集合一 1.0,1共有個子集. 答案8 解析 C9

2、+ C“Q + C = 23 = r27+ 1 W12. 二、解答題 15. 已知向量 a=(cosa, sin a), b=(cosfi9 sin0), Opvav兀 (1) 若kz1=邊，求證：丄b； (2) 設 c = (OJ),若 d+b=c,求 a, 8 的值. (1 )證明 由S b 二逗.即(cos a - cos 十(sin a - sin fi)2 = 2 r 整理得 cos acos B 十 sin asin 0 二 0 即a b = 0 r因此a丄b. cos a + cos 二 0 sin a + sin B 二 I 又 0a - 2(a - 2)2= 1. 設點, y

3、),因為MA - 2MO ,所以寸工十( _ 3尸二2 yjx2 + y2，化簡得x2 + y2 + 2y - 3 = 0 ,即x2十(y十1尸 二4 ,所以點M在以D(0, - 1)為圓心，2為半徑的圓上. 由題意，點M(x , y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點，貝!112 - 1IWCDW2十1 , 即1冬乜/十(23)運3 由50- 1加十820,得“WR； 12 由 5a2 - 12/0 ,得 OWgW丁 所以點C的橫坐標“的取值范圍為o, 18. 如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是 先從A沿索逍乘纜車到B,然后從B沿直線步行到

4、C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行, 速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B,在B處停留1 min后,再從B勻速步行到C.假設 193 纜車勻速直線運動的速度為BOnVmin,山路AC長為1 260m,經(jīng)測McosA=, cos C=g (1) 求索道AB的長； (2) 問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？ (3) 為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應控制在什么范國內(nèi)？ 第9貞共16頁 第13頁共16頁 1235 解(1)在 ZVIBC 中，因為 cos A = f cos C二 g ,所以 sin A 二舌, AB A

5、C 從而 sin B = sin;r - (A + C) = sin(A + C) = sin Acos C + cos Asin C =+= 由正弦走理微二鈴，得皿二篇Xsin C二罟X#二1 040(m). 65 所以索道AB的長為1 040 m. (2)假設乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d ,此時，甲行走了( 100 + 50/)m r乙距離A處130/ in ,所以 由余弦走理得 0 二(100 + 50/)2 十(130, -2X 130/X(100十50/)X胃二 200(372 70/+50) r 因 0W心晉 r 即0WrW8 r故當f二齊(min)時f甲、乙兩游客距離最短

6、 由正弦走理鳥二紿，得M二爺XsinA二詈X*500(m). 65 乙從B出發(fā)時r甲已走了 50X(2 + 8+l) = 550(m) #還需走710 m才能到達C. 設乙步行的速度為 nVmin ,由題意得-3W乎-尊W3 ,解得罟GW皆，所以為使兩位游客在C處 互相等待的時間不超過3分鐘,乙步行的速度應控制在詈筈(單位：n”min)范圍內(nèi) 19. 設是首項為 公差為的等差數(shù)列(疋0), %是其前料項的和.記加#WNS其中c為 實數(shù). 若c=0,且加 加，加成等比數(shù)列，證明：S戚=屆上伙，nEN4)； 若幾是等差數(shù)列，證明：c=0. n(n - 1) 證明 由題設/ Sn = nu + d

7、(1)由c二0 ,得b”二嚴二十一d.又因為hl , b2 , bA成等t鐵列，所以bi= = bg ,即+甥二十詢, 化簡得cl2 - 2nd二0因為H0 r所以d二加. .m(m - 1) 因此,對于戶斤有的m丘N .有Sm = ma + z，加=nra. 從而對于所有的 k t ziGN* f 有 Snk = (nk)2a = n2k2a = n2Sk. 設數(shù)列九的公差是山r則bn = b + (n - lWi ,即今二/刀十1)山，代入2的表達式f整理 rr + c 得，對于所有的neN + cdn = c(d - b) 令A二山靭 B = h - d- “十如z D = cd - b

8、i) t則對于所有的nGN4 #有An3十Bn2十cdn = 0.(*) 在式中分別取h =1,23,4 ,得 A 十 B + cd 二-aOt故應)在(0 , + 8 )上是單調(diào)増函數(shù),所以兀)只有 個零點 (iii) 當 OcdWc時，令 f(X)二丄二0 ,解得 x二 “ J 當 0 x0 f xa -1 時.f (x)0 ,即0/e -1時，金)有兩個零點. 實際上,對于0/e -1 ,由于金-1)二-1 - we - *0 ,且函數(shù)/U)在c -1 , )時，f (x)二 “0 ,故.心)在(0 , “ -1)上是單調(diào)增函數(shù)，所以滄)在(0 , -*)只有 個零點 下面考慮幾丫)在(

9、“-* , + 8)上的情況.先證人出-1)二/(/ - 2 - L j)e時，.設h(x) = e則於(X)二出-2、，再設/(x)(X)二e-2x,則廠(X) = ev-2. 當xl時，廠(x) = er - 2c - 20 ,所以/(a) = h (乂)在(1 , + 8)上是單調(diào)增函數(shù).故當,v2時，(x) = 3 -2xh二e2 - 40 ,從而(、)在(2 , + 8)上是單調(diào)增函數(shù).進而當e時， h(x) = eT - x2力(e)二 - c20.即當.e 時，ev.2. 當 0ue -即 “ -、c 時，_/(en J)二“ -1 - t/en-1 = a(a-2 - ea-

10、*)0 ,且函數(shù) /U)在,efl-! 上的圖象不間斷，所以用)在(J U上存在零點又當x-】時，f二 - ，故.心)在，+ 8）上是單調(diào)減函數(shù),所以/U）在（“I , + 8）上只有一個零點- 綜合（i ） , （ii） , （iii），當“WO或二c丨時，用）的零點個數(shù)為1，當0/cLO1 -1 0 1 ，所以A-叨二 0 2 0 -1丿二0丄二0八/二蘇從而A的逆矩陣為A丨= 故二 41 2_ 1 _06一 2J -1 -2 -03 _ X二f 十 1 , C解 因為直線/的參數(shù)方程為(/為參數(shù)兒由x = t+得心1，代入y = 2tr得到直線/ v 二 2/ 的普通方程為2,)一 2二

11、0.同理得到曲線C的普通方程為y2二2x. 聯(lián)立方程組一 2(A 解得公共點的坐標為(2,2),訃，-1 丿二， D 證明 - Z?3 - (2xib2 - a2b) = 2a(a2 - b2) + b(a2 - b2) = (a2 - b2)(2a + b) = (a - b)(a + b)(2ci + b). 因為 ab0 ,所以 a - bO f a + bQ92a + b0 r 從而(“ -b)(a + b)(2a + /?)0 ,即 2/3 - b32ab2 - a2b. 必做題I第22題、第23題，每題10分，共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫岀文字說 明、證明過程或

12、演算步驟. 22. 如圖，在直三棱柱ABC-ABC中.AB丄AC. AB=AC=2, AiA=4,點D是BC的中點. 第14頁共16頁 (1) 求異而直線AiB與CQ所成角的余弦值： (2) 求平面ADC與平而ABM所成二而角的正眩值. MBCD 18 麗I昂I回X幀 解 以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A -粧r則A(OOO), B(2.00), C(0.20) Q( 1丄0), A】(0Q4) 6(024)，所以屆二(2,0 , - 4) fGD = ( f - 1 r - 4) 因為 cos麗 fCU)二 二嚕,所以異面直線旳B與CQ所成角的余弦值為晉. (2)設平面 ADC

13、i 的法向呈為 ni=(x , y , z),因為Ab = (1,1,0),疋二(0,2,4),所以 MiAD = 0 , nvACi=Q , 即x +y = 0且y十2z二0 ,取z二1，得x = 2 , y= - 2 ,所以,ii= (2 , - 2,1)是平面ADC的一個法向呈取 平面AAiB的一個法向星為“2二(0,1.0),設平面ADG與平面ABAi所成二面角的大小為6. 由2肛|艦|二晟斤二?得sin&二零 因此，平面ADCi與平面ABA所成二面角的正弦值為羋. (R 1 23. 設數(shù)列“小 1, 2, 2,3,3,3, 4, 4 4, 4,，(一1)*(一1)* %,，即當- /

14、伙尹伙WNJ時，血=(一 1)5,記Sn=m+“2+“gN*).對于ZGN*,定義集合P/=nlSn是 冷的整數(shù)倍,nSN且1W/. (1) 求集合Pii中元素的個數(shù)； (2) 求集合Booo中元素的個數(shù). 解 由數(shù)列計的走義得5 = 1 2二-2 3二2 2=3 5 = 3八心二3八仃二-4,6/8= - 4 r 6/9 = - 4 , 5()= - 4 , UU = 5 # 所以 Si = 1 , S2 二-1 f 53= -3 r S4 = 0 , S5 = 3 t Se = 6 t Sy = 2 t Sg = - 2 , Sv = - 6 x Sio =-10 r Sn = - 5 r從而S二5 f S4 = 0Xt/4 r S5 = a5 , S6 = 2= - i(2i + 1).于是 S 1(2 1)二 Sg+1)+ + I)2 二-i(2i + 1) + (2/ + 1)2 二十 1)(/ 十 1) 由上可知Si+1是2/+ 1的倍數(shù),而伽+1)+丿二2?十1(/= 1,2 ,2i+ 1),所以Si+ 1)+丿二Si+1)十丿十1) 是(/二 1,2 ,r 2i+ 1)的倍數(shù)又 iw2(+1)= (/+ 1)+ 1)不是 2i 十 2 的倍數(shù) f 而 a(j*ix2f + i)*y=- (2/+ 2)(/= 1,2 ,2/ + 2),