“對數(shù)平均數(shù)不等式”應(yīng)用舉隅

1、精品文檔“對數(shù)平均數(shù)不等式”應(yīng)用舉隅江蘇省姜堰中學(xué) 張圣官(225500 )已知a,b為兩不等的正實數(shù)，我們稱 a b 為a,b的“對數(shù)平均數(shù)” .它與a,b的“幾1n a 1n b隨意編輯何平均數(shù)vab ”及“算術(shù)平均數(shù)ab2”之間有如下不等關(guān)系：tab a bin a in b證明：不妨設(shè)a b0.先證tab此當(dāng)t 1時,再證ln ain bf (t)f(t)t(t21n tln a in bt(t則 g (t)1),設(shè) f(t)21n t1t (t 1),此當(dāng)t 1時，int2(t1)(t 1)20，1， r-0恒成立，即 t所以f (t)在(1,)遞減，而f (1),a inbb成立.

2、 a0,ln t(t1)222(t 1) t(t 1)1),1-0恒成立，即該不等式本身的證明乃通過構(gòu)造函數(shù),處理某些與指數(shù)、對數(shù)相關(guān)的不等式問題時,2(b 1)ab2(t 1)t 1(t1)，0,所以g(t)在(1,)遞增，而ga b a b 4、成立.in a in b 20,借助于導(dǎo)數(shù)作為工具， 利用函數(shù)單調(diào)性而得.可以嘗試應(yīng)用它來幫助思考分析.x例1 已知函數(shù)f (x) e ax a .(1)當(dāng)a 2時，求過點p(0, 2)的曲線f (x)的切線方程;(2)當(dāng)f(x)存在兩個不同零點 x1,x2(x1x2)時,求證:x1 x2x1x2.分析：第(1)題易得切線方程為 y (e2)x 2

3、 ;第(2)題中我們先要探究：當(dāng) f (x)存在兩個不同零點 x1,x2( x1 x2)時，需要具備什么條件， 又能推得什么結(jié)論？轉(zhuǎn)化為研究曲線y ex和直線y ax a,當(dāng)直線與曲線相切時，設(shè)切點為（%6）,則切線方程為y ex0ex0 (x x0),因此ex0aex0(1xo)xo2、公2 .這樣當(dāng)f （x）存在兩個不同季點 exi,x2(x1x2）時，必有a2e ,1 x1x2 ,進一步思考,要證明x1x2x1x2,可轉(zhuǎn)化為證明x1x21)(x21)1等思路.所以、， r1方法一：即要證一x11,令 t1x2x11 (”t2x21 %)由于ex1ex2a(x1 1)a(x2 1)x1in

4、 ax2in aln( x1ln( x21)1)r1t1,t2為方程 h(t) ln(-1);ln a0的兩根.由于h (t)1111 t tt2設(shè)（t） h（t） h（1 t）,則1,從而，當(dāng)t （0,萬）時（t）2t 1,1 / 1 、_技，所以h(t)在(0, 一)遞增，在(,1)遞減.t2 (t 1)22,1 .(t) h(t) h(1 t),(t)在(0)遞增，21-(-)0 ，即 h(t) h(1 t), 2所以h(t1)h(t2)h(1t2),因此t11t2,即原不等式成立.ex1a(x1 1)方法二：即要證(x1 1)(x2 1) 1 ,由于 x 1，ex2a(x2 1)因而

5、ex1x211(x11)(x21)ln(x11)ln(x21),x2 1令t1 x1 1 (0,1),t2 x2 1 (1,)，則 lnt t1 lnt2 t2,h(t) lnt t 在(0,1)遞增，在(1,)遞減.1設(shè)(t) h(t)h(；),其在(0,1)遞減，所以 (t1)(1) 0,1-1所以 h(t2)h(t1) h(j),從而 t2 -煤2 1,由此得(x1 1)( x21) 1 ,即 x1x2x1x2 .以上兩種方法散見于各種資料本題是近年來流傳甚廣的一道題，其條件結(jié)論非常優(yōu)美.上，它們的特點均是通過構(gòu)造輔助函數(shù)來幫助論證的.總的來說，解題過程較為繁瑣， 而且要經(jīng)過兩次構(gòu)造函數(shù)

6、才行.現(xiàn)在讓我們換一種思路， 將指數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為對數(shù)關(guān)系，這樣剛才的對數(shù)平均數(shù)不等式或許就能夠幫得上忙.以下解法令人拍案叫絕，真的是“大道至簡”！方法三：由于exex2a(xi1)am 1)x1 x2xi1因而e 1 2 x21(xi 1) (x2 1) ln(x1 1) ln(x2 1),由對數(shù)平均數(shù)不等式知，j(x1 1)(x2 1)(x1 ” (x2 d 1 ,1mxi 1) ln(x2 1)x1x2.從而(x1 1)(x2 1) 1 ,即 x1 x2例2 (2010年天津高考理科 21題)已知函數(shù)f(x) xex(x r).(i)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(n)已知函數(shù)y= g(x

7、)的圖象與函數(shù)y= f(x)的圖象關(guān)于直線 x 1對稱，證明：當(dāng)x 1時，f (x) g(x)；(m)如果 x1 x2,且 f(x1) f (x2),證明：x! x2 2.分析：(i)、(n)略.(出)由前知，x 1是函數(shù)f(x)的極值點，不妨設(shè)0 x1 1 x2 ,則根據(jù)f (x1)f (x2)，有xex?ex2,即ex1x2次 ,按照常規(guī)思路，一般設(shè)x1e x1 x2 及 t(t 1),則x2 tx1x1 x2 (t 1)lnt ,然后通過構(gòu)造函數(shù)x1x1 x2 in tt 1h(t) (t j, (t 1)來解決.但如此需要兩次構(gòu)造函數(shù)過程繁瑣，而且還要用到像羅必塔法則這樣高等數(shù)學(xué)的知識

8、.還是讓我們調(diào)整一下思路，利用對數(shù)平均數(shù)不等式試試看.將 xe xx?ex2兩邊取自然對數(shù)得，in x1xin x2x2,故 一x一x2一1 ,in x1 in x2in x1in x2由對數(shù)平均數(shù)不等式知，x1 x21 9皿，即x1 x2 2.x例3 (2014年江辦省南通二模試題 )設(shè)函數(shù)f(x) e ax a ,其圖像與x軸交于a(x1,0), b(x2,0)兩點，且 x x2.(i)求實數(shù)a的取值范圍；(n)求證：f (jx1x2) 0 .解：(i)由 f (x) ex a,當(dāng) a 0時 f (x)0, f(x)單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)a 0時f(x)在(,ln a)遞減，在(in a,

9、)遞增，則根據(jù)條件f(x)有兩個零點得f(ln a) 2aaln a0 ,從而實數(shù)a的取值范圍為xix2xix1 x2x2xieax1 ae e. x1 x2-1 e2 e1(n)由 x,兩式相減得a ,從而f (2) e e2 ax2 ax2 x12x2 x1在以上的對數(shù)平均數(shù)不等式中，將a,b分別賦值為e,ex1,則得x24xi x2x2xi北干，即f()e丁0,x2 x12x2 x1又f (x) ex a是單調(diào)增函數(shù)，且jxx? 土六，故f (jxe) f (漢2上)0 .例4 (2011年遼寧高考理科壓軸題)已知函數(shù)f (x) ln x ax2 (2 a)x.(1)討論函數(shù)f(x)的單

10、調(diào)性;(2)設(shè)a 0,證明：當(dāng)0 x1時，fg x) a1f (一 x) a ，(3)若函數(shù)yf(x)的圖象與x軸交于a、b兩點，線段ab中點的橫坐標為 ,證,1)單調(diào)遞減且f (一) 0 .已a明：f (x0) 0.分析：(1)、(2)略;(3)由(1)知 a 0時 y f (x)在(0,1,知函數(shù)y f(x)的圖象與x軸交于 a、b兩點，設(shè) a(x1,0), b(x2,0),0x1 x2,由af(x1)2f(xz) 0 得,ln x ax(2 a)x120 , ln x2 ax2(2 a)x20 ,故22ln x1 ln x2 2(x1 x2) a(x1x2、1nxi in x2 2(x1 x